全等三角形判定一SASASAAAS基础知识讲解.docx
《全等三角形判定一SASASAAAS基础知识讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形判定一SASASAAAS基础知识讲解.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全等三角形判定一SASASAAAS基础知识讲解
全等三角形判定一（SAS,ASA，AAS）（基础）
撰稿：
常春芳
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法
3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“边角边”
1.全等三角形判定1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：
如图，如果AB＝A'B'，∠A＝∠A'，AC＝A'C'，则△ABC≌△A'B'C'.
注意：
这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，
故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
要点二、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
ASA”）.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“
要点诠释：
如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△A'B'C'.
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就
可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者
是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，
但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点四、如何选择三角形证全等
1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等
的三角形中，可以证这两个三角形全等；
2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边角边”
1、已知：
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠
2．
求证：
BC＝DE．
【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得
相等.
【答案与解析】
证明：
∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
ABAD
BACDAE
ACAE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
证明角等的方法之一：
利用等式的性质，等量加等量，还是等量
2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三
角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、
CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
ABBC
ABECBD90
BEBD
AE＝CD，并且AE⊥CD
证明：
延长AE交CD于F，
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°
∴AE⊥CD
【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到
的.尝试着从变换的角度看待全等.
举一反三：
【变式】已知：
如图，PCAC，PBAB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，
求证：
QC＝QB
【答案】
证明：
∵AP平分∠BAC
∴∠BAP＝∠CAP
在△ABQ与△ACQ中
∴△ABQ≌△ACQ（SAS）
∴QC＝QB
类型二、全等三角形的判定2——“角边角”
5】
379110全等三角形判定二，例
AD＝CB，∠D＝∠B．
求证：
AE＝CF．
【答案与解析】
证明：
∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中
AC
ADCB
DB
∴△ADF≌△CBE（ASA）
∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF
故得：
AE＝CF
【总结升华】利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：
（1）找到以待证角
（线段）为内角（边）的两个三角形；
（2）证明这两个三角形全等；（3）由全等三角形的性质得出
所要证的角（线段）相等．
举一反三：
【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：
AB＝CD.
证明：
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.
∵AF∥DE，，∴∠AFB＝∠DEC.
又∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
BC
BFCE
AFBDEC
∴△ABF≌△DCE（ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）.
类型三、全等三角形的判定3——“角角边”
【高清课堂：
379110全等三角形的判定二，例6】
3、已知：
如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠
B，DE＝CB．
求证：
AD＝AC．
【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.
【答案与解析】
证明：
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°
∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD
在△BAC和△EAD中
BACEAD
BE
CB=DE
∴△BAC≌△EAD（AAS）
∴AC＝AD
【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角
形全等．
举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.
求证：
BE＝CF.
【答案】
证明：
∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中
BEDCFD
BDECDF（对顶角相等）
BDCD
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BE＝CF
AB＝DC．
1）求证：
AC与BD互相平分；
2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，
求证：
OE＝OF.
（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO
（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△
DFO
【答案与解析】
证明：
∵AB∥DC
∴∠Ａ＝∠Ｃ
在△ABO与△CDO中
A＝C
AOB＝COD（对顶角相等）
AB=CD
∴△ABO≌△CDO（AAS）
∴AO＝CO，BO=DO
在△AEO和△CFO中
A＝C
AO=CO
AOE＝COF（对顶角相等）
AEO≌△CFO（ASA）
OE＝OF.
【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本
题的关键.
类型四、全等三角形判定的实际应用
5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔
河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又
没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：
他面向碉堡站好，然
后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才
的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己
与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？
请画图
并结合图形说明理由.
设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察
过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.
在△ABD和△ABC中，
ABDABC
ABAB
BADBAC
∴△ABD≌△ABC（ASA）
∴BD＝BC.
这名战士的方法有道理.
【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，
可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实
际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.
升级会员 