>-
_8
所以所求实数"的取值范用是［-1,5）
法2：
当时，/心缶，即〃）行.
2x+—
444
因为x+->2Jxx-=4,当且仅当x=-,即x=2时取等号
xVxx
所以y=/（x）的取值范用是
当xe（-s,2）时,
函数，此时y=f（x）的取值范用是（0,1］；而函数y=/（x）在［匕2）上是减函数,
又a<2,所以一1Sgv2・
综上，所求实数"的取值范用是［-1.5）・
12.在平面直角坐标系xOy中，起点为坐标原点的向量云少满足|i/|=|Z?
|=1，且ah=
2
c=（mA-d=（/?
J-n）（m.neR）・若存在向量&、b.对于任意实数m.n>不等式\a-c\+b-d>T成立，则实数T的最大值为.
—277^■|••—•■
【解析】由题意得厶"的夹角为亍可设"",
则点A、B在单位圆上，点C、D在直线x+y—l=0上，如图所示.
根拯加、“的任意性，即求点4、3到直线x+y—l=0距离之和的最小值,
（B）必要非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
即IAEI+I3FI（点E、F分别是点4.B在直线x+y—l=0上的射影点）；
同时根据的存在性，问题转化为求IAE\+\AFl的最大值.
设A3的中点为M，设点M、O在直线x+y-\=0上射影点分别为“、o\
1近
则\AE\+\BF\=2\MN\<2（IMOI+1OOI）=2（_+—）=1+血,
22
当且仅当点M.O、O依次在一条直线上时，等号成立.
所以TS1+、伍，即所求实数丁的最大值是1+、伍.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在
答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.“函数/（x）=sin（sr）（x.且"HO）的最小正周期为兀”是“3C
的（B）・
（A）充分非必要条件
（C）充要条件
14・已知一组数据3、4、6、8的平均数是5,则这组数据的方差是
（A）・
【解析】由题意得5=
所以方差/=（3-5）'+（4-5），+（4-»+（6-5）[+（15）'=”,故选人
x=2cos&
15•设直线y=x与椭圆｛门交于A.3两点，点P在直线y=kx+3上.
y=sin^
（A）（—2,2）（B）[—2血,2血]（C）（—oo,—2）U（2,+s）（D）（y,—2、/I]U[2、E+co）
【解析】椭圆方程为冷+心,易得-关于原点对称，所以皿曲2沏=2,
所以\Pdl=h故原点到直线y=b+3的距^d=解得£»2血或故选D.
16.已知函数f（x）=2021x_,+（x-1）3-2021,_v+2x,则不等式
/（x2-4）+/（2-3x）<4的解集为（A）.
（A）[-1,4]（B）[-4,1]（C）（—s,—l]U[4,+oo）（D）（-s,-4]U[h+s）
【解析】设函数^（x）=2021x+x3-2021-A+2x,则函数g（x）是立义域为R,且单调递
增的奇函数，所以/（x）=2021v-*+（x-1）3-2021'~v+2（x-1）+2是定义域为
R的增函数.且其图像关于点（1,2）对称,即有f（x）+f（2-x）=4,即/（2-x）=4-/（x）.
由/（兀2—4）+/（2—3^）<4得/（%2—4）«4—/（2—3兀），
即/（x2-4）
即/（x2-4）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的
步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,矩形ABCD绕A8旋转形成一个圆柱.
如图，矩形ABCD绕A3顺时针旋转彳至ABCQ,线段DQ的中点为M.
（1）求证：
AM丄CQ；
（2）求异而直线CM与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
【解析】
（1）由题意得，AM丄DD、,2分
因为CQ是圆柱的一条母线，所以CD垂直于圆柱的底而，则CD丄AM,即AM丄CD,4分
又因为nCD=D,且DD、、CD宰平而CDD、,
所以AM丄平而CD0,因为CD*平面CD0,
所以AM丄CD】・
（2）联结3M・由题意得，BC//AD,所以异而直线CM与AD所成的角等于直线CM与直线BC所成的角2分
在△BCM中，BC=1,
由余鮭酮遇细宀哙址护
上BCM=arccos^^・
6
所以异而直线CM与AQ所成的角的大小为arccos^-8分
6
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数«eR,函数/（x）=«-3r+丄.
