全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选.docx
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全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选
2014年——2017年全国高中数学联赛各省预赛中数列试题集萃
(2017天津)2.已知等差数列{an}的公差不为零,且a2,a3,a9构成等比数列,则
a4+a5+a6
a2+a3+a4
=.
(2017天津)8.已知数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,{bn}是首项为2,公差为
5的等差数列.同时出现在这两个数列中的数从小到大顺序排列成数列{xn},则
x100=.
(1+1)
2n
11
(2017天津)14.如果整数n≥2,证明:
(1+22)(1+23)
<2.
+a2016x
012
(2017河北)6.设(x+1)2017=ax2017+ax2016+ax2015+
值为.
+a2017
505
∑
,则a4k-3的
k=1
(2017河北)9.前n项和为S的正项数列{a}满足:
a2+2a=4S
+3(n∈N*).
nnnnn
(I)求数列{an}的通项公式.
(1+1)
an
an
1
(II)求证:
(1+)(1+1)(1+1)<.
a1a2a32
(2017山西)4.将全体正整数从小到大排列,然后取第一个数为a1,取后续两数和为a2,
再取后续三数和为
a3,以此类推,得到数列
{an
}1a=:
2a=1,+
32a=3+,
+4a45……。
则数列{an}
的前20项和
S20=.
(2017辽宁)3.数列{a}满足:
a
=134,a
=150,a
=a-k
a
(k=1,2,
n-1),若
n
an=0,则n为.
01k+1
k-1
k
(2017辽宁)14.如果对于任意的非负整数n,cos(2nα)<-1都成立,求实数α.
3
(2017福建)3.已知{a}为等比数列,且aa=1,若f(x)=2,则
n12017
1+x2
f(a1)+
f(a2)+
f(a3
)++
f(a2017)。
(2017福建)11.若数列{a}中的相邻两项a、a是关于x的方程x2-nx+c=0
nnn+1n
(n=1,2,3,…)的两个实根,且a1=1。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=c2n-1,求数列{bn}的通项公式及{bn}的前n项的和Tn。
+n2=n(n+1)(2n+1)
6
(必要时,可以利用:
12+22+32+)
(2017江西)1.化简:
1
12+21
1
23+32
1
34+43
+
1
20162017+20172016
+++=.
112123
(2017江西)7.将全体真分数排成这样的一个数列{an}:
,,,,,
233444
,其排序方法
是:
自左至右,先将分母从小到大排列,对于分母相同的分数,再按分子从小到大排列,则其第2017项a2017=.
(2017江西)8.将各位数字和为10的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列,若
an=2017,则n=.
an+1bn+1
2
anbn
2
(2017江西)9.数列{an},{bn}满足:
a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn(n≥1).
证明:
(1)a2n-1<
b2n-1
2,a2n>2;
b2n
(2)
-<-.
(2017湖北)2.已知正项等比数列{an}满足a6+a5+a4-a3-a2-a1=49,则a9+a8+a7的最
小值为.
(2017湖北)10.将与70互素的所有正整数从小到大排成数列,则这个数列的第2017项为
.
(2017湖北)13.已知函数f(x)=|sinx|,x∈R.
(1)证明:
sin1≤f(x)+f(x+1)≤2cos1.
+f(3n-1)
3n-1
2
(2)证明:
对任意的正整数n,有
f(n)+
f(n+1)+
>sin1.
nn+12
nn
(2017湖北)13.(高一)记数列{a}的前n项和为S(n∈N*)
,其中
⎧n⋅2n-1,n为偶数
⎩
an=⎨(n+λ)⋅2n-1,n为奇数.
(1)求Sn;
(2)若λ∈(-2017,-2016),求Sn取得最小值时对应的n的值.
(2017四川)6.已知数列{a}满足:
a
=(2+1)n-(2-1)n(n∈N),用[x]表示不超过
nn
实数x的最大整数,则[a2017]的个位数字是.
25x
2016k
k=1
(2017四川)7.已知函数f(x)=25x+5,则∑f(2017)=.
(2017四川)13.已知数列{a}满足:
a=a,a
-
5an8*
=(n∈N).
n1n+1
an-1
(1)若a=3,求数列{an}的通项公式.
