解排列组合应用题的策略.docx
《解排列组合应用题的策略.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解排列组合应用题的策略.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
解排列组合应用题的策略
解排列组合应用题的策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有
A．60种B．48种C．36种D．24种
【答案】D
【解析】把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种.
【变式1】7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法
要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.
【变式2】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20
【解析】没命中的4枪有5个空，连续的命中的3枪捆绑到一起，和单独命中的一枪插空，共有种方法.
【解析2】用列举法列举出来
1
2
3
★
★
★
★
1
2
3
★
★
★
★
1
2
3
★
★
★
★
1
2
3
★
★
★
★
1
2
3
★
★
★
★
1
2
3
2.相离问题插空排:
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A．1440种B．3600种C．4820种D．4800种
【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.
【变式1】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30。
【解析】
3.定序问题缩倍（空位插入）法:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是
A．24种B．60种C．90种D．120种
【解析】在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.
【变式1】7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
【解析】（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗？
（插入法）先排甲乙丙三个人,共有种排法,再把其余4四人依次插入共有种方法，所以共有种排法.
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插
空模型处理
【变式2】10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
【答案】（10人中选5人，排到前排，选出来之后身高确定，因此位置确定，后排的5人位置也就确定了）
4.标号排位问题分步法:
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A．6种B．9种C．11种D．23种
【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.
5.有序分配问题逐分法:
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是
A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种
【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.
【解析2】
【变式1】12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
6.全员分配问题分组法:
例6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
【解析】把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.
说明：
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【变式1】5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
A．480种B．240种C．120种D．96种
【答案】B
【解析】（5人分3组较难，后期有试题加入）
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.
【分解】①甲乙都不选
②甲乙都选，第一步（其他8人选2人）
第二步甲去西宁：
，甲不去西宁
所以
③甲参加乙不参加
④乙参加甲不参加
所以不同派遣方法总数为1680+392+1008+1008=4088
9.多元问题分类法：
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
A．210种B．300种C．464种D．600种
【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，
个，合并总计300个,选.
【变式1】从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
【解析】被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.
【变式2】从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
【解析】将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
【变式1】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
【解析】
【变式2】5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
【解析】首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.
说明：
从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
A．140种B．80种C．70种D．35种
【解析1】逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.
【解析2】至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：
甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.
14.选排问题先取后排:
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：
在四个盒中每次排3个有种，故共有种.
【变式1】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
【解析】先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.
15.部分合条件问题排除法:
在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15.以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A．70种B．64种C．58种D．52种
【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.
【变式1】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A．150种B．147种C．144种D．141种
【解析】10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：
①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.
16.可重复的排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.
例16.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.
【变式1】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42
【变式2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
17.复杂排列组合问题构造模型法:
例17.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相
升级会员 