3
（1）若函数/（X）是奇函数，求实数d的值：
（2）若函数y=/（x）+26/在xe[O,l]时有零点，求实数"的取值范围.
【解析】
（1）法1：
函数/（X）的定义域为R・
因为函数/（x）是奇函数，所以/（一0=-/（切・设兀=0,则/（0）=-/（0）,即/（0）=0,代入f（x）=a-3x+—,
3r
得“・1+1=0,解得a=-i.
此时f（a）=—3'+—•
4分
又因为f（-x）=一3"+右=3—*=-/⑴，即/（-x）=-/（x）,
所以/（x）=-3v+l是奇函数.
因此所求实数“的值为—16分
法2：
函数/（X）的泄义域为R・
因为函数/（x）是奇函数，所以/（一对=一/（对・
即±+y=-0.3"+丄
3\3丿
即（°+1）•丁=一山，即（°+1）・（9“+1）=0对任意xeR都成立,3r
所以“+1=0,解得a=-l.
因此所求实数"的值为—16
（2）设f（x）+2a=0,
即关于X的方程0•3"+丄+2。
=0在区间[0,1]±有实数解……2分
设『=3”,因为“[0,1],所以隹[1,3],于是原问题等价于关于/的方程亦+2心+1=0（*）在区间[1,3]上有实数
解4分
当a=0时，方程（*）不成立，所以dHO，
于是方程（*）可化为--=t2+2t（te[1,3]）,a
即函数与函数y=t2+2t（te[1,3]）的图像有公共
点6分
因为函数y=t2+lt（te[1,3]）为增函数，则得该函数的值域为[3,15],
所以3<-1<15,解得一IsaS—丄，
a315
即所求的实数0的取值范围是—丄，一丄8分
315
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
20.
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AO3进行改造.如图
所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙A3弧上，点M
和点N分别在道路OA和道路03上，且OA=90米，ZAOB=-9设Z.POB=0・3
则停车场而积S=2S广mN=OPON・sin&
=90x30^xsin-=135073^2338.3（平方米），6
即停车场面积约为2338.3平方米.
（2）在AOPN中，乙ONP=£、乙OPN='-e・
33
由正弦定理得一T一=一乞—sinZOPNsinZONP
即一——=-^,即OA^=60V3sin（--6>）・
sin（Z_&）sin岂3
33
则停车场面积s=2S.opn=OP・ONsm&=5400^3sin6>sin（--6>）,
即S=5400\圧sin&sin（Z—&）,其中0v&v^.
33
即S=5400巧sin^sin（--6>）=5400V3sin&（耳sin0--cos<9）,
322
只ii
S=2700巧sin&cos&-sif&）=2700^3（—sin20+—cos2&--）
222
=2700V3[sin（2<9+-）--]=2700^3sin（2<9+-）-1350^3.6分
626
因为o所以-<20+-<—.
3666
则当20+-=-,即&=乙时，停车场面积S取得最大值.
626
所以当0=1时，停车场而积S取得最大值.8分
6
21.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知抛物线厂：
y2=2px的焦点为F（2,0）,点P在抛物线厂上.
（1）求抛物线厂的方程：
（2）若IPFI=5,求点P的坐标:
（3）过点T（t.O）（/>0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线厂于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB.CQ的中点，求△刀WN的而积的最小值.
【解析】
（1）因为抛物线17的焦点为F（2,0）,即g=2，解得p=4,2分
所以所求抛物线r的方程为y2=8x・4分
（2）设点P（X,y）.