(2)若对任意的正整数n,都有an>3,求实数a的取值范围.
(2017陕西)1.已知数列{a}的前n项和S
=n2-1(n∈N*),则a+a+a+a+a等
nn
于.
13579
1
(2017甘肃)13.已知数列{a}的前n项和为S,且满足a=1,S2=a(S-)(n≥2).
nn1
nnn2
(I)求S的表达式;(II)设b=Sn,数列{b}的前n项和为T,证明:
T<1.
nn2n+1n
nn2
(2017江苏)9.设数列a1,a2,,a21满足|an+1-an|=1(n=1,2,,20),a1,a7,a21成等比数列.若a1=1,a21=9,则满足条件的不同数列的个数为.
(2017江苏)11.设数列{a}满足:
a=1,a>0,a
na2
=n+1,n∈N*.求证:
n1nn
nan+1+1
n
(1)数列{a}是递增数列;
(2)对任意的正整数n,a<1+∑1.
k
nn
k=1
(2017贵州)8.等差数列{an}中,对任意的正整数n,均有an+2an+1+3an+2=6n+22,则a2017=.
aman
(2017贵州)13.在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,使得=8a1,且
a=a+2a,则1+1的最小值为.
987mn
2n*nn
2
(2017贵州)16.已知数列{an}满足:
an=n(n∈N),记An=∑ai,Bn=∏ai.求
2+1
i=1
i=1
证:
3An+Bn⋅2
(1+n)(2-n)2
为定值.
(2017安徽)1.在不大于2017的正整数中,共有个数可被12整除但不能被20整除.
(2017安徽)12.设数列{an},{bn},{cn}
满足:
a=|
b-|c,
b=|-c|a,=*c
n+1
nn+1
nn+1n
证明:
对任意正整数a,b,c,存在正整数k,使得ak+1=ak,bk+1=bk,ck+1=ck.
(2017浙江)11、设f1(x)=
x2+32,f
n+1
(x)
=
x2+16f
3n
(x),n=1,2,
.对每个n,求
fn(x)=3x的实数解.
(2017浙江)13、设数列{an}满足:
|an+1-2an|=2,|an|≤2,n=1,2,3,证明:
如果a1为有理数,则从某项后{an}为周期数列.
(2017湖南)7.已知函数f(x)满足f(m+n)=f(m)f(n),f
(1)=3,则
++
f
(1)2+f
(2)
f
(1)
f
(2)2+f(4)
f(3)
f2(3)+f(6)
f(5)
f2(4)+f(8)
f(7)
+.=
(2017湖南)10.对正整数n,定义n!
=n(n-1)(n-2)⋅⋅2⋅1,记
+(
n
n+1!
)
S=⎛1+2+
⎫
-1,则S=.
nn!
ç2!
3!
⎪2017
⎝⎭
(2017湖南)14.已知数列{a}满足a=2,a
=-(Sn
S
-1)2
(n∈N*),其中S为{a}
n
的前n项和.
S
⎭
n
⎧1⎫
1n+1nn
n
(1)求证:
⎨
⎩
-1⎬为等差数列;
(Sn+1)
(2)若对任意的n,均有(S1+1)(S2+1)
≥kn,试求k的最大值.
(2017新疆)3.在数列{an}中,对1≤n≤5,有an=n2,且对一切正整数n,都有
an+5+an+1=an+4+an
则a2023=.
(2017全国)8.设两个严格单调递增的正整数数列{an},{bn}满足:
a10=b10<2017,对任意的正整数n,有an+2=an+1+an,bn+1=2bn,则a1+b1的所有可能值为.
nn
(2017内蒙古)1.设等比数列{a}的公比为t,前n项和S>0(n∈N*),则t的取值范围为.
(2017内蒙古)11.已知各项全不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且
S=1aa(n∈N*),a
=1.
n2nn+11
(I)求数列{an}的通项公式.
(II)
n
对任意给定的正整数n(n≥2),数列{b}满足bk+1=k-n(k=1,2,,n-1),
bkan+1
b1=1,求b1+b2++bn.
