全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选.docx

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全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选

2014年——2017年全国高中数学联赛各省预赛中数列试题集萃

（2017天津）2.已知等差数列{an}的公差不为零，且a2,a3,a9构成等比数列，则

a4+a5+a6

a2+a3+a4

=.

（2017天津）8.已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，{bn}是首项为2，公差为

5的等差数列.同时出现在这两个数列中的数从小到大顺序排列成数列{xn}，则

x100=.

（1+1）

2n

11

（2017天津）14.如果整数n≥2，证明：

（1+22）（1+23）

<2.

+a2016x

012

（2017河北）6.设（x+1）2017=ax2017+ax2016+ax2015+

值为.

+a2017

505

∑

，则a4k-3的

k=1

（2017河北）9.前n项和为S的正项数列{a}满足：

a2+2a=4S

+3（n∈N*）.

nnnnn

（I）求数列{an}的通项公式.

（1+1）

an

an

1

（II）求证：

（1+）（1+1）（1+1）<.

a1a2a32

（2017山西）4.将全体正整数从小到大排列，然后取第一个数为a1，取后续两数和为a2，

再取后续三数和为

a3，以此类推，得到数列

{an

}1a=:

2a=1,+

32a=3+,

+4a45……。

则数列{an}

的前20项和

S20=.

（2017辽宁）3.数列{a}满足：

a

=134,a

=150,a

=a-k

a

（k=1,2,

n-1），若

n

an=0，则n为.

01k+1

k-1

k

（2017辽宁）14.如果对于任意的非负整数n，cos（2nα）<-1都成立，求实数α.

3

（2017福建）3．已知{a}为等比数列，且aa=1，若f（x）=2，则

n12017

1+x2

f（a1）+

f（a2）+

f（a3

）++

f（a2017）。

（2017福建）11．若数列{a}中的相邻两项a、a是关于x的方程x2-nx+c=0

nnn+1n

（n=1，2，3，…）的两个实根，且a1=1。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=c2n-1，求数列{bn}的通项公式及{bn}的前n项的和Tn。

+n2=n（n+1）（2n+1）

6

（必要时，可以利用：

12+22+32+）

（2017江西）1.化简：

1

12+21

1

23+32

1

34+43

+

1

20162017+20172016

+++=.

112123

（2017江西）7.将全体真分数排成这样的一个数列{an}:

,,,,,

233444

，其排序方法

是：

自左至右，先将分母从小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子从小到大排列，则其第2017项a2017=.

（2017江西）8.将各位数字和为10的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列，若

an=2017，则n=.

an+1bn+1

2

anbn

2

（2017江西）9.数列{an}，{bn}满足：

a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn（n≥1）.

证明：

（1）a2n-1<

b2n-1

2,a2n>2;

b2n

（2）

-<-.

（2017湖北）2.已知正项等比数列{an}满足a6+a5+a4-a3-a2-a1=49,则a9+a8+a7的最

小值为.

（2017湖北）10.将与70互素的所有正整数从小到大排成数列，则这个数列的第2017项为

.

（2017湖北）13.已知函数f（x）=|sinx|,x∈R.

（1）证明：

sin1≤f（x）+f（x+1）≤2cos1.

+f（3n-1）

3n-1

2

（2）证明：

对任意的正整数n，有

f（n）+

f（n+1）+

>sin1.

nn+12

nn

（2017湖北）13.（高一）记数列{a}的前n项和为S（n∈N*）

，其中

⎧n⋅2n-1,n为偶数

⎩

an=⎨（n+λ）⋅2n-1,n为奇数.

（1）求Sn；

（2）若λ∈（-2017,-2016），求Sn取得最小值时对应的n的值.

（2017四川）6.已知数列{a}满足：

a

=（2+1）n-（2-1）n（n∈N），用[x]表示不超过

nn

实数x的最大整数，则[a2017]的个位数字是.

25x

2016k

k=1

（2017四川）7.已知函数f（x）=25x+5，则∑f（2017）=.

（2017四川）13.已知数列{a}满足：

a=a,a

-

5an8*

=（n∈N）.

n1n+1

an-1

（1）若a=3，求数列{an}的通项公式.

