《勾股定理》学案.docx

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《勾股定理》学案

《勾股定理》复习学案

第1讲勾股定理

（1）

一、勾股定理

1．勾股定理的具体内容用字母表示为：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

两锐角之间的关系：

；

3.若∠A=30°，三边之间的关系：

；

4.若∠A=45°，三边之间的关系：

；

5.若D是斜边AB的中点，则有＝＝；

二、回顾勾股定理的证明：

你能用这个图形证明勾股定理吗？

二、课堂练习

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

3.已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高；⑵求S△ABC。

三、课堂检测：

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

第2讲勾股定理

（2）

一、求出下列直角三角形中未知的边．

归纳：

（1）在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？

应该注意哪些问题？

（2）直角三角形中哪条边最长？

它所对的是什么角？

二、探究1

1.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长

2．在矩形中，如何确定直角三角形模型？

3.一个门框的尺寸如图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

三．探究2

如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①球梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

四、课堂检测：

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

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4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。

5．如图，一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

第3讲勾股定理（3）

一、探究

例1已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，求线段AB的长。

（分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前，“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

）

自己画出图形并求出AB的长。

例2已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

（分析：

由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。

学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。

学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

）

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

并指出如何作辅助线？

例3已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

（分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

）

二、课堂练习

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4．已知：

如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求S△ABC。

第4讲勾股定理的逆定理

一、探究

（1）

问题1：

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长

（1）a=3,b=4;

（2）a=1.5,b=2;

（3）a=6,b=8

问题2：

分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的？

二、探究

（2）

勾股定理的逆定理：

三角形的三边分别为a,b,c,如果满足,则这个三角形是直角三角形.

问题1:

勾股定理逆定理这个结论有什么作用吗?

试举例说明.

问题2:

判断三边为5,6,7的三角形是不是直角三角形,是否把任意两边的平方和都算出来,再与第三边比较?

还是有其他方法?

问题3:

练习

1.根据下列条件，判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形

（1）a=15,b=8,c=17;

（2）a=13,b=14,c=15

2.

（1）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________

（2）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为_________

3．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边长的是（）

A．8，15，16B.3.5,4.5,5.5C.18,30,24D.1,2,3

三.课堂演练

1.已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

2.已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

四、课外练习

1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。

2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

3．已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，CD=

，AD=3，且AB⊥BC。

求：

四边形ABCD的面积。

4．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

5．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

求证：

△ABC是等腰三角形。

第5讲勾股定理习题学习

（1）

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3．在数轴上作出表示

的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．

5．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

6．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13

（3）8、15、17

（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有；

8、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2（a>b>0）,则这个三角形是；

9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7

，8

，则以斜边为边长的正方形的面积为_________

．

10、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm。

11、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，

高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

12、如图：

带阴影部分的半圆的面积是-----------（

取3）

13、若一个三角形的周长12

cm,一边长为3

cm,其他两边之差为

cm,则这个三角形是______________________．

14、已知：

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．

求证：

AB2-AC2=BC（BD-DC）．

15、如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且

．你能说明∠AFE是直角吗？

第6讲勾股定理习题学习

（2）

1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．

2．（2010年眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）

A．90°B．60°C．45°D．30°

3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点

E，则DE的长是______________．

4．（2010山东德州）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，

若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.

第1题图第2题图第3题图第4题图

5．（2009年山西省）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）

A．

B．

C．

D．2

6．（2009年达州）图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13B．26C．47D．94

7．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

A．5

B．25C．

+5D．

35

8．（2009白银市）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）

A．2B．3C．

D．

第5题图第6题图第7题图第8题图

9．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．

（1）证明：

ΔBAD≌ΔDCE；

（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．

10．如图，正方形ABCD的顶点A、B分别位于x轴与y轴上，且OA=1，OB=2，请你分出求出A、B、C、D的坐标。

11．（四川省泸州市）在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时（即

米／秒），并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于

轴上，测速路段BC在

轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在

轴上，AO为其中的一段．

（1）求点B和点C的坐标；

（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?

（参考数据：

）

（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

12．（2009年重庆）已知：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且

．

（1）求证：

；

（2）若

，求AB的长．