（4）
其中β为溢出参数，
为R&D活动的成本缩小额。
企业1和企业2从事成本缩小型R&D活动的成本函数表达形式为：
（5）
其中r表示R&D活动的效率，r的值越大，表明为了获得一定单位的产品成本缩小，需要付出更多的投入，反之亦然。
当企业1和企业2从事的R&D活动不足或过多时，假定本国政府可以采用税收和补贴措施，引导它们从事社会最优水平的R&D活动。
税收引导是政府对创新成功之后的产品征税，税率为t（t可以为正，也可以为负,负时表示对产出的补贴）；补贴引导是政府对每单位R&D的投入进行补贴，每单位R&D投入的补贴率为s（s可以为正，也可以为负，负时表示对R&D投入的征税）。
把税收和补贴引入AJ模型后，企业1和企业2的利润函数形式表示为：
（i=1,2）（6）
其中税率t小于价格p，否则没有现实意义。
由于R&D的溢出，市场经济体制可能会导致R&D的支出不足，造成社会福利的损失，而政府干预又可以在某种程度上解决市场经济体制的失灵，利用税收和补贴杠杆来引导企业的创新活动，从而在一定范围内，能够改变技术创新的路径，使之朝社会最优水平的创新方向收敛。
由于政府政策的不同，企业的最佳策略行为也就不同，理性的企业必然是在观察到政府的政策之后，再选择最优的战略行动，在此之后，企业选择R&D的投资方式②、投资水平以及产出水平，具体步骤如下：
第一阶段，政府选择税率和补贴率，或者政府仅仅只选择补贴率；第二阶段，企业选择R&D的投资方式以及最优的R&D投入；第三阶段，企业进行古诺竞争选择最优的产量。
二、政府政策、R&D投资策略以及产量选择
根据d’Aspremont和Jacquemin（1988）的研究结论，企业选择何种形式的R&D投资方式则主要由R&D活动的溢出参数β决定，在溢出参数的值高于0.5的条件下，企业采取R&D合作的方式要比采取非合作的方式带来更高的R&D投资和社会福利水平；而在溢出参数的值低于0.5的条件下，企业采取R&D非合作的方式要比采取合作的方式带来更高的R&D投资和社会福利水平。
为了分析税收和补贴政策对R&D的非合作以及R&D合作条件下R&D的投资、产出和社会福利水平，我们首先在政府政策既定的情形下，理性的企业将会选择R&D的非合作形式或者R&D的合作形式，以最大化自身的利润。
本文将采用逆向归纳法解出博弈模型的均衡解，首先，企业1和企业2进行古诺竞争，选择最优的产出；其次，它们选择社会最优的R&D投资方式以及R&D的投入水平；最后，政府从最大化社会福利的目标出发，选择最优的税率和补贴率，或者仅仅只选择最优的补贴率。
（一）企业选择R&D的非合作形式
1．企业的最优产出选择
在产品市场上，企业1和企业2在政府政策和R&D投资水平既定的情形下，通过古诺竞争选择最优的产出。
即：
（i=1,2）（7）
对（7）式一阶求导，整理可得：
（i,j=1,2,i≠j）（8）
把（8）式代入（7）式，整理可得：
（i=1,2）（9）
2．企业的最优R&D投资水平选择
在R&D投资策略选择阶段，假定企业首先会选择R&D的非合作方式，进而再选择最优的R&D投资水平，对（9）式一阶求导可得：
（i=1,2）（10）
其中右边的第一项
表示企业i（i=1,2）的R&D投资所获得的边际收益。
在古诺竞争环境里，企业的战略行为是互动的，即企业i对企业j的行为进行预测，然后再选择最优的战略行动，企业j也是在对企业i的行为进行预测，然后再选择最优的战略行动，从而相对的技术创新水平比绝对的技术创新水平更重要，它决定了企业i和企业j在产品市场上的利润分配（i,j=1,2,i≠j）。
