人教版七年级数学上册讲义中等班34 实际问题与一元一次方程.docx
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人教版七年级数学上册讲义中等班34实际问题与一元一次方程
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：
理解题意．弄清问题中___________是什么，___________是什么，问题给出和涉及的___________是什么．
（2）设元（未知数）：
用含未知数的___________表示相关的量．
①直接未知数；②间接未知数（往往二者兼用）．
（3）寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列___________．
（4）解方程及___________．
（5）答题．
2．列一元一次方程解应用题的关键是：
___________．
K知识参考答案：
1．
（1）已知量，未知量，相等关系
（2）代数式（3）方程（4）检验2．找相等关系
K—重点
（1）产品配套问题；
（2）工程问题；（3）商品销售问题；（4）球赛积分问题；（5）电话计费问题．
K—难点
准确理解配套问题中的数量关系．
K—易错
注意验根要符合实际．
一、配套问题
1．在配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据．
2．配套问题中的基本数量关系：
若m个A和n个B配成一套，则
，可得等量关系：
m×B的数量=n×A的数量．
3．审题时，要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解．
【例1】佳福服装公司为学校加工一批校服，3米长的布料可制作上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的布料加工校服，请你帮该公司计算一下，分别用多少布料生产上衣和裤子，才能配套？
共能加工多少套校服？
【答案】用360米布料生产上衣，则用240米布料生产裤子才能配套，共加工240套校服．
【解析】设用x米布料生产上衣，则用（600–x）米布料生产裤子才能配套，
由题意得，2x=3（600–x），
解得：
x=360，
则600–x=240，
共加工校服：
360÷3×2=240（套）．
答：
用360米布料生产上衣，则用240米布料生产裤子才能配套，共加工240套校服．
二、工程问题
1．工程问题的基本量：
工作量、工作效率、工作时间．
2．工程问题的基本数量关系：
工作量=工作效率×工作时间；
合作的效率=各单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和．
【例2】现加工一批机器零件，甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，现由乙先做1天，然后两人合作完成，共付给报酬600元，若按个人完成的工作量付给报酬，该如何分配？
【答案】若按个人完成的工作量付给报酬，甲、乙各分300元．
【解析】设两人合作x天完成．
则列方程：
+
=1，
解得：
x=2，
则甲、乙各做了工作量的
．
故甲、乙各分300元．
故若按个人完成的工作量付给报酬，甲、乙各分300元．
三、商品销售问题
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、售价、标价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下相等关系：
利润率＝
×100%；
打x折后的售价=标价×
；售价=进价×（1+利润率）；
利润=售价–进价；利润=进价÷利润率．
【例3】某服装店卖出两件不同的衣服，均以91元卖出，其中一件赚30%，另一件亏30%，则卖出这两件衣服后商店
A．不赚不亏B．赚了21元
C．亏了18元D．赚了39元
【答案】C
【解析】设盈利的进价是x元，则x+30%x=91，解得x=70．
设亏损的进价是y元，则y–30%y=91，解得y=130．
所以91+91–130–70=–18，所以亏了18元．
故选C．
四、比赛中的积分问题
在比赛积分问题中，基本相等关系有：
某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；
某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分．
【例4】篮球比赛规定：
胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是
A．2B．3
C．4D．5
【答案】B
【解析】设该队获胜x场，则负了（6–x）场，
根据题意得：
3x+（6–x）=12，解得：
x=3．
故选B．学@科网
【名师点睛】
（1）并不是每种比赛都按胜、平、负情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则．
（2）比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”．
五、方案选择问题
在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们最有利的方案呢？
这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算和比较，来选择最优方案．
【例5】某市蔬菜基地有一批蔬菜若干吨，有三种销售方式，利润如下表：
销售方式
市场直接销售
粗加工销售
精加工销售
每吨获利（万元）
0.1
0.45
0.75
已知加工能力如下：
若蔬菜总量再增加20吨，粗加工刚好10天全部加工完．若蔬菜总量减少20吨，精加工刚好20天全部加工完，且精加工比粗加工每天少加工10吨，又精加工和粗加工不能同时进行，而受季节限制，基地必须要15天（含15天）内全部加工或销售，为此基地特制定了三种方案：
①尽可能多的精加工，来不及加工的在市场上直接销售，②全部粗加工，③将一部分精加工，其余蔬菜粗加工，且刚好15天完成．
解答下列问题：
（1）求基地这批蔬菜有多少吨；
（2）哪种方案获利最多？
最多为多少万元？
【答案】
（1）基地这批蔬菜有140吨；
（2）方案③获利最多，最多为81万元．
∵81>72.5>63，所以方案③获利最多，最多为81万元．
1．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为
