小学六年级数学必考的34个数学重难点公式.docx
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小学六年级数学必考的34个数学重难点公式
34个小学数学重难点公式
1、和差倍问题
2、年龄问题的三个基本特征
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3、归一问题的基本特点
问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”;题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示.
关键问题:
根据题目中的条件确定并求出单一量;
4、植树问题
5、鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设;即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后;发生了和题目条件不同的差;找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的;从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整;消去出现的差.
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:
找出总量的差与单位量的差.
6、盈亏问题
基本概念:
一定量的对象;按照某种标准分组;产生一种结果:
按照另一种标准分组;又产生一种结果;由于分组的标准不同;造成结果的差异;由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:
先将两种分配方案进行比较;分析由于标准的差异造成结果的变化;根据这个关系求出参加分配的总份数;然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数;另一次不足;
基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的.
关键问题:
确定对象总量和总的组数.
7、牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份;根据两次不同的吃法;求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因;即可确定草的生长速度和总草量.
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:
确定两个不变的量.
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8、周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中;某些特征有规律循环出现.
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期.
关键问题:
确定循环周期.
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除;则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天.
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除;但不能被400整除;
9、平均数
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
①求出总数量以及总份数;利用基本公式①进行计算.
②基准数法:
根据给出的数之间的关系;确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准;求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和;就是所求的平均数;具体关系见基本公式②
10、抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里;那么必有一个抽屉中至少放有2个物体.
例:
把4个物体放在3个抽屉里;也就是把4分解成三个整数的和;那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式;我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体;也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里;其中n>m;那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时.
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时.
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数.
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:
构造物体和抽屉.也就是找到代表物体和抽屉的量;而后依据抽屉原则进行运算.
11、定义新运算
基本概念:
定义一种新的运算符号;这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算.
基本思路:
严格按照新定义的运算规则;把已知的数代入;转化为加减乘除的运算;然后按照基本运算过程、规律进行运算.
关键问题:
正确理解定义的运算符号的意义.
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律;特别注意运算顺序.
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
12、数列求和
等差数列:
在一列数中;任意相邻两个数的差是一定的;这样的一列数;就叫做等差数列.
基本概念:
首项:
等差数列的第一个数;一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数;一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差;一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式;一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和;一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可求出第四个;求和公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可以求这第四个.
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an+a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量;确定使用的公式;
13、二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表示;逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义;十位上的2表示20;百位上的2表示200.所以234=200+30+4=2×102+3×10+4.
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:
N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表示;逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义.
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:
An不是0就是1.
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1的特点;用2连续去除这个数;直到商为0;然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可.
②先找出不大于该数的2的n次方;再求它们的差;再找不大于这个差的2的n次方;依此方法一直找到差为0;按照二进制展开式特点即可写出.
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法;在第一类方法中有m1种不同方法;在第二类方法中有m2种不同方法……;在第n类方法中有mn种不同方法;那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同的方法.
关键问题:
确定工作的分类方法.
基本特征:
每一种方法都可完成任务.
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行;做第1步有m1种方法;不管第1步用哪一种方法;第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法;第n步总有mn种方法;那么完成这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同的方法.
关键问题:
确定工作的完成步骤.
基本特征:
每一步只能完成任务的一部分.
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动;形成的轨迹.
直线特点:
没有端点;没有长度.
线段:
直线上任意两点间的距离.这两点叫端点.
线段特点:
有两个端点;有长度.
射线:
把直线的一端无限延长.
射线特点:
只有一个端点;没有长度.
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外;没有别的约数;这个数叫做质数;也叫做素数.
合数:
一个数除了1和它本身之外;还有别的约数;这个数叫做合数.
质因数:
如果某个质数是某个数的约数;那么这个质数叫做这个数的质因数.
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来;叫做分解质因数.通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯一的.
分解质因数的标准表示形式:
N=;其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数;且a1求约数个数的公式:
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数:
如果两个数的最大公约数是1;这两个数叫做互质数.
16、约数与倍数
约数和倍数:
若整数a能够被b整除;a叫做b的倍数;b就叫做a的约数.
公约数:
几个数公有的约数;叫做这几个数的公约数;其中最大的一个;叫做这几个数的最大公约数.
最大公约数的性质:
1、几个数都除以它们的最大公约数;所得的几个商是互质数.
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数.
3、几个数的公约数;都是这几个数的最大公约数的约数.
4、几个数都乘以一个自然数m;所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m.
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6;记作(12;18)=6;
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:
先分解质因数;然后把相同的因数连乘起来.
