ab
（2）有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则：
①b0）．②a>a＋maa－m（b－m>0）.
；>
aa＋maa－m
；<
bb＋mbb－m
（3）比较两个数（式）大小的两种方法
17．三个“二次”之间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋
c（a＞0）的图象
有两个相等实根x1＝x2
＝－2ba
一元二次方程ax2＋bx＋有两个相异实根
没有实数根
c＝0（a＞0）的根
x1，x2（x1＜x2）
{x|xx2}
{x|x1＜x＜x2}
一元二次不等式ax2＋bx
＋c＞0（a＞0）的解集
b
xx≠－2a
R
一元二次不等式ax2＋bx
＋c＜0（a＞0）的解集
18.不等式ax2＋bx＋c>0（<0）恒成立的条件
a＝b＝0，
a>0，
（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
或
或
c>0
Δ<0.
a＝b＝0，
a<0，
（2）不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
c<0
Δ<0.
解一元二次不等式的方法和步骤
（1）化：
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）判：
计算对应方程的判别式．
（3）求：
求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）写：
利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二
次项系数为正的形式．
（2）当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集
形式．
（4）解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁
的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式
求解．
19．二元一次不等式（组）表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
Ax＋By＋C≥0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所
有点组成的平面区域
不包括边界直线
包括边界直线
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不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
20.确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法步骤
解决求平面区域面积问题的方法步骤
（1）画出不等式组表示的平面区域；
（2）判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长（三角形的高、四边形
的高）等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
21．线性规划中的基本概念
名称
约束条件
意义
由变量x，y组成的不等式（组）
线性约束条件
目标函数
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
关于x，y的一次函数解析式
满足线性约束条件的解（x，y）
所有可行解组成的集合
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
线性规划问题
22.简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行
域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而
确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
（1）距离平方型：
目标函数为z＝（x－a）2＋（y－b）2时，可转化为可行域内的点（x，y）与点（a，b）之间的距
离的平方求解．
（2）斜率型：
对形如z＝cx＋d
ay＋b（ac≠0）型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝
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的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）与点－，－连线的斜率的ac倍的取值范围、最值
ac·
b
a
d
x－－
c
等．
2|Ax＋By＋C|的形
（3）点到直线距离型：
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝A2＋B·
22
A＋B
式，将问题化为求可行域内的点（x，y）到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍的最值．
求解线性规划中含参问题的两种基本方法
（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造
方程或不等式求解参数的值或范围；
（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而
求出参数．
求解线性规划应用题的三个注意点
（1）明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
（2）注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、
是否为非负数等．
（3）正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
23．基本不等式ab≤a＋b
2
（1）基本不等式成立的条件：
a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：
当且仅当a＝b时取等号．
24．几个重要的不等式
1a
2
＋b
2
≥2ab，a，b∈R；
2＋ab≥2，ab>0；
b
a
当且仅当a＝b时
3ab≤a＋b
2，a，b∈R；等号成立.
2
4a2＋b2
≥
a＋b
2
，a，b∈R
2
2
25．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：
两个正数的
2
算术平均数不小于它们的几何平均数．
26．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.（简记：
积定和最小）
2
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p4.（简记：
和定积最大）
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
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通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出
现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
二、函数与导数
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
如果按照某种确定的对应关系f，使对如果按某一个确定的对应关系f，使对
于集合A中的任意一个数x，在集合B于集合A中的任意一个元素x，在集合
对应关系f：
A→B
中都有唯一确定的数f（x）和它对应
B中都有唯一确定的元素y与之对应
称f：
A→B为从集合A到集合B的一称对应f：
A→B为从集合A到集合B
名称
个函数
的一个映射
记法
y＝f（x），x∈A
对应f：
A→B
2.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子
集．
（2）函数的三要素：
定义域、值域和对应关系．
（3）相等函数：
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3.常见基本初等函数定义域的基本要求
（1）分式函数中分母不等于零．
（2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
（3）一次函数、二次函数的定义域均为R.
（4）y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
（5）y＝ax（a>0且a≠1），y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
（6）y＝logax（a>0且a≠1）的定义域为（0，＋∞）．
（7）y＝tanx的定义域为{xxk,kZ}.
2
函数的定义域问题注意
（1）不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
（2）当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函
数定义域的交集．
（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”
连接．
4.对于抽象函数定义域的求解
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域．
函数f[g（x）]的定义域指的是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围．
5.求函数解析式的四种方法
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6．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分
段函数．
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出
现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．
求分段函数自变量的值或范围的方法
求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应
自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.
7．单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量x1，x2
当x1f（x2），那么
定义
在区间D上是增函数
就说函数f（x）在区间D上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是下降的
自左向右看图象是上升的
8.单调区间的定义
若函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区
间D叫做函数y＝f（x）的单调区间．
9．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们
的复合函数为减函数．即“同增异减”．
10．函数单调性的性质
（1）若f（x），g（x）均为区间A上的增（减）函数，则f（x）＋g（x）也是区间A上的增（减）函数，更进一步，即增
＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
（2）若k>0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k<0，则kf（x）与f（x）单调性相反；
（3）在公共定义域内，函数y＝f（x）（f（x）≠0）与y＝－f（x），y＝f1x单调性相反；
（4）在公共定义域内，函数y＝f（x）（f（x）≥0）与y＝fx单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
函数的单调性注意
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（1）单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符
号“∪”连接，也不能用“或”连接．
（3）函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量
x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变
量．
用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略
（1）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不
等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
（2）有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f（a）＝0，f（x－b）<0，则
f（x－b）11.函数的最值
前提
条件
结论
设函数f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足
对于任意x∈I，都有f（x）≤M；
对于任意x∈I，都有f（x）≥M；
存在x0∈I，使得f（x0）＝M
M为最大值
存在x0∈I，使得f（x0）＝M
M为最小值
12.函数最值存在的两条结论
（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．
13．利用函数的单调性求解函数最值的步骤
（1）判断或证明函数的
升级会员 