A．100元B．105元C．110元D．120元
2．某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用x天，则下列方程正确的是
A．
3．某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品
A．5B．6C．7D．8
4．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？
这个物品的价格是多少？
设这个物品的价格是x元，则可列方程为
A．8x+3=7x+4B．8x–3=7x+4
C．
5．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺母，则下面所列方程正确的是
A．2×800（26–x）=1000xB．800（13–x）=1000x
C．800（26–x）=2×1000xD．800（26–x）=1000x
6．某商店换季准备打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为
A．230元B．250元C．270元D．300元
7．一件服装标价200元，若以七折销售，仍可获利40%，则这件服装的进价是
A．100元B．105元C．108元D．118元
8．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天．若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．则甲、乙一共用几天可以完成全部工作？
设甲、乙一共用x天完成，则符合题意的方程是
A．
＋
=1B．
＋
=1
C．
＋
=1D．
＋
=1
9．甲乙两地相距180千米，已知轮船在静水中的航速是a千米/时，水流速度是10千米/时，若轮船从甲地顺流航行3小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶1小时后离乙地的距离是
A．40千米B．50千米
C．60千米D．140千米
10．某种计算器标价240元，若以8折优惠销售，仍可获利20%，那么这种计算器的进价为
A．152元B．156元
C．160元D．190元
11．一件毛衣先按成本提高
标价，再以8折出售，获利28元，求这件毛衣的成本是多少元，若设成本是x元，可列方程为
A．
C．
12．跃进公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为
A．29元B．28元C．27元D．26元
13．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是
A．7.5秒B．6秒C．5秒D．4秒
14．某班把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，设获得一等奖的学生人数为x，则下列方程不正确的是
A．200x＋50（22－x）=1400B．1400－50（22－x）=200x
C．
=22－xD．50＋200（22－x）=1400
15．某品牌不同种类的文具均按相同折数打折销售，如果原价300元的文具，打折后售价为240元，那么原价75元的文具，打折后售价为
A．50元B．55元C．60元D．65元
16．A、B两地相距450千米，甲乙两车分别自A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度是120千米/时，乙车的速度是80千米/时，经过________小时后两车相距50千米.
17．某书店销售某种中考复习资料，每本的售价是20元．若每本打九折，全部卖完可获利1000元；若每本打八折，全部卖完可获利800元，则这批书共购进了_________本．
18．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；则该校运动员人数为__________人．
19．一件不打折的商品，售价为880元，能获利10%，则该商品的进价为__________元．
20．某商场购进一批运动服，每件售价120元，可获利20%，这种运动服每件的进价是__________元．
21．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，在元旦期间该店举行文具优惠活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得87元，则在这次优惠活动中卖出铅笔、圆珠笔各多少支？
22．用一根长120米的绳子围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少．
23．椰岛文具店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，制定了两种优惠方案．
方案一：
买一支毛笔赠送一本书法练习本；
方案二：
按购买金额的九折付款．
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x>10）本．
（1）请你用含x的式子表示每种优惠方案的付款金额；
（2）购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样多？
24．一个商店把某件商品按进价加20%作为定价，后来老板按定价8折192元卖出这件商品，那么老板在销售这件商品的过程中的盈亏情况为
A．盈利16元B．亏损24元
C．亏损8元D．不盈不亏
25．某市中学生运动会篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，已知某篮球队在七场比赛中共得到15分，则该篮球队在这七场比赛中获胜了
A．六场B．五场
C．四场D．三场
26．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为
A．190米B．400米
C．380米D．240米
27．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该项商品积压，商品准备打折出售，但要保持利润率是5%，则出售时此商品可打
A．五折B．六折
C．七折D．八折
28．一个两位数，个位数字比十位数字的2倍多1，如果个位与十位的数字交换位置，得到一个新的两位数，新的两位数比原来两位数的2倍少1，则原两位数为__________．
29．已知A=5x＋2，B=11–x，当x=__________时，A比B大3.
