《勾股定理》学案.docx
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《勾股定理》学案
《勾股定理》复习学案
第1讲勾股定理
(1)
一、勾股定理
1.勾股定理的具体内容用字母表示为:
。
2.如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
两锐角之间的关系:
;
3.若∠A=30°,三边之间的关系:
;
4.若∠A=45°,三边之间的关系:
;
5.若D是斜边AB的中点,则有==;
二、回顾勾股定理的证明:
你能用这个图形证明勾股定理吗?
二、课堂练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a:
b=1:
2,c=5,求a。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
2.已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
3.已知:
如图,等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高;⑵求S△ABC。
三、课堂检测:
1.填空题
⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=。
⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:
b=3:
4,则a=,b=。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。
⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为。
2.已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=
,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
3.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
第2讲勾股定理
(2)
一、求出下列直角三角形中未知的边.
归纳:
(1)在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件?
应该注意哪些问题?
(2)直角三角形中哪条边最长?
它所对的是什么角?
二、探究1
1.在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC的长
2.在矩形中,如何确定直角三角形模型?
3.一个门框的尺寸如图所示.
①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?
②若薄木板长3米,宽1.5米呢?
③若薄木板长3米,宽2.2米呢?
为什么?
三.探究2
如图,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.
①球梯子的底端B距墙角O多少米?
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C,请同学们猜一猜,底端也将滑动0.5米吗?
算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).
四、课堂检测:
1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4
米,则这两株树之间的垂直距离是
米,水平距离是米。
3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
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4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为米。
5.如图,一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=厘米。
第3讲勾股定理(3)
一、探究
例1已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=
,求线段AB的长。
(分析:
本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考点,所以要求对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。
目前,“双垂图”需要掌握的知识点有:
3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。
)
自己画出图形并求出AB的长。
例2已知:
如图,△ABC中,AC=4,∠B=45°,∠A=60°,根据题设可知什么?
(分析:
由于本题中的△ABC不是直角三角形,所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。
学生充分思考和讨论后,发现添置AB边上的高这条辅助线,就可以求得AD,CD,BD,AB,BC及S△ABC。
学生充分讨论还可以作其它辅助线吗?
为什么?
)
小结:
可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。
并指出如何作辅助线?
例3已知:
如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
(分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
)
二、课堂练习
1.△ABC中,AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC=,S△ABC=。
2.△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,AC=
cm,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,BC=,S△ABC=。
3.△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=
,CD⊥AB于D,则AC=,CD=,BD=,AD=,S△ABC=。
4.已知:
如图,△ABC中,AB=26,BC=25,AC=17,求S△ABC。
第4讲勾股定理的逆定理
一、探究
(1)
问题1:
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长
(1)a=3,b=4;
(2)a=1.5,b=2;
(3)a=6,b=8
问题2:
分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的?
二、探究
(2)
勾股定理的逆定理:
三角形的三边分别为a,b,c,如果满足,则这个三角形是直角三角形.
问题1:
勾股定理逆定理这个结论有什么作用吗?
试举例说明.
问题2:
判断三边为5,6,7的三角形是不是直角三角形,是否把任意两边的平方和都算出来,再与第三边比较?
还是有其他方法?
问题3:
练习
1.根据下列条件,判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=13,b=14,c=15
2.
(1)一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为________
(2)已知直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边长为_________
3.下列各组数据中,能构成直角三角形的三边长的是()
A.8,15,16B.3.5,4.5,5.5C.18,30,24D.1,2,3
三.课堂演练
1.已知:
如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
求:
四边形ABCD的面积。
2.已知:
如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD。
求证:
△ABC是直角三角形。
四、课外练习
1.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是()
A.等腰三角形;B.直角三角形;
C.等腰三角形或直角三角形;D.等腰直角三角形。
2.若△ABC的三边a、b、c,满足a:
b:
c=1:
1:
,试判断△ABC的形状。
3.已知:
如图,四边形ABCD,AB=1,BC=
,CD=
,AD=3,且AB⊥BC。
求:
四边形ABCD的面积。
4.若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的面积。
5.在△ABC中,AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm。
求证:
△ABC是等腰三角形。
第5讲勾股定理习题学习
(1)
1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为_____________.
2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________.
3.在数轴上作出表示
的点.
4.已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.求①AD的长;②ΔABC的面积.
5.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
6.如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离.
7、分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)3、4、5
(2)5、12、13
(3)8、15、17
(4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有;
8、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是;
9、如图,在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。
已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向、直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为7
,8
,则以斜边为边长的正方形的面积为_________
.
10、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm。
11、一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为2.5㎝,
高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做多长?
12、如图:
带阴影部分的半圆的面积是-----------(
取3)
13、若一个三角形的周长12
cm,一边长为3
cm,其他两边之差为
cm,则这个三角形是______________________.
14、已知:
如图,△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的高.
求证:
AB2-AC2=BC(BD-DC).
15、如图,四边形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且
.你能说明∠AFE是直角吗?
第6讲勾股定理习题学习
(2)
1.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数为度.
2.(2010年眉山)如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()
A.90°B.60°C.45°D.30°
3.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是AB的中点,过点D作DE⊥AC于点
E,则DE的长是______________.
4.(2010山东德州)如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,
若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为_____m.
第1题图第2题图第3题图第4题图
5.(2009年山西省)如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为()
A.
B.
C.
D.2
6.(2009年达州)图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是
A.13B.26C.47D.94
7.(湖北省恩施市)如图3,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()
A.5
B.25C.
+5D.
35
8.(2009白银市)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( )
A.2B.3C.
D.
第5题图第6题图第7题图第8题图
9.(2009年崇左)如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD//BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.
(1)证明:
ΔBAD≌ΔDCE;
(2)如果AC⊥BD,求等腰梯形ABCD的高DF的值.
10.如图,正方形ABCD的顶点A、B分别位于x轴与y轴上,且OA=1,OB=2,请你分出求出A、B、C、D的坐标。
11.(四川省泸州市)在某段限速公路BC上(公路视为直线),交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时(即
米/秒),并在离该公路100米处设置了一个监测点A.在如图8所示的直角坐标系中,点A位于
轴上,测速路段BC在
轴上,点B在A的北偏西60°方向上,点C在A的北偏东45°方向上,另外一条高等级公路在
轴上,AO为其中的一段.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?
(参考数据:
)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶,一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶,设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍,求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
12.(2009年重庆)已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且
.
(1)求证:
;
(2)若
,求AB的长.