令x+2=5.解得x=3・
因为点P在抛物线r±,所以r=8x,
因此所求点P的坐标为（3,-2、丘）或（3,2而）・
（3）法根拯题意，直线AB.CQ的斜率存在，且不为零，
可设直线A3的斜率为则直线CD的斜率为-丄，
k
则直线AB的方程为y=k（x—/）,
直线CD的方程为y=-丄（x-小
k
设A（E，yJ、B（x2iy2）.
y=k（x-t）……
由彳了得k2x2-2（k2t+4）x+k2t2=0,2分
y2=8%
由一元二方程根与系数的关系得召+x2=加芹4）
所以X+y2=k（xx-t）+k（x2-t）=k（x}+x2）-2kt
«k2t+d4
即廿+比=一，因此
KKK
同理可得NUk2+t^k）.
\TN\=J（4“『+（_4貯=41kIJ1+",
当且仅当伙1=1,即£=±1时，等号成立.
设A3」）.B（x2,y2）.
由一元二方程根与系数的关系得力+）3=8加,
所以Af（4m2+人4〃?
）・
44
同理可得N（—+/--）.
nrm
所以I7WI计护篇二岛
ITM1=J16〃『+16〃,=41mIJm2+1,于是s杯=1・ITMI・l7WI=8（l〃2l+-!
-）n8x2；|/«Ix—=16,
2ImIAiImI
当且仅当即加=±1时，等号成立.
所以的面积的最小值等于16.6分
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列｛©｝满足：
5=1,I®田一s|=p",皿N・，s”为数列仏｝的前"项和.
（1）若｛"”｝是递增数列，且3q,4“2,55成等差数列，求P的值；
（2）已知卩=善,且｛%｝是递增数列，｛知｝是递减数列，求数列｛"”｝的通项公式;
（3）已知〃=1,对于给泄正整数"，试探究是否存在一个满足条件的数列
使得Sy若存在，写岀一个满足条件的数列｛"“｝；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）因为仏｝是递增数列，所以an+[-an=\al^-al!
\=p,1.
因为“]=1,所以a2=\+p>d3=l+P+P，・2分又因为354吆5①成等差数列，所以=3q+5冬，
即8（l+p）=3+5（l+p+p2）,即5p2_3p=0,解得p=0或/?
=|.
当〃=0时，叫黒=皱,这与｛%｝是递增数列相矛盾，
3
所以〃=二・4分
（2）因为｛a2n_｝｝是递增数列，则有如+1一冬”」>0，
于是（°2”+1一a2n）+（如一“2”-1）>°①
內人科<卡匸T，所以|“2”+1一a2n|<\a2fl~a2lt-\\②
由①、②得，殂一如-I>0，
（1（_1）加
因此“2川一。
2”-1=7，即。
2口-aln-\=7一]③2分
W*
又因为｛吆｝是递减数列,则有d加2一如V0,
于是（“2卄2一°2曲）+@22一5”）V0④
由④、⑤得，“2“+1一“"<°*
于是当n>2时,qr=也+（°2-4）+@3-“2）+・・・+（勺一勺-J
.11（-1）",11_（_3）/，~，51（-1）"
3323心3t1443心
3
当川=1时，代入上式得6=1,与已知条件相吻合.
51（_[）口
所以所求数列仏｝的通项公式是4严二+—X嶋neN*.
（3）当n=4k^n=4k-3（eN*）时，存在数列仏｝,使得Sy…2分
此时数列仏｝满足％.3=«4*-1=1皿4_2=°，%=2，
Ab
则S4t=—x（l+0+l+2）=4^,
4£-4
S*3=q+^—x（0+1+2+1）=4—3,
即SfJ=n・
当/2=4«-2或料=4£-1（A:
gN*）时，
不存在数列仏｝,使得S”=n.6分
理由如下:
因为=所以"“+i=d”±l；
又因为q=l为奇数，则当neN*时，他心为奇数，“2”为偶数，……7分
所以当AreN*时，为奇数，S。
归为偶数，
因此二-2=4R-2,Sg=4k-1均不可能成立.
于是当刃=4比一2或〃=4斤一1（kwN"）时，
不存在数列{©},使得Sp・8分
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