高中数学第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念讲义新人教A版必修第一册.docx
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高中数学第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念讲义新人教A版必修第一册
1．1 集合的概念
最新课程标准：
（1）通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
（2）针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
知识点一 集合的概念
1．元素：
一般地，我们把研究对象统称为元素．
2．集合：
把一些元素组成的总体叫做集合．
3．集合中元素的特征
特征
含义
确定性
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准
互异性
给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性
集合中的元素无先后顺序之分
4.集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
知识点二 元素与集合的表示及关系
1．元素与集合的符号表示
表示
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
示例
a属于集合A
a是集合
A中的元素
a∈A
若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉A
a不属于集合A
a不是集合
A中的元素
a∉A
对元素和集合之间关系的两点说明
1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点三 集合的表示
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
1．列举法表示集合时的4个关注点
（1）元素与元素之间必须用“，”隔开．
（2）集合中的元素必须是明确的．
（3）集合中的元素不能重复．
（4）集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法表示集合时的3个关注点
（1）写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
（3）不能出现未被说明的字母．
[教材解难]
1．教材P2思考
例（3）到例（6）都能组成集合
例（3）中的元素为“每一个正方形”
例（4）中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”
例（5）中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”
例（6）中的元素为“地球上的四大洋”
2．教材P3思考
（1）能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．
（2）不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完．
3．教材P5思考
用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．
[基础自测]
1．下列能构成集合的是（ ）
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析：
A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案：
C
2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是（ ）
A．M＝{π}，N＝{3.14159}
B．M＝{2,3}，N＝{（2,3）}
C．M＝{x|－1D．M＝{1，
，π}，N＝{π，1，|－
|}
解析：
选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．
答案：
D
3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是（ ）
A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}
解析：
∵x－3<2，x∈N*，
∴x<5，x∈N*，
∴x＝1,2,3,4.故选B.
答案：
B
4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：
由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以（－5）2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，
即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：
{1,3}
题型一 集合的概念[经典例题]
例1 下列对象能构成集合的是（ ）
A.高一年级全体较胖的学生
B．sin30°，sin45°，cos60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin30°＝cos60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.
【答案】 D
构成集合的元素具有确定性．
方法归纳
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）
A．所有的正数
B．等于2的数
C.接近于0的数
D．不等于0的偶数
解析：
由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.
答案：
C
C中元素不确定．
题型二 元素与集合的关系[经典例题]
例2
（1）下列关系中，正确的有（ ）
①
∈R；②
∉Q；③|－3|∈N；④|－
|∈Q.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
（2）满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【解析】
（1）
是实数，
是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－
|＝
是无理数．因此，①②③正确，④错误．
（2）∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
【答案】
（1）C
（2）C
a分类处理：
①a＝0，a＝1，a＝2；
②a＝3，a＝4
还讨论吗？
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
（1）直接法：
如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
（2）推理法：
对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
跟踪训练2 下列说法正确的是（ ）
A.0∉N B.
∈Q
C．π∉R D.
∈Z
解析：
A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.
是无理数，Q是有理数集合，
∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.
＝2,2是正整数，则
∈Z，故本选项正确．故选D.
答案：
D
N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．
题型三 集合的表示[教材P4例题2]
例3 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
【解析】
（1）设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程x2－2＝0有两个实数根
，－
，因此，用列举法表示为A＝{
，－
}．
（2）设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．
找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．
教材反思
本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．
跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组
的解集；
（2）由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
（3）方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
（4）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．
解析：
（1）解方程组
得
故解集可用描述法表示为
，也可用列举法表示为{（4，－2）}．
（2）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．
（3）方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．
（4）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对（x，y），其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x，y）|y＝x2＋2x－10}．
易错点 忽略集合中元素的互异性出错
例 含有三个元素的集合
，也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．
【错解】 ∵
＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得
或
【正解】 ∵
＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得
或
由集合中元素的互异性，得a≠1.
∴a＝－1，b＝0.
【易错警示】
错误原因
纠错心得
错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素
含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论
方法归纳
选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.
课时作业1
一、选择题
1．已知集合A中元素x满足－
≤x≤
，且x∈N*，则必有（ ）
A．－1∈A B．0∈A
C.
∈AD．1∈A
解析：
x∈N*，且－
≤x≤
，所以x＝1,2.所以1∈A.
答案：
D
2．将集合
用列举法表示，正确的是（ ）
A．{2,3}B．{（2,3）}
C．{（3,2）}D．（2,3）
解析：
解方程组
得
所以答案为{（2,3）}．
答案：
B
3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为（ ）
A．2B．2或4
C．4D．0
解析：
集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：
B
4．下列集合的表示方法正确的是（ ）
A．第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：
选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：
D
二、填空题
5．给出下列关系：
（1）
∈R；
（2）
∈Q；（3）－3∉Z；（4）－
∉N，其中正确的是________．
解析：
是实数，
（1）正确；
是无理数，
（2）错误；－3是整数，（3）错误；－
是无理数，（4）正确．
答案：
（1）（4）
6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
解析：
由集合相等的概念得
解得a＝1.
答案：
1
7．已知集合A＝
，用列举法表示集合A为________．
解析：
（6－x）是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
答案：
{0,2,3,4,5}
三、解答题
8．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解析：
因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
9．用适当的方法表示下列集合．
（1）方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集；
（2）在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合．
解析：
（1）因为方程x（x2＋2x＋1）＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
（2）在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
[尖子生题库]
10．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{（x，y）|y＝x2＋1}．
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
解析：
（1）它们是不相同的集合．
（2）集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图象知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．
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