30．在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分．问：
该队在这次循环赛中战平了几场？
31．某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
A．计时制，0.05元∕分；B．包月制，50元∕分（限一部个人住宅电话上网）；此外，每种上网方式都附加通信费0.02元∕分。
（1）某用户某月上网时间为x分钟，则该用户在A、B两种收费方式下应支付费用各多少元？
（2）如果一个月内上网200分钟和300分钟，按两种收费方式各需交费多少元？
（3）是否存在某一时间，会出现两种收费方式一样的情况吗？
求出这时的上网时间？
（4）如果某人一个月上网20小时，那么应选用哪一种方式较为合算？
如果小明的妈妈准备办理这种业务，你能告诉她如何选择更加合算吗？
32．在某文具商场中，每个画板定价为20元，每盒水彩笔定价为5元．为促进销售，商场制定两种优惠方案：
一种是买一个画板赠送一盒水彩笔；另一种是按总价九折付款．王老师准备为学校美术小组购买画板4个，水彩笔若干盒（不少于4盒）．
（1）分别求出每种方案下王老师应支付多少元？
（用代数式表示）
（2）如果购买24盒水彩笔，哪种方案更省钱？
若买50盒水彩笔呢？
33．（2018·通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是
A．亏损20元B．盈利30元
C．亏损50元D．不盈不亏
34．（2018·恩施）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店
A．不盈不亏B．盈利20元
C．亏损10元D．亏损30元
35．【2018·邵阳】程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：
有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是
A．大和尚25人，小和尚75人B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人D．大、小和尚各100人
36．（2018·曲靖）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为__________元．
37．（2018·菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．
1．【答案】A
【解析】设该商品每件的进价为
元，则
，
解得
，
即该商品每件的进价为
元.
故选A．
.
故选D．
5．【答案】A
【解析】设安排x名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”可得2×800（26–x）=1000x.故选A．
6．【答案】B
【解析】设该商品的售价为x元，
由题意得，0.75x+25=0.9x–20，
解得：
x=300，
则成本价为：
300×0.75+25=250（元）．
故选B．
7．【答案】A
【解析】设进价为x元，
根据题意得40％x=200×70％–x，
整理得1.4x=140，
解得x=100，
故选A．
8．【答案】A
【解析】设甲、乙共用哪个x天完成，则甲单独干了（x–22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的
，乙每天完成全部工作的
.
根据等量关系列方程得:
＋
=1，学@科网
故选A．
9．【答案】A
10．【答案】C
【解析】设进价为x元，依题意得240×0.8–x=20℅x，
解得x=160，
所以进价为160元.
故选C．
11．【答案】C
【解析】按成本价提高50％后售价为x（1+50％），再以八折出售变为0.8×（1+50％）x，又因为获利28元，此时售价也可表示为x+28，所以可列方程x+28=0.8×（1+50％）x.故选C．
12．【答案】B
【解析】设电子产品的标价为x元，
由题意得：
0.9x–21=21×20%，
解得：
x=28，
所以这种电子产品的标价为28元．
故选B．
13．【答案】D
【解析】设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，则
100÷5×x=80，
解得x=4，
故选D．
14．【答案】D
15．【答案】C
【解析】设该品牌不同种类的文具均按x折销售．
依题意得300×0.1x=240，
解得x=8，
即打8折销售，
所以75×0.8=60（元）．
故选C．
16．【答案】2或2.5
【解析】设经过t小时后两车相距50千米，
当甲、乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t=450–50，
解得：
t=2；
当两车相遇后，两车又相距50千米时，
根据题意，得120t+80t=450+50，
解得t=2.5，
故答案为：
2或2.5.
17．【答案】100
【解析】因为每本的售价是
元，若每本打九折，全部卖完可获利
元，若每本打八折，全部卖完可获利
元，
所以九折时售价为：
元，八折时售价为：
元，则从九折到八折每本少赚
元，
因为总利润减少：
（元），
所以设这批书共购进了
本，根据题意可得：
，
解得：
.