（2）若对任意的正整数n，都有an>3，求实数a的取值范围.

（2017陕西）1.已知数列{a}的前n项和S

=n2-1（n∈N*），则a+a+a+a+a等

nn

于.

13579

1

（2017甘肃）13.已知数列{a}的前n项和为S，且满足a=1，S2=a（S-）（n≥2）.

nn1

nnn2

（I）求S的表达式；（II）设b=Sn，数列{b}的前n项和为T，证明：

T<1.

nn2n+1n

nn2

（2017江苏）9.设数列a1,a2,,a21满足|an+1-an|=1（n=1,2,,20），a1,a7,a21成等比数列.若a1=1,a21=9,则满足条件的不同数列的个数为.

（2017江苏）11.设数列{a}满足：

a=1,a>0,a

na2

=n+1,n∈N*.求证：

n1nn

nan+1+1

n

（1）数列{a}是递增数列；

（2）对任意的正整数n，a<1+∑1.

k

nn

k=1

（2017贵州）8.等差数列{an}中，对任意的正整数n，均有an+2an+1+3an+2=6n+22，则a2017=.

aman

（2017贵州）13.在正项等比数列{an}中，存在两项am,an，使得=8a1，且

a=a+2a，则1+1的最小值为.

987mn

2n*nn

2

（2017贵州）16.已知数列{an}满足：

an=n（n∈N），记An=∑ai,Bn=∏ai.求

2+1

i=1

i=1

证：

3An+Bn⋅2

（1+n）（2-n）2

为定值.

（2017安徽）1.在不大于2017的正整数中，共有个数可被12整除但不能被20整除.

（2017安徽）12.设数列{an},{bn},{cn}

满足：

a=|

b-|c,

b=|-c|a,=*c

n+1

nn+1

nn+1n

证明：

对任意正整数a,b,c，存在正整数k，使得ak+1=ak,bk+1=bk,ck+1=ck.

（2017浙江）11、设f1（x）=

x2+32,f

n+1

（x）

=

x2+16f

3n

（x）,n=1,2,

.对每个n，求

fn（x）=3x的实数解.

（2017浙江）13、设数列{an}满足：

|an+1-2an|=2,|an|≤2,n=1,2,3,证明：

如果a1为有理数，则从某项后{an}为周期数列.

（2017湖南）7．已知函数f（x）满足f（m+n）=f（m）f（n），f

（1）=3，则

++

f

（1）2+f

（2）

f

（1）

f

（2）2+f（4）

f（3）

f2（3）+f（6）

f（5）

f2（4）+f（8）

f（7）

+．=

（2017湖南）10．对正整数n，定义n!

=n（n-1）（n-2）⋅⋅2⋅1，记

+（

n

n+1!

）

S=⎛1+2+



⎫

-1，则S=．

nn!

ç2!

3!

⎪2017

⎝⎭

（2017湖南）14．已知数列{a}满足a=2，a

=-（Sn

S

-1）2

（n∈N*），其中S为{a}

n

的前n项和.

S

⎭

n

⎧1⎫

1n+1nn

n

（1）求证：

⎨

⎩

-1⎬为等差数列；

（Sn+1）

（2）若对任意的n，均有（S1+1）（S2+1）

≥kn，试求k的最大值.

（2017新疆）3.在数列{an}中，对1≤n≤5，有an=n2，且对一切正整数n，都有

an+5+an+1=an+4+an

则a2023=.

（2017全国）8.设两个严格单调递增的正整数数列{an},{bn}满足：

a10=b10<2017，对任意的正整数n，有an+2=an+1+an,bn+1=2bn，则a1+b1的所有可能值为.

nn

（2017内蒙古）1.设等比数列{a}的公比为t，前n项和S>0（n∈N*），则t的取值范围为.

（2017内蒙古）11.已知各项全不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且

S=1aa（n∈N*）,a

=1.

n2nn+11

（I）求数列{an}的通项公式.

（II）

n

对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b}满足bk+1=k-n（k=1,2,,n-1），

bkan+1

b1=1,求b1+b2++bn.

