数列高考复习题含答案资料.docx
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数列高考复习题含答案资料
数列---高考复习题（含答案）
数列练习题
1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于（）．
A．667B．668C．669D．670
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（）．
A．33B．72C．84D．189
3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）．
A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5+
4．已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
｜m－n｜等于（）．
A．1B．C．D．
5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为（）.
A．81B．120C．168D．192
6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）．
A．4005B．4006C．4007D．4008
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列,则a2＝（）．
A．－4B．－6C．－8D．－10
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（）．
A．1B．－1C．2D．
9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是（）．
A．B．－C．－或D．
10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0（n≥2），若S2n－1＝38，则n＝（）．
A．38B．20C．10D．9
二、填空题
11．已知等比数列{an}中，
（1）若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．
（2）若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．
（3）若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.
12．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．
13．在等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则此数列前13项之和为.
14．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝.
15．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝；当n＞4时，f（n）＝．
三、解答题
16．
（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.
（2）已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.
17．设{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
（1）求q的值；
（2）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
18．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3…）．
求证：
数列{}是等比数列．
19．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列.
求证：
12S3，S6，S12－S6成等比数列.
参考答案
一、选择题
1．C
解析：
由题设，代入通项公式an＝a1＋（n－1）d，即2005＝1＋3（n－1），∴n＝699．
2．C
解析：
本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题意得a1＋a2＋a3＝21，
即a1（1＋q＋q2）＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．
解得q＝2或q＝－3（不合题意，舍去），
∴a3＋a4＋a5＝a1q2（1＋q＋q2）＝3×22×7＝84．
3．B．
解析：
由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．
又a1·a8＝a1（a1＋7d）＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝（a1＋3d）（a1＋4d）＝a12＋7a1d＋12d2＞a1·a8．
4．C
解析：
解法1：
设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，
∴d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．
∴，分别为m或n，
∴｜m－n｜＝，故选C．
解法2：
设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差数列的性质：
若γ＋s＝p＋q，则aγ＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，
∴m＝，n＝，
∴｜m－n｜＝．
5．B
解析：
∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，
∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，
∴S4＝＝＝120．
6．B
解析：
解法1：
由a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，知a2003和a2004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003＞a2004，即a2003＞0，a2004＜0.
∴S4006＝＝＞0，
∴S4007＝·（a1＋a4007）＝·2a2004＜0，
故4006为Sn＞0的最大自然数.选B．
解法2：
由a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，同解法1的分析得a2003＞0，a2004＜0，
∴S2003为Sn中的最大值．
∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
∴在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4006．
7．B
解析：
∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，
又由a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1＋4）2＝a1（a1＋6），解得a1＝－8，
∴a2＝－8＋2＝－6．
8．A
解析：
∵＝＝＝·＝1，∴选A．
9．A
解析：
设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝（－1）q4，
∴d＝－1，q2＝2，
∴＝＝．
10．C
解析：
∵{an}为等差数列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，
又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列，
而an＝，即2n－1＝＝19，
∴n＝10．
二、填空题
11．
（1）32；
（2）4；（3）32．
解析：
（1）由a3·a5＝，得a4＝2，
∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32．
（2），
∴a5＋a6＝（a1＋a2）q4＝4．
（3），
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32．
12．216．
解析：
本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为＝6，插入的三个数之积为××6＝216．
13．26．
解析：
∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，
∴6（a4＋a10）＝24，a4＋a10＝4，
∴S13＝＝＝＝26．
14．－49．
解析：
∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10
＝
＝
＝7（a5＋2d）
＝－49．
15．5，（n＋1）（n－2）．
解析：
同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f（k）＝f（k－1）＋（k－1）．
由f（3）＝2，
f（4）＝f（3）＋3＝2＋3＝5，
f（5）＝f（4）＋4＝2＋3＋4＝9，
……
f（n）＝f（n－1）＋（n－1），
相加得f（n）＝2＋3＋4＋…＋（n－1）＝（n＋1）（n－2）．
三、解答题
16．分析：
判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．
证明：
（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5，
n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5（n∈N*）．
首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6（n－1）－5]＝6（常数）（n∈N*），
∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．
（2）∵，，成等差数列，
∴＝＋化简得2ac＝b（a＋c）．
＋＝＝＝＝＝2·，
∴，，也成等差数列．
17．解：
（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，
∴q＝1或－．
（2）若q＝1，则Sn＝2n＋＝．
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．
若q＝－，则Sn＝2n＋（－）＝．
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝，
故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn．
18．证明：
∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），整理得nSn＋1＝2（n＋1）Sn，
所以＝．
故{}是以2为公比的等比数列．
19．证明：
由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4a1q6＝a1＋3a1q3，
变形得（4q3＋1）（q3－1）＝0，
∴q3＝－或q3＝1（舍）．
由＝＝＝；
＝－1＝－1＝1＋q6－1＝；
得＝．
∴12S3，S6，S12－S6成等比数列．
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