故答案为：
.
18．【答案】59
19．【答案】800
【解析】设商品进价为x元，由题意列方程得:
x（1+10%）=880，
解得:
x=
=800.
该商品的进价是800元.
故答案为：
800元.
20．【答案】100
【解析】设运动服每件的进价是x元，利润可表示为（120–x）元，
则120–x=20%x，
解得x=100．
故答案为：
100．
21．【答案】卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支
【解析】设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60–x）支，
根据题意得：
1.2×0.8x+2×0.9（60–x）=87，
解得x=25，
所以60–x=60–25=35．
答：
卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支．
22．【答案】这个长方形的长和宽分别为40米和20米.
【解析】设长方形的宽为x，则长为2x，
根据题意可得:
（x+2x）×2=120，
解得:
x=20，2x=40，
所以这个长方形的长和宽分别为40米和20米.
23．【答案】
（1）方案一：
5x＋200（x>10），方案二：
4.5x＋225（x>10）；
（2）50本.
【解析】
（1）方案一：
25×10＋5（x－10）=5x＋200（x>10）；
方案二：
（25×10＋5x）×0.9=4.5x＋225（x>10）.
（2）由题意，得5x＋200=4.5x＋225，
解得x=50.
故购买50本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样多.
24．【答案】C
25．【答案】C
【解析】设该队胜的场次是x场，则负的场次是（7–x）场，
由题意得：
3x+（7–x）=15，解得x=4，故选C．
26．【答案】B
【解析】设这列火车的长为x米，
根据题意得：
，
解得：
x=400，
即：
这列火车长为400米，
故选B．
27．【答案】C
【解析】出售此商品可打x折，
根据题意，得1200×
–800=800×5%，
解得x=7，
即出售此商品可打7折，
故选C．
28．【答案】37
29．【答案】2
【解析】由题意可得：
A=B+3，
所以5x+2=（11–x）+3，
所以x=2，
故答案为：
2.
30．【解析】设该队负了x场，则胜（x＋2）场，平局的场数为[11－x－（x＋2）]场．
根据题意，得3（x＋2）＋1×[11－x－（x＋2）]=19，
解得x=4，
所以11－x－（x＋2）=1.
答：
该队在这次循环赛中战平了1场．
31．【答案】
（1）A计时制的费用：
0.07x元，B包月制的费用：
（50＋0.02x）元；
（2）见解析；（3）1000分钟；（4）见解析.
【解析】
（1）A计时制的费用：
0.07x元，
B包月制的费用：
（50＋0.02x）元；
（2）如表格中所示，
方式
时间（分钟）
（A）计时制
（B）包月制
200
14元
54元
300
21元
56元
（3）设某用户某月上网时间为x分钟，
根据题意，得0.07x=50＋0.02x，
解得x=1000，
即存在一个月上网时间为1000分钟时，会出现两种收费方式一样；
（4）如果某人一个月上网20小时，
A计时制的费用为：
0.07×20×60=84元，
B包月制的费用为：
50+0.02×20×60=74元，
84>74，
所以选取B．包月制比较合算；
如果小明的妈妈一个月上网1000分钟任选一种方式；
如果小明的妈妈一个月上网时间超过1000分钟应选B包月制；
如果小明的妈妈一个月上网时间低于1000分钟应选A计时制.
32．【答案】当王老师购买24盒水彩笔时，两种优惠方案付款一样多；若购买50盒水彩笔时，则选方案二更省钱．
33．【答案】A
【解析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：
150–x=25%x，150–y=–25%y，
解得x=120，y=200，
所以150+150–120–200=–20（元），故选A．
34．【答案】C
【解析】设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得120–x=20%x，y–120=20%y，
解得x=100，y=150，
所以120+120–100–150=–10（元）．
故选C．学@科网
35．【答案】A
36．【答案】80
【解析】设该书包的进价为x元，
根据题意得：
115×0.8–x=15%x，
解得：
x=80．
答：
该书包的进价为80元．
故答案为：
80．
37．【答案】15
【解析】因为
当y=127时，
解得：
x=43；
当y=43时，
解得：
x=15；
当x=15时，
解得
不符合条件．
则输入的最小正整数是15．
故答案为：
15．
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