2、短除法:
先找公有的约数;然后相乘.
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除;能够整除的那个余数;就是所求的最大公约数.
公倍数:
几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个;叫做这几个数的最小公倍数.
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36;记作[12;18]=36;
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
17、数的整除
基本概念和符号:
1、整除:
如果一个整数a;除以一个自然数b;得到一个整数商c;而且没有余数;那么叫做a能被b整除或b能整除a;记作b|a.
2、常用符号:
整除符号“|”;不能整除符号“”;因为符号“∵”;所以的符号“∴”;
整除判断方法:
1.能被2、5整除:
末位上的数字能被2、5整除.
2.能被4、25整除:
末两位的数字所组成的数能被4、25整除.
3.能被8、125整除:
末三位的数字所组成的数能被8、125整除.
4.能被3、9整除:
各个数位上数字的和能被3、9整除.
5.能被7整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除.
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除.
6.能被11整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除.
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除.
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除.
7.能被13整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除.
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除.
整除的性质:
1.如果a、b能被c整除;那么(a+b)与(a-b)也能被c整除.
2.如果a能被b整除;c是整数;那么a乘以c也能被b整除.
3.如果a能被b整除;b又能被c整除;那么a也能被c整除.
4.如果a能被b、c整除;那么a也能被b和c的最小公倍数整除.
18、余数及其应用
基本概念:
对任意自然数a、b、q、r;如果使得a÷b=q……r;且0余数的性质:
①余数小于除数.
②若a、b除以c的余数相同;则c|a-b或c|b-a.
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数.
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数.
19、余数、同余与周期
同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同;则称a、b对于模m同余.
②已知三个整数a、b、m;如果m|a-b;就称a、b对于模m同余;记作a≡b(modm);读作a同余于b模m.
同余的性质:
①自身性:
a≡a(modm);
②对称性:
若a≡b(modm);则b≡a(modm);
③传递性:
若a≡b(modm);b≡c(modm);则a≡c(modm);
④和差性:
若a≡b(modm);c≡d(modm);则a+c≡b+d(modm);a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:
若a≡b(modm);c≡d(modm);则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性:
若a≡b(modm);则an≡bn(modm);
⑦同倍性:
若a≡b(modm);整数c;则a×c≡b×c(modm×c);
关于乘方的预备知识:
①若A=a×b;则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M;n表示M的各个数位上数字的和;则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M;X表示M的各个奇数位上数字的和;Y表示M的各个偶数数位上数字的和;则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
费尔马小定理:
如果p是质数(素数);a是自然数;且a不能被p整除;则ap-1≡1(modp).
20、分数与百分数的应用
基本概念与性质:
分数:
把单位“1”平均分成几份;表示这样的一份或几份的数.
分数的性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外);分数的大小不变.
分数单位:
把单位“1”平均分成几份;表示这样一份的数.
百分数:
表示一个数是另一个数百分之几的数.
常用方法:
①逆向思维方法:
从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考.
②对应思维方法:
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系.
③转化思维方法:
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答.最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率.常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量.
④假设思维方法:
为了解题的方便;可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立;计算出相应的结果;然后再进行调整;求出最后结果.
⑤量不变思维方法:
在变化的各个量当中;总有一个量是不变的;不论其他量如何变化;而这个量是始终固定不变的.有以下三种情况:
A、分量发生变化;总量不变.B、总量发生变化;但其中有的分量不变.C、总量和分量都发生变化;但分量之间的差量不变化.
⑥替换思维方法:
用一种量代替另一种量;从而使数量关系单一化、量率关系明朗化.
⑦同倍率法:
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理.
⑧浓度配比法:
一般应用于总量和分量都发生变化的状况.
21、分数大小的比较
基本方法:
①通分分子法:
使所有分数的分子相同;根据同分子分数大小和分母的关系比较.
②通分分母法:
使所有分数的分母相同;根据同分母分数大小和分子的关系比较.
③基准数法:
确定一个标准;使所有的分数都和它进行比较.
④分子和分母大小比较法:
当分子和分母的差一定时;分子或分母越大的分数值越大.
⑤倍率比较法:
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小;除了运用以上方法外;可以用同倍率的变化关系比较分数的大小.(具体运用见同倍率变化规律)
⑥转化比较方法:
把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较.
⑦倍数比较法:
用一个数除以另一个数;结果得数和1进行比较.
⑧大小比较法:
用一个分数减去另一个分数;得出的数和0比较.