由最大化原理可知，只有（10）式的左右等式两边为零时，企业的R&D投资策略才是最优的，均衡状态时，有（稳定性条件证明见附录A2）：
（i,j=1,2,i≠j）（11）
命题1：
（1）如果溢出参数β>0.5，企业1和企业2的R&D投资策略是互补的；
（2）如果溢出参数β<0.5，企业1和企业2的R&D投资策略是替代的。
从（11）式可以直接看出，最优反应函数曲线斜率的符号和2β－1是一致的，当β>0.5时，企业j的成本缩减额的增加会导致企业i的成本缩减额的增加，因为当溢出程度较大时，知识产权的专利保护效果就很弱，企业i就可以分享到企业j的大部分创新成果，其成本缩小额就大；当β<0.5时，企业j的缩减额的增加会导致企业i的成本缩减额的下降，因为当溢出程度较小时，企业j的R&D投资对企业i的成本缩小额具有负面影响（i,j=1,2,i≠j），本文的这一结论和AJ模型中的结论是一致的。
由于均衡的对称性，（11）式可以重新整理得：
（i=1,2）（12）
由于企业的数量固定为2，我们可以采用比较静态的方法分析溢出参数β的变化对均衡状态时的成本缩小额的影响。
把（12）式对溢出参数β进行一阶求导可得：
（13）
命题2：
（1）如果溢出参数β<0.5，溢出的增加使均衡状态时的成本缩减额增加；
（2）如果溢出参数β>0.5，溢出的增加使均衡状态时的成本缩减额降低。
由于每个企业的均衡产量和消费者剩余会随着均衡成本缩减的增加而增加。
因此，在每一种相同的政策条件下（即税率和补贴率都是相等的），溢出参数β<0.5时，溢出的增加显然会提高产量和消费者剩余；而在溢出参数β>0.5时，溢出的增加又会使它们减少。
在溢出参数β<0.5的范围内，根据（9）式可以得知，均衡成本缩减的增加会提高企业的利润；同理可得，在溢出参数β>0.5的范围内，均衡成本缩减的降低会减少企业的利润。
因此，作为理性的企业，如果政策条件相同，在β<0.5时，将会选择R&D的非合作形式；而在β>0.5时，将会选择R&D的合作形式。
本文的这一结论同原始的AJ模型是一致的。
如果在没有税收和补贴的情形下（即T=0和S=0），本文的模型和原始的AJ模型是一样的。
同次优福利标准模型相比较而言，在原始的AJ模型中，企业的R&D活动是不足的，市场体制导致了一种创新水平的低下（斯蒂芬·马丁，2003）。
既然市场体制不能很好地激励创新活动，那么政府的干预显然是非常必要的，它会引导企业实现社会最优水平的创新。
3．政府的政策选择
（1）政府同时选择最优的税率和补贴率
假定政府是社会利益的代表，它通过税收和补贴杠杆间接地引导企业的R&D投资，从而实现最大化的社会福利。
从
（2）式可以得到社会福利的表达式，它等于消费者剩余和产业利润之和（产业利润又等于企业1和企业2生产的产品所获得的总收益减去它们的总生产成本和R&D投资成本），其表达形式为：
（i=1,2）（14）
由均衡的对称性，我们可以得出
，（14）式可以重新表达为：
（15）
为了得到最优福利水平，对（14）式分别进行对t和s的一阶求导，整理可得：
（16）
（17）
通过（8）、（16）、（17）式计算整理可得，最优的税率和补贴率为：
]（18）
社会最优水平的R&D和产出可由（16）、（17）、（18）式得到：
，
（19）
最优的社会福利大小，最终可由（15）、（19）式得到：
（20）
实现社会最优水平的R&D税收和补贴政策需要满足两个条件：
（1）R&D的社会边际收益必须等于它的边际成本；
（2）企业产品的社会边际收益必须等于它的边际生产成本。
只有满足上述两个条件，政府的税收和补贴政策对社会来说才是最优的。