（2017上海）2.数列{an}

是递增数列，且满足

a=1,a2

+a2+81=18（a+a

）+2aa,n=1,2,，则数列{a}的通项公式为

1n+1

nnn+1

nn+1n

.

（2017上海）9.已知数列{an}的各项均为正实数，a1=1，且对一切正整数n，均有

anan+1

n

=2∑ai.

i=1

（1）证明：

数列{an}的每一个项都是完全平方数；

（2）证明:

9|a100.

（2016天津）15.设f（x）=

x，令a=1,a

=3,a

=f（a）+f（a）,n=1,2,，

x+1122

4n+2

nn+1

2n

求证：

对任何的正整数n,有f（3⋅2n-1）≤a≤f（3⋅22n-2）.

（2016河北）8.数列{a}满足a=1，且对于任意n∈N*，a

=a2+a

20161

∑

，则的

n13

n+1nn

n=1

an+1

整数部分是.

（2016河北）12.设Sn

为数列{an}

的前n项和，且

2Sn+1+1a2*

a1+a2=4,

2Sn+1

==c（c>0,n∈N）.

a1

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）令bn=anlog3an，求数列{bn}的前n项和Tn.

（2016山西）3.设n为正整数，使3介于

n+3,

n+4

之间，则n=.

k

（2016山西）8.设a=2

nn+1

（k∈N），令A=a

+a++a,

B=aa，则

A=.

B

k32k+1

01901

（2016山西）11.已知在正整数n的各位数字中，共还有a1个1，a2个2，……an个n.证明：

2a1⋅3a2⋅10a9≤n+1，并确定等号成立的条件.

（2016辽宁）10.已知数列{an}

共有100项，满足

99）

a1=0,a100=475,|ak+1-ak|=5（k=1,2,

个.

，则符合条件的不同的数列共有

2

（2016辽宁）12.已知数列{a}满足a=1,a=a+an-1，其中k为正整数.若对于所有

n0knn-1n2

n

的n∈N*，恒有a<1，求k的取值范围.

（2016吉林）9．在公差不为0的等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列.则数列{an}的通项公式为．

cos（n

（2016山东）12.求证不等式：

sin1+sin2>31

nnnn

∈N*）.

（2016山东）13.数列{x}满足：

x>0,x=5x+2x2+1,n∈N*.证明：

在

n1n+1nn

x1,x2,,x2016中，至少存在672个无理数.

（2016福建）11．已知数列{an

}的前n项和S

n=2an

-2（n∈N*）。

（1）求{an}的通项公式an；

（2）设bn=-

，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意

11

an

n∈N*均有T≥T；

n（n+1）

kn

（3）

n

设c=

an+1

，R是数列{c

}的前n项和，若对任意n∈N*均有

n

n

（1+an）（1+an+1）

Rn<λ成立，求λ的最小值。

（2016江西）5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是．答案：

134．

（2016河南）6.定义数列{an}:

an为1+2++n的末位数字，Sn为数列{an}的前n项之和，则S2016=.

（2016河南）12.定义数列{an}：

a1=1,a2=4,an=an-1an+1+1（n≥2）.

（1）求证：

{an}为整数数列；

（2）求证：

2anan+1+1（n≥1）为完全平方数.

（2016湖北）12.已知定义在R上的函数f（x）满足：

f

（1）=10，且对任意实数x,y恒有

3

f（x）f（y）=

f（x+y）+

f（x-y）.若数列{a}满足a

=3f（n）-f（n-1）,n∈N*.

nn

（I）求数列{an}的通项公式.

（II）

n

令b=

24an

，n∈N*，S是数列{b}的前n项，求证：

S<1.

2nnn

（3an-8）

=

（2016四川）5.数列{a}满足a=6,a

[5a+3a2-1]（n∈Z

），若S为{a}的前n

n1n+1

4n4n

+

nn

项和，则S2016的个位数字为.

nn

（2016四川）13.设等比数列{a}的前n项和为S=2n+r（rbn=2（1+log2an）（n∈Z+）.

