100高中数学高考总复习抛物线习题及详解100.docx

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100高中数学高考总复习抛物线习题及详解100

高中数学高考总复习抛物线习题（附参考答案）

一、选择题

1．（2010·湖北黄冈）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为（　　）

A．－2B．2

C．－4D．4

[答案]　D

[解析]　椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，

∴右焦点（2,0），由题意知＝2，∴p＝4.

2．已知点M是抛物线y2＝2px（p>0）上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是（　　）

A．相交B．相切

C．相离D．以上三种情形都有可能

[答案]　B

[解析]　如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，

则MD＝MF，ON＝OF，

∴AB＝＝

＝＝，

∴这个圆与y轴相切．

3．（2010·山东文）已知抛物线y2＝2px（p>0），过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝2D．x＝－2

[答案]　B

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB的中点（，），∴＝2，∵A、B在抛物线y2＝2px上，

∴

①－②得y12－y22＝2p（x1－x2），

∴kAB＝＝＝，∵kAB＝1，∴，p＝2

∴抛物线方程为y2＝4x，∴准线方程为：

x＝－1，故选B.

4．双曲线－＝1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y2＝2px（p>0）过点A，则该抛物线的方程为（　　）

A．y2＝9xB．y2＝4x

C．y2＝xD．y2＝x

[答案]　C

[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，F点坐标为（，0），设A点坐标为（x，y），则y＝±x，由|AF|＝2⇒＝2⇒x＝，y＝±，代入y2＝2px得p＝，所以抛物线方程为y2＝x，所以选C.

5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）

A.B．3

C.D.

[答案]　A

[解析]　记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点（0,2）的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点（0,2）的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点（0,2）的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.

6．已知抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为31，则点A的坐标为（　　）

A．（2,2）B．（2，－2）

C．（2，±）D．（2，±2）

[答案]　D

[解析]　如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3∶1，

∴＝＝3，

∴|AM|＝3，设A，∴＋1＝3，

解得y0＝±2，∴＝2，

∴点A的坐标是（2，±2），故选D.

7．（2010·河北许昌调研）过点P（－3,1）且方向向量为a＝（2，－5）的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，（m≠0）的焦点，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝－2xB．y2＝－x

C．y2＝4xD．y2＝－4x

[答案]　D

[解析]　设过P（－3,1），方向向量为a＝（2，－5）的直线上任一点Q（x，y），则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2（－4－y）＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D.

8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是（　　）

[答案]　A

[解析]　若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－x应开口向左，故排除C、D；∴mn<0，此时抛物线y2＝－x应开口向右，排除B，选A.

9．（2010·山东聊城模考）已知A、B为抛物线C：

y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为（　　）

A．±B．±

C．±D．±

[答案]　D

[解析]　∵＝－4，∴||＝4||，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝4t，

∴tan∠ABM＝，由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±.

10．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A（0，－4）和点B（t,0）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

B.∪

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－2）∪（，＋∞）

[答案]　B

[解析]　由题意知方程组无实数解

由②得y＝－4，代入①整理得，

2x2－＋4＝0，∴Δ＝－32<0，

∴t>或t<－，故选B.

[点评]　可用数形结合法求解，设过点A（0，－4）与抛物线x2＝y相切的直线与抛物线切点为M（x0，y0），

则切线方程为y－y0＝4x0（x－x0），

∵过A点，∴－4－2x02＝4x0（0－x0），

∴x0＝±，∴y0＝4，

∴切线方程为y－4＝±4x－8，

令y＝0得x＝±，即t＝±，

由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－或t>.

二、填空题

11．已知点A（2,0）、B（4,0），动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．

[答案]　（0,0）

[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为（0,0）．

12．（文）（2010·泰安市模拟）如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．

[答案]　y2＝3x

[解析]　设抛物线准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为A1、B1、Q，作BM⊥AA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝，|MA|＝，∵|AM|＝|QN|，∴3－＝p－，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.

（理）（2010·泰安质检）如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．

[答案]　y2＝3x

[解析]　解法1：

过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，

∴p＝|CF|＝，∴抛物线方程为y2＝3x.

解法2：

由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF|＝3，

从而A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝.

点评：

还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A点的横坐标为|OF|＋|AF|＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p＝.

13．已知F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．

[答案]　3＋2

[解析]　分别由A和B向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，

，解得，

∴＝3＋2，即＝3＋2.

14．（文）若点（3,1）是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.

[答案]　2

[解析]　设弦两端点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则，两式相减得，＝＝2，

∵y1＋y2＝2，∴p＝2.

（理）（2010·衡水市模考）设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P（2,1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.

[答案]　8

[解析]　过A、B、P作准线的垂线AA1、BB1与PP1，垂足A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1－（－3）]＝8.

三、解答题

15．（文）若椭圆C1：

＋＝1（0

x2＝2py（p>0）的焦点在椭圆C1的顶点上．

（1）求抛物线C2的方程；

（2）若过M（－1,0）的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．

[解析]　

（1）已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，

由离心率e＝＝＝得，b2＝1.

∴椭圆的上顶点为（0,1），即抛物线的焦点为（0,1），

∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.

（2）由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k（x＋1），E（x1，y1），F（x2，y2），

∵y＝x2，∴y′＝x，

∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，

当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，

由得：

x2－4kx－4k＝0，

由Δ＝（－4k）2－4×（－4k）>0，解得k<－1或k>0.

又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.

∴直线l的方程为x－y＋1＝0.

（理）在△ABC中，⊥，＝（0，－2），点M在y轴上且＝（＋），点C在x轴上移动．

（1）求B点的轨迹E的方程；

（2）过点F的直线l交轨迹E于H、E两点，（H在F、G之间），若＝，求直线l的方程．

[解析]　

（1）设B（x，y），C（x0,0），M（0，y0），x0≠0，

∵⊥，∴∠ACB＝，

∴·＝－1，于是x02＝2y0①

M在y轴上且＝（＋），

所以M是BC的中点，可得

，∴

把②③代入①，得y＝x2（x≠0），

所以，点B的轨迹E的方程为y＝x2（x≠0）．

（2）点F，设满足条件的直线l方程为：

y＝kx－，H（x1，y1），G（x2，y2），

由消去y得，x2－kx＋＝0.

Δ＝k2－1>0⇒k2>1，

∵＝，即＝（x2－x1，y2－y1），

∴x1＝x2－x1⇒3x1＝x2.

∵x1＋x2＝k，x1x2＝，∴k＝±，

故满足条件的直线有两条，方程为：

8x＋4y＋＝0和8x－4y－＝0.

16．（文）已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1,0）的距离小1.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设过点M（m,0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．

[解析]　

（1）由题意得：

－x＝1，化简得：

y2＝4x　（x≥0）．

∴点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）．

（2）设直线AB为y＝k（x－m），A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得ky2－4y－4km＝0，

∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，

∵以线段AB为直径的圆恒过原点，

∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.

即m2－4m＝0⇒m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.

∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．

[点评]　

（1）点P到定点F（1,0）的距离比