从（17）式我们可以直接看出，最优R&D投入的补贴率（或税率）s是不依赖于a、b、c、r的取值，这就意味着最优水平的补贴率（或税率）s与市场的需求和企业的最初生产成本以及R&D活动的效率无关，它仅仅依赖于溢出参数β的取值范围。
由二阶条件可知
>0，即t值为负，政府实际上是对产出进行补贴，从（17）式可以直接看出，产出的补贴率t值依赖于a、b、c、r、β的取值，只要r的值足够大，较小的b值也可以满足条件。
较小的b值表示创新成功之后，需求的价格弹性比较大，产出补贴对R&D投资的效果就比较明显，本文的这一结论和Hall（1993）的结论是一致的；较大的r值表示R&D活动效率比较差，需要投入更多的R&D投资，才能获得一定的成本缩小额，在这种情形下企业的R&D支出是不足的，如果政府对产出进行补贴，在同等条件下企业的R&D投资会更多。
命题3：
如果溢出参数β在（0.2,0.5）范围内，政府将会实施补贴R&D投入的政策以引导企业从事社会最优水平的R&D投资；如果溢出参数β在[0,0.2）范围内，政府将对R&D投入实施征税以引导企业从事社会最优水平的R&D投资。
从（17）式中s的值可以看出，当0.2<β<0.5时（溢出参数β不能超过0.5，否则企业不会选择R&D的非合作方式），s的值为正，它表示政府补贴企业的R&D投入。
当0.2<β<0.5时，溢出参数的值越大，s的值也增大，由（12）式
>0可知，企业的R&D投资水平和成本缩小额也是随之增加的。
在R&D活动的溢出水平较高的情形下，市场经济体制会导致R&D投资水平的不足，高溢出水平会损害市场创新的绩效，这和AJ模型的结论大致相同；如果存在政府补贴，企业的R&D投资成本在一定程度上会被政府补偿一部分，即使R&D活动的溢出水平较高，补贴也会促进企业从事更多的R&D投资，而且随着溢出程度增加，为了激励投资更多的R&D活动，政府的补贴率也应随之提高。
如果溢出参数β在[0,0.2）范围内，s的值是负的，它表示政府对企业的R&D投入进行征税。
在我们的模型中，有两种效应：
一种是战略效应，一种是溢出效应。
在古诺竞争条件下，企业之间的竞争行为是战略性的，为了比竞争对手具有更低的成本优势，企业的R&D投资可能会较多，而竞争对手也是同样反应的，与社会最优水平相比，企业之间的共同行为会导致市场上R&D的投入过多；溢出效应则会抑制企业的R&D投资活动，但在溢出程度较低的情形下，R&D的溢出只在很小程度上影响企业的R&D投入。
在这两种效应中，战略效应是主要的，因而，与社会最优水平的R&D投入相比较而言，市场上的R&D投入仍然是过多的。
在这种情形下，政府应当对企业的R&D投入进行征税，降低R&D投资热情，引导它们实现社会最优水平的R&D投资。
命题4：
β在[0，0.5）的范围内，政府对企业1和企业2生产的产出进行补贴。
从二阶条件可知，t值为负，意味着政府实际上是对企业1和企业2的产出进行补贴。
政府对企业1和企业2补贴的原因在于：
在双头垄断市场，企业1和企业2具有一定的市场垄断能力，与社会最优水平的产出相比，双头垄断市场上的产出常常是不足的，政府对产出进行补贴，不仅一定程度上激励企业1和企业2生产得更多，而且还可以使它们的定价更接近于边际生产成本，无论从哪方面来说，社会福利和消费者剩余都会改进。
在溢出程度和R&D活动效率一定的基础上，市场的需求越大、创新成功之后的价格需求弹性越大、最初的边际成本越小，均衡状态的产出就越大；而在a、b、c取值一定的基础上，溢出程度越大、R&D活动的效率越高，均衡状态的产出就越大，反之就越小。
（2）政府仅仅选择最优的补贴率
假定政府仍然是社会利益的代表，始终追求社会福利最大化的目标，通过补贴R&D投入引导企业投资最优的R&D活动，政府的最优化行为可以用函数方程表达为③：
