高中数学 11 正弦定理和余弦定理教案1 新人教版必修5.docx
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高中数学11正弦定理和余弦定理教案1新人教版必修5
2019-2020年高中数学1．1正弦定理和余弦定理教案1新人教版必修5
教学要求：
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.
教学重点：
正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
教学过程：
一、复习准备：
1.讨论：
在直角三角形中，边角关系有哪些？
（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？
那么斜三角形怎么办？
2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？
（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？
→引入课题：
正弦定理
二、讲授新课：
1.教学正弦定理的推导：
①特殊情况：
直角三角形中的正弦定理：
sinA=sinB=sinC=1即c=.
②能否推广到斜三角形？
（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,则.同理，（思考如何作高？
），从而.
③*其它证法：
证明一：
（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=
.
两边同除以即得：
==.
证明二：
（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴，
同理=2R，＝2R.
证明三：
（向量法）过A作单位向量垂直于，由+=边同乘以单位向量得…..
④正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.
2.教学例题：
1出示例1：
在中，已知，，cm，解三角形.
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：
已知两角一边
2出示例2：
.
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：
已知两边及一边对角
③练习：
.
在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）
④讨论：
已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？
3.小结：
正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.
三、巩固练习：
1.已知ABC中，A=60°，，求.
2.作业：
教材P5练习1
（2），2题.
第二课时1.1.2余弦定理
（一）
教学要求：
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
教学重点：
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点：
向量方法证明余弦定理.
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：
正弦定理的文字语言？
符号语言？
基本应用？
2.练习：
在△ABC中，已知，A=45︒，C=30︒，解此三角形.→变式
3.讨论：
已知两边及夹角，如何求出此角的对边？
二、讲授新课：
1.教学余弦定理的推导：
①如图在中，、、的长分别为、、.
∵，
∴
.
即，→
②试证：
，.
③提出余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
用符号语言表示，…等；→基本应用：
已知两边及夹角
④讨论：
已知三边，如何求三角？
→余弦定理的推论：
，…等.
⑤思考：
勾股定理与余弦定理之间的关系？
2.教学例题：
①出示例1：
在ABC中，已知，，，求b及A.
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范求b
→讨论：
如何求A？
（两种方法）（答案：
，）
→小结：
已知两边及夹角
②在ABC中，已知，，，解三角形.
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→分三组练习→小结：
已知两角一边
3.练习：
①在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
②在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.
4.小结：
余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.
三、巩固练习：
1.在ABC中，若，求角A.（答案：
A=120）
2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.
→变式：
求sinBsinC；sinB＋sinC.
3.作业：
教材P8练习1、2
（1）题.
第三课时1.1正弦定理和余弦定理（练习）
教学要求：
进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.
教学重点：
熟练运用定理.
教学难点：
应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
教学过程：
一、复习准备：
1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.
2.讨论各公式所求解的三角形类型.
二、讲授新课：
1.教学三角形的解的讨论：
①出示例1：
在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
（i）A＝，a＝25，b＝50；（ii）A＝，a＝25，b＝50；
（iii）A＝，a＝，b＝50；（iiii）A＝，a＝50，b＝50.
分两组练习→讨论：
解的个数情况为何会发生变化？
②用如下图示分析解的情况.（A为锐角时）
②练习：
在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.
（i）A＝，a＝25，b＝50；（ii）A＝，a＝25，b＝10
2.教学正弦定理与余弦定理的活用：
①出示例2：
在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.
分析：
已知条件可以如何转化？
→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.
②出示例3：
在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.
分析：
由三角形的什么知识可以判别？
→求最大角余弦，由符号进行判断
结论：
活用余弦定理，得到：
③出示例4：
已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.
分析：
如何将边角关系中的边化为角？
→再思考：
又如何将角化为边？
3.小结：
三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.
三、巩固练习：
1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值
2.在△ABC中，sinA:
sinB:
sinC＝4:
5:
6，则cosA:
cosB:
cosC＝.
3.作业：
教材P11B组1、2题.
2019-2020年高中数学1．1正弦定理和余弦定理教案2新人教版必修5
●教学目标
知识与技能：
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
A
思考：
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
CB
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]（图1．1-1）
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,A
则bc
从而在直角三角形ABC中，CaB
（图1．1-2）
思考：
那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C
同理可得，ba
从而AcB
（图1．1-3）
思考：
是否可以用其它方法证明这一等式？
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：
过点A作，C
由向量的加法可得
则AB
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：
根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：
根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴当时，
，
⑵当时，
，
评述：
应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1
（1）、2
（1）题。
[补充练习]已知ABC中，
，求
（答案：
1：
2：
3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1
（1）、2
（1）题。
●板书设计
●授后记
课题:
§1.1.2余弦定理
授课类型：
新授课
●教学目标
知识与技能：
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边cba
AcB
（图1．1-4）
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设，，，那么，则
CB
从而（图1．1-5）
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
思考：
这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：
∵
=
cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：
∵cos
∴
解法二：
∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：
解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：
由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1
（1）、2
（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：
A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：
①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：
课本第9页[探究与发现]
②课时作业：
第11页[习题1.1]A组第3
（1），4
（1）题。
●板书设计
●授后记
课题:
§1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：
新授课
●教学目标
知识与技能：
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：
在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：
先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：
注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：
（1）有两解；
（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：
由余弦定理可知
（注意：
）
解：
，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知
，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：
（1）；
（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：
可利用三角形面积定理
以及正弦定理
解：
由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：
（1）或；
（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记
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