（1）求数列{anbn}的前n项和Tn；

为常数）.记

（2）

若对于任意的正整数n，均有1+b1⋅1+b2⋅1+b3⋅1+bn⋅≥kn+1，则实数k的

最大值.

b1b2b3bn

1

（2016陕西）16.设函数f（x）=lnx+a（

x

（I）求a的值；

-1）,a∈R,且f（x）的最小值为0.

（II）已知数列{a}满足：

a=1,a=f（a）+2（n∈N*）.设S

=[a]+[a]++[a]，

n1n+1n

n12n

其中[m]表示不超过实数m的最大整数.求Sn.

（2016甘肃）10.数列a0,a1,,an满足a0=

1

=+{a}

3,an+1[an]，其中[x]表示不超过实

n

数x的最大整数，{x}=x-[x]，则a2016=.

（2016甘肃）14.设数列{an}（n∈Z+）的前n项和为Sn，点（an,S）n

（1）求数列{an}的通项公式；

在y=-

11

63

x的图像上.

（2）若c1=0，且对任意的正整数n，均有cn+1-cn=log1an.证明：

对任意n≥2，总有

2

+1<3

cn4

1≤1+1+.

3c2c3

（2016黑龙江）8.已知等差数列{a}的前n项和为S，（a-1）3+2013（a

-1）=1，

nn66

（a-1）3+2013（a-1）=-1则S=.

200820082013

n（n+1

（2016黑龙江）15.已知数列{an}满足an+an+1=（-1）2

，前n项和Sn满足

m+S=-1007a,m>，则1+4的最小值为.

20151

a1m

（2016江苏）8、己知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成

公差为d的等差数列.且对任意n∈N*，都有a

2nn+112n

10项和S10=75，则a8=。

（2016贵州）13．设A,B分别是等差数列{a},{b}的前n项和。

若An=5n-3，则

nnnn

Bnn+9

an=

bn

⎧f（x+2016）≤

⎩

（2016贵州）14．定义在R上的函数f（x），均有⎨f（x+2017）≥

f

（1）=2，记an=f（n）（n∈N*）,a2018=

f（x）+2016

且

f（x）+2017

（2016贵州）15．（16分）在正项数列{an}中，a1=4，其前n项和Sn满足：

2n-1+1

n

2Sn=Sn+1+n.令bn=（3n-2）a.

n

i

证明：

对于任意n∈N*，均有∑b

i=1

<5

12

（2016福建）6．f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=1，且对任意x∈R，

满足f（x+2）-f（x）≤2，f（x+6）-f（x）≥6，则f（2016）=（）

A．2013B．2015C．2017D．2019

2a2-3a-9

（2016安徽）9.已知数列{an}满足a=1,a=5,a

=n-1n-1,（n≥2）.求证数列

01n

{an}的通项公式.（用数学归纳法求证）

2an-2

（2016浙江）10.已知数列{an},{bn}满足

a=-1=,b

=2-a,=b-,b∈

*，则b+b

=.

11n+

1+nn1n

20152016

（2016浙江）18.给定数列{xn}，证明：

存在唯一分解xn=yn-zn,其中数列{yn}非负，{zn}单调不减，并且yn（zn-zn-1）=0,z0=0.

（2016广西）11.（本小题满分20分）已知数列{a}中，a

=1,a

=1，且

an+1=

（n-1）ann-an

1

（n≥2）.

n124

7

n

2

n

（1）设bn=（n-1）a

，求数列{bn}的通项公式；

（2）求证：

对一切n∈N*，有∑ak<.

6

k=1

（2015天津）8.设数列{an},{bn}都是等差数列,An,Bn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若

An=5n-3,则a8=



Bnn+9b8

∑

2015

（2015天津）10.设S=k⋅2k,则S除以100的余数是

k=1

4

（2015天津）15.设数列{an}满足:

a1=1,a2=8,an+1=an-1+nan,n=2,3,4,

.

（Ⅰ）证明:

存在常数C>0,使得对任意正整数n,都有an

≤Cn2;

（Ⅱ）证明:

对任意正整数n