最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案92.docx
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最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案92
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-2
习题9-2
1.计算下列二重积分:
（1）,其中D={（x,y）||x|≤1,|y|≤1};
解积分区域可表示为D:
-1≤x≤1,-1≤y≤1.于是
.
（2）,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域:
解积分区域可表示为D:
0≤x≤2,0≤y≤2-x.于是
.
（3）,其中D={（x,y）|0≤x≤1,0≤y≤1};
解
.
（4）,其中D是顶点分别为（0,0）,（π,0）,和（π,π）的三角形闭区域.
解积分区域可表示为D:
0≤x≤π,0≤y≤x.于是,
.
.
2.画出积分区域,并计算下列二重积分:
（1）,其中D是由两条抛物线,所围成的闭区域;
解积分区域图如,并且D={（x,y）|0≤x≤1,}.于是
.
（2）,其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;
解积分区域图如,并且D={（x,y）|-2≤y≤2,}.于是
.
（3）,其中D={（x,y）||x|+|y|≤1};
解积分区域图如,并且
D={（x,y）|-1≤x≤0,-x-1≤y≤x+1}⋃{（x,y）|0≤x≤1,x-1≤y≤-x+1}.
于是
=e-e-1.
（4）,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x轴所围成的闭区域.
解积分区域图如,并且D={（x,y）|0≤y≤2,}.于是
.
3.如果二重积分的被积函数f（x,y）是两个函数f1（x）及f2（y）的乘积,即f（x,y）=f1（x）⋅f2（y）,积分区域D={（x,y）|a≤x≤b,c≤y≤d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即
证明,
而,
故.
由于的值是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得
4.化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中积分区域D是:
（1）由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
解积分区域如图所示,并且
D={（x,y）|},或D={（x,y）|},
所以或.
（2）由x轴及半圆周x2+y2=r2（y≥0）所围成的闭区域;
解积分区域如图所示,并且
D={（x,y）|},
或D={（x,y）|},
所以,或.
（3）由直线y=x,x=2及双曲线（x>0）所围成的闭区域;
解积分区域如图所示,并且
D={（x,y）|},
或D={（x,y）|}⋃{（x,y）|},
所以,或.
（4）环形闭区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}.
解如图所示,用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1,D2,D3,D4.于是
用直线y=1,和y=-1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1,D2,D3,D4,
如图所示.于是
5.设f（x,y）在D上连续,其中D是由直线y=x、y=a及x=b（b>a）围成的闭区域,
证明:
.
证明积分区域如图所示,并且积分区域可表示为
D={（x,y）|a≤x≤b,a≤y≤x},或D={（x,y）|a≤y≤b,y≤x≤b}.
于是,或.
因此.
6.改换下列二次积分的积分次序:
（1）;
解由根据积分限可得积分区域D={（x,y）|0≤y≤1,0≤x≤y},如图.
因为积分区域还可以表示为D={（x,y）|0≤x≤1,x≤y≤1},所以
.
（2）;
解由根据积分限可得积分区域D={（x,y）|0≤y≤2,y2≤x≤2y},如图.
因为积分区域还可以表示为D={（x,y）|0≤x≤4,},所以
.
（3）;
解由根据积分限可得积分区域,如图.
因为积分区域还可以表示为,所以
（4）;
解由根据积分限可得积分区域,如图.
因为积分区域还可以表示为,所以
.
（5）;
解由根据积分限可得积分区域D={（x,y）|1≤x≤e,0≤y≤lnx},如图.
因为积分区域还可以表示为D={（x,y）|0≤y≤1,ey≤x≤e},所以
（6）（其中a≥0）．
解由根据积分限可得积分区域,如图.
因为积分区域还可以表示为
所以.
7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的面密度为μ（x,y）=x2+y2,求该薄片的质量.
解如图,该薄片的质量为
.
8.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.
解四个平面所围成的立体如图,所求体积为
.
9.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积.
解立体在xOy面上的投影区域为D={（x,y）|0≤x≤1,0≤y≤1-x},所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积,即
.
10.求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.
解由消去z,得x2+2y2=6-2x2-y2,即x2+y2=2,故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2≤2,因为积分区域关于x及y轴均对称,并且被积函数关于x,y都是偶函数,所以
.
11.画出积分区域,把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是:
（1）{（x,y）|x2+y2≤a2}（a>0）;
解积分区域D如图.因为D={（ρ,θ）|0≤θ≤2π,0≤ρ≤a},所以
.
（2）{（x,y）|x2+y2≤2x};
解积分区域D如图.因为,所以
.
（3）{（x,y）|a2≤x2+y2≤b2},其中0解积分区域D如图.因为D={（ρ,θ）|0≤θ≤2π,a≤ρ≤b},所以
.
（4）{（x,y）|0≤y≤1-x,0≤x≤1}.
解积分区域D如图.因为,所以
.
12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
（1）;
解积分区域D如图所示.因为
所以
.
（2）;
解积分区域D如图所示,并且
所示
.
（3）;
解积分区域D如图所示,并且
所以
（4）.
解积分区域D如图所示,并且
所以
13.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
（1）;
解积分区域D如图所示.因为,所以
.
（2）;
解积分区域D如图所示.因为,所以
.
（3）;
解积分区域D如图所示.因为,所以
.
（4）.
解积分区域D如图所示.因为,所以
.
14.利用极坐标计算下列各题:
（1），其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;
解在极坐标下D={（ρ,θ）|0≤θ≤2π,0≤ρ≤2},所以
.
（2），其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;
解在极坐标下,所以
.
（3）,其中D是由圆周x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的第一象限内的闭区域.
解在极坐标下,所以
.
15.选用适当的坐标计算下列各题:
（1），其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.
解因为积分区域可表示为,所以
.
（2）,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;
解在极坐标下,所以
.
（3）,其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a（a>0）所围成的闭区域;
解因为积分区域可表示为D={（x,y）|a≤y≤3a,y-a≤x≤y},所以
.
（4）,其中D是圆环形闭区域{（x,y）|a2≤x2+y2≤b2}.
解在极坐标下D={（ρ,θ）|0≤θ≤2π,a≤ρ≤b},所以
.
16.设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧（）与直线所围成,它的面密度为μ（x,y）=x2+y2.求这薄片的质量.
解区域如图所示.在极坐标下,所以所求质量
.
17.求由平面y=0,y=kx（k>0）,z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.
解此立体在xOy面上的投影区域D={（x,y）|0≤θ≤arctank,0≤ρ≤R}.
.
18.计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底,而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积.
解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={（x,y）|x2+y2≤ax}.
在极坐标下,所以
.
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