⑨倒数比较法:
利用倒数比较大小;然后确定原数的大小.
⑩基准数比较法:
确定一个基准数;每一个数与基准数比较.
22、分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式
23、完全平方数
完全平方数特征:
1.末位数字只能是:
0、1、4、5、6、9;反之不成立.
2.除以3余0或余1;反之不成立.
3.除以4余0或余1;反之不成立.
4.约数个数为奇数;反之成立.
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立.
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数.
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数.
平方差公式:
X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:
(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比:
两个数相除又叫两个数的比.比号前面的数叫比的前项;比号后面的数叫比的后项.
比值:
比的前项除以后项的商;叫做比值.
比的性质:
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外);比值不变.
比例:
表示两个比相等的式子叫做比例.a:
b=c:
d或
比例的性质:
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘);ad=bc.
正比例:
若A扩大或缩小几倍;B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时);则A与B成正比.
反比例:
若A扩大或缩小几倍;B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时);则A与B成反比.
比例尺:
图上距离与实际距离的比叫做比例尺.
按比例分配:
把几个数按一定比例分成几份;叫按比例分配.
25、综合行程
基本概念:
行程问题是研究物体运动的;它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式:
路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题:
确定运动过程中的位置和方向.
相遇问题:
速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题:
追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题:
顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题:
关键是确定物体所运动的速度;参照以上公式.
过桥问题:
关键是确定物体所运动的路程;参照以上公式.
主要方法:
画线段图法
基本题型:
已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量;求第三个量.
26、工程问题
基本公式:
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路:
①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数);利用上述三个基本关系;可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题:
确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系.
27、逻辑推理
条件分析—假设法:
假设可能情况中的一种成立;然后按照这个假设去判断;如果有与题设条件矛盾的情况;说明该假设情况是不成立的;那么与他的相反情况是成立的.例如;假设a是偶数成立;在判断过程中出现了矛盾;那么a一定是奇数.
条件分析—列表法:
当题设条件比较多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列表来辅助分析.列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中;表格的行、列分别表示不同的对象与情况;观察表格内的题设情况;运用逻辑规律进行判断.
条件分析—图表法:
当两个对象之间只有两种关系时;就可用连线表示两个对象之间的关系;有连线则表示“是;有”等肯定的状态;没有连线则表示否定的状态.例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态;有连线表示认识;没有表示不认识.
逻辑计算:
在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外;还要进行相应的计算;根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件.
简单归纳与推理:
根据题目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊情况推广到一般情况;并递推出相关的关系式;从而得到问题的解决.
28、几何面积
基本思路:
在一些面积的计算上;不能直接运用公式的情况下;一般需要对图形进行割补;平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等;使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律.
常用方法:
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等.
3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点;解题时可把任意点设置在特殊位置上).
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形;已知任意一条边都可求出面积.(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后;两腰部分面积相等.
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%.
29、时钟问题——快慢表问题
基本思路:
1、按照行程问题中的思维方法解题;
2、不同的表当成速度不同的运动物体;
3、路程的单位是分格(表一周为60分格);
4、时间是标准表所经过的时间;
5、合理利用行程问题中的比例关系;
30、时钟问题——钟面追及
基本思路:
封闭曲线上的追及问题.
关键问题:
①确定分针与时针的初始位置;
②确定分针与时针的路程差;
基本方法:
①分格方法:
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格;每小格我们称为1分格.分针每小时走60分格;即一周;而时针只走5分格;故分针每分钟走1分格;时针每分钟走1/12分格.
②度数方法:
从角度观点看;钟面圆周一周是360°;分针每分钟转360/60度;即6°;时针每分钟转360/12X60度;即1/2度.
31、浓度与配比
经验总结:
在配比的过程中存在这样的一个反比例关系;进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比.
溶质:
溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质.
溶剂:
溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂.
溶液:
溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液.
基本公式:
溶液重量=溶质重量+溶剂重量;
溶质重量=溶液重量×浓度;
浓度=溶质/溶液×100%=溶质/(溶剂+溶质)×100%
经验总结:
在配比的过程中存在这样的一个反比例关系;进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比.
32、经济问题
利润的百分数=(卖价-成本)÷成本×100%;
卖价=成本×(1+利润的百分数);
成本=卖价÷(1+利润的百分数);
商品的定价按照期望的利润来确定;
定价=成本×(1+期望利润的百分数);
本金:
储蓄的金额;
利率:
利息和本金的比;
利息=本金×利率×期数;
含税价格=不含税价格×(1+增值税税率);
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