(2017上海)2.数列{an}
是递增数列,且满足
a=1,a2
+a2+81=18(a+a
)+2aa,n=1,2,,则数列{a}的通项公式为
1n+1
nnn+1
nn+1n
.
(2017上海)9.已知数列{an}的各项均为正实数,a1=1,且对一切正整数n,均有
anan+1
n
=2∑ai.
i=1
(1)证明:
数列{an}的每一个项都是完全平方数;
(2)证明:
9|a100.
(2016天津)15.设f(x)=
x,令a=1,a
=3,a
=f(a)+f(a),n=1,2,,
x+1122
4n+2
nn+1
2n
求证:
对任何的正整数n,有f(3⋅2n-1)≤a≤f(3⋅22n-2).
(2016河北)8.数列{a}满足a=1,且对于任意n∈N*,a
=a2+a
20161
∑
,则的
n13
n+1nn
n=1
an+1
整数部分是.
(2016河北)12.设Sn
为数列{an}
的前n项和,且
2Sn+1+1a2*
a1+a2=4,
2Sn+1
==c(c>0,n∈N).
a1
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)令bn=anlog3an,求数列{bn}的前n项和Tn.
(2016山西)3.设n为正整数,使3介于
n+3,
n+4
之间,则n=.
k
(2016山西)8.设a=2
nn+1
(k∈N),令A=a
+a++a,
B=aa,则
A=.
B
k32k+1
01901
(2016山西)11.已知在正整数n的各位数字中,共还有a1个1,a2个2,……an个n.证明:
2a1⋅3a2⋅10a9≤n+1,并确定等号成立的条件.
(2016辽宁)10.已知数列{an}
共有100项,满足
99)
a1=0,a100=475,|ak+1-ak|=5(k=1,2,
个.
,则符合条件的不同的数列共有
2
(2016辽宁)12.已知数列{a}满足a=1,a=a+an-1,其中k为正整数.若对于所有
n0knn-1n2
n
的n∈N*,恒有a<1,求k的取值范围.
(2016吉林)9.在公差不为0的等差数列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.则数列{an}的通项公式为.
cos(n
(2016山东)12.求证不等式:
sin1+sin2>31
nnnn
∈N*).
(2016山东)13.数列{x}满足:
x>0,x=5x+2x2+1,n∈N*.证明:
在
n1n+1nn
x1,x2,,x2016中,至少存在672个无理数.
(2016福建)11.已知数列{an
}的前n项和S
n=2an
-2(n∈N*)。
(1)求{an}的通项公式an;
(2)设bn=-
,Tn是数列{bn}的前n项和,求正整数k,使得对任意
11
an
n∈N*均有T≥T;
n(n+1)
kn
(3)
n
设c=
an+1
,R是数列{c
}的前n项和,若对任意n∈N*均有
n
n
(1+an)(1+an+1)
Rn<λ成立,求λ的最小值。
(2016江西)5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项(具有相同数值的项)的个数是.答案:
134.
(2016河南)6.定义数列{an}:
an为1+2++n的末位数字,Sn为数列{an}的前n项之和,则S2016=.
(2016河南)12.定义数列{an}:
a1=1,a2=4,an=an-1an+1+1(n≥2).
(1)求证:
{an}为整数数列;
(2)求证:
2anan+1+1(n≥1)为完全平方数.
(2016湖北)12.已知定义在R上的函数f(x)满足:
f
(1)=10,且对任意实数x,y恒有
3
f(x)f(y)=
f(x+y)+
f(x-y).若数列{a}满足a
=3f(n)-f(n-1),n∈N*.
nn
(I)求数列{an}的通项公式.
(II)
n
令b=
24an
,n∈N*,S是数列{b}的前n项,求证:
S<1.
2nnn
(3an-8)
=
(2016四川)5.数列{a}满足a=6,a
[5a+3a2-1](n∈Z
),若S为{a}的前n
n1n+1
4n4n
+
nn
项和,则S2016的个位数字为.
nn
(2016四川)13.设等比数列{a}的前n项和为S=2n+r(rbn=2(1+log2an)(n∈Z+).