（21）
由（8）、（21）式整理可得，企业的最优产出和R&D投资水平为：
（22）
由（22）可以得到社会最优的补贴率为：
（23）
由（15）、（22）式可得，最优的社会福利大小为：
（24）
（二）企业选择R&D的合作形式
在R&D的溢出参数为（0.5，1）的范围内以及每一种政府政策情形下，理性的企业的最佳行为将是选择R&D的合作形式，但是不同类型的合作方式必然会影响到合作之后的企业利润、R&D投资和社会福利水平，从而影响到企业进一步进行创新的动力。
根据Kamienetal.（1992）的这篇文献，R&D的合作一般有三种方式：
（1）共同协调双方之间的R&D活动，这种类型的R&D合作方式主要是指企业共同决定彼此之间的R&D投资水平以最大化它们之间的利润，但它们却独立地进行研发活动，并且在产品市场进行古诺竞争；
（2）企业不仅共同协调它们之间的R&D投资水平，还共同承担R&D活动的成本，这种类型的R&D活动主要是为了避免创新技术的复制；（3）研究合资企业（RearchJiontVenture），这种类型的R&D合作方式主要是指企业不仅共同决定R&D的投资水平和承担R&D活动的成本，还完全共享R&D活动的信息和成果，它们之间的R&D活动的溢出完全内生化了。
为了考察溢出参数对均衡状态时的成本缩小额以及R&D投资水平的影响，本文的模型主要讨论第一种类型的R&D合作：
企业仅仅共同决定R&D的投资水平。
在第一种类型的R&D合作形式条件下，企业的其他决策行为同前面企业的R&D非合作行为类似，具体步骤如下：
1．企业的最优产出选择
由于企业采取第一种类型的R&D合作形式，它们之间的R&D投资水平是相同的，（7）式中对应的
替换为
即可，企业利润函数的表达式为：
（25）
对（25）一阶求导整理得：
（26）
把（26）式代入（25）式，整理可得：
（i=1,2）（27）
2．企业选择的R&D最优投资水平
在R&D的合作阶段，企业将共同决定R&D的投资水平，对（27）式一阶求导的：
（28）
把（28）式和（12）式进行比较可知，在政策相同的情形下，如果β>0.5，则R&D的合作将会比R&D的非合作带来更高的成本缩小额，进而带来更高的企业利润和消费者剩余；如果β<0.5，则R&D的非合作将会比R&D的合作带来更高的成本缩小额，进而带来更高的企业利润和消费者剩余。
因此，在R&D活动的溢出水平超过0.5时，企业的最佳决策将会是选择R&D的合作形式，以内生化它们之间的R&D活动的高溢出水平。
3．政府的政策选择
（1）政府同时选择最优的税率和补贴率
假定政府仍然是社会利益的代表，它始终追求社会福利的最大化，同R&D的非合作形式一样，它通过税收和补贴杠杆间接地引导企业在合作方式下的R&D投资，从而实现社会福利的最大化。
政府的行为用方程式表达为：
（29）
为了得到最优福利水平，对（29）式分别进行对t和s的一阶求导，整理可得：
（30）
（31）
通过（26）、（30）、（31）式计算整理可得，最优的税率和补贴率为：
（32）
社会最优水平的R&D和产出可由（26）、（30）、（31）式得到：
，
（33）
最优的社会福利大小，最终可由（29）、（33）式得到：
（34）
同理，由二阶条件可知，
>0，上述变量的值都是正的，也是有意义的。
命题5：
如果溢出参数β在（0.5，1）的范围内，要引导企业实现最优的R&D投资水平，政府不仅要对企业的R&D投入进行
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