(1)求数列{anbn}的前n项和Tn;
为常数).记
(2)
若对于任意的正整数n,均有1+b1⋅1+b2⋅1+b3⋅1+bn⋅≥kn+1,则实数k的
最大值.
b1b2b3bn
1
(2016陕西)16.设函数f(x)=lnx+a(
x
(I)求a的值;
-1),a∈R,且f(x)的最小值为0.
(II)已知数列{a}满足:
a=1,a=f(a)+2(n∈N*).设S
=[a]+[a]++[a],
n1n+1n
n12n
其中[m]表示不超过实数m的最大整数.求Sn.
(2016甘肃)10.数列a0,a1,,an满足a0=
1
=+{a}
3,an+1[an],其中[x]表示不超过实
n
数x的最大整数,{x}=x-[x],则a2016=.
(2016甘肃)14.设数列{an}(n∈Z+)的前n项和为Sn,点(an,S)n
(1)求数列{an}的通项公式;
在y=-
11
63
x的图像上.
(2)若c1=0,且对任意的正整数n,均有cn+1-cn=log1an.证明:
对任意n≥2,总有
2
+1<3
cn4
1≤1+1+.
3c2c3
(2016黑龙江)8.已知等差数列{a}的前n项和为S,(a-1)3+2013(a
-1)=1,
nn66
(a-1)3+2013(a-1)=-1则S=.
200820082013
n(n+1
(2016黑龙江)15.已知数列{an}满足an+an+1=(-1)2
,前n项和Sn满足
m+S=-1007a,m>,则1+4的最小值为.
20151
a1m
(2016江苏)8、己知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列,偶数项依次构成
公差为d的等差数列.且对任意n∈N*,都有a2nn+112n
10项和S10=75,则a8=。
(2016贵州)13.设A,B分别是等差数列{a},{b}的前n项和。
若An=5n-3,则
nnnn
Bnn+9
an=
bn
⎧f(x+2016)≤
⎩
(2016贵州)14.定义在R上的函数f(x),均有⎨f(x+2017)≥
f
(1)=2,记an=f(n)(n∈N*),a2018=
f(x)+2016
且
f(x)+2017
(2016贵州)15.(16分)在正项数列{an}中,a1=4,其前n项和Sn满足:
2n-1+1
n
2Sn=Sn+1+n.令bn=(3n-2)a.
n
i
证明:
对于任意n∈N*,均有∑b
i=1
<5
12
(2016福建)6.f(x)是定义在R上的函数,若f(0)=1,且对任意x∈R,
满足f(x+2)-f(x)≤2,f(x+6)-f(x)≥6,则f(2016)=()
A.2013B.2015C.2017D.2019
2a2-3a-9
(2016安徽)9.已知数列{an}满足a=1,a=5,a
=n-1n-1,(n≥2).求证数列
01n
{an}的通项公式.(用数学归纳法求证)
2an-2
(2016浙江)10.已知数列{an},{bn}满足
a=-1=,b
=2-a,=b-,b∈
*,则b+b
=.
11n+
1+nn1n
20152016
(2016浙江)18.给定数列{xn},证明:
存在唯一分解xn=yn-zn,其中数列{yn}非负,{zn}单调不减,并且yn(zn-zn-1)=0,z0=0.
(2016广西)11.(本小题满分20分)已知数列{a}中,a
=1,a
=1,且
an+1=
(n-1)ann-an
1
(n≥2).
n124
7
n
2
n
(1)设bn=(n-1)a
,求数列{bn}的通项公式;
(2)求证:
对一切n∈N*,有∑ak<.
6
k=1
(2015天津)8.设数列{an},{bn}都是等差数列,An,Bn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若
An=5n-3,则a8=
Bnn+9b8
∑
2015
(2015天津)10.设S=k⋅2k,则S除以100的余数是
k=1
4
(2015天津)15.设数列{an}满足:
a1=1,a2=8,an+1=an-1+nan,n=2,3,4,
.
(Ⅰ)证明:
存在常数C>0,使得对任意正整数n,都有an
≤Cn2;
(Ⅱ)证明:
对任意正整数n