1直线 射线 线段.docx
《1直线 射线 线段.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1直线 射线 线段.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
1直线射线线段
直线、射线、线段
本节重点、难点
1、了解直线、射线、线段的概念、表示方法及画法；
2、掌握点与直线的位置关系；
3、掌握直线公理；
4、了解直线、射线、线段之间的关系；
5、理解线段的和、差及线段的中点等概念，会比较线段的大小；
6、理解两点间的距离的概念，会度量两点间的距离。
本讲技能要求
1．会比较线段的大小，理解线段和差与线段中点等概念。
2．会用直尺、圆规、刻度尺、等工具画线段，画线段的和差、线段的中点。
3．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，懂得学过的几何语言，能由这些语言准确，整洁地画出图形。
认识学过的图形，会用语言描述这些简单的几何图形。
本章重要数学思想
1．数形结合的思想。
建立位置关系与数量关系的联系，即由形的背景建立数量关系，和由数量关系研究位置关系的思想。
2．方程的思想。
本章中一些角与线段的计算问题要通过设元，列方程解出未知数来解决。
通过这种训练初步形成方程的思想。
3．分类及分类讨论的思想。
通过本章中一些命题确定的题设条件产生的不唯一结论的讨论初步形成分类讨论的思想。
本章主要数学能力
1．培养几何术语的表达能力。
本章是平面几何的第一章，要学习许多几何术语的表达，如“有且只有”、“经过”、“无限延长”等，掌握它们需要有一个过程。
因此，要了解它们的含义，逐步培养表达能力。
2．图形的观察记忆等能力，观察图形的特征。
并在一些稍复杂的图形中分辨出几何概念定义的基本图形。
3．运算能力。
通过本章中角的计算，线段的计算等内容，提高运算能力。
学习指导：
1．引言：
学习几何的目的。
小学阶段同学们已经接触了一些平面图形，学习了一些简单的几何知识，并用这些知识解决了一些图形中的计算问题。
从现在开始，要比较系统地学习几何知识。
几何是研究图形的，包括图形的形状，图形的性质，图形的画法，图形的计算等等，这些都必须从认真地看图，认图开始。
中学学习几何与小学时学几何的最大区别是从经验几何转入论证几何，也就是对几何图形的认识不只是凭眼一看，或自我感觉得出的，而是依据图形在特定的状态下定义的概念，然后在公理，概念基础上经过推理得出对图形的理性认识。
例如同学们知道的三角形内角和为1800，那么这个性质是某些特殊三角形才具有的？
还是所有三角形都有呢？
为什么有这个性质呢？
这些都不能只凭感觉得出结论，而要经过推理证明才行。
由此可见，学习几何不仅是获得具体的几何知识，更重要的是学会思考问题的方法，培养我们的空间想象能力，逻辑推理能力。
因此有人说：
“几何是训练人类思维的体操”，这就是学习几何的目的。
2．本章要学习构成各种几何图形的基本元素——直线、线段、射线、角的定义，性质及画法等内容，它是关系到能否学好平面几何的重要一章。
如何学会这些基本元素的定义，性质及画法是本章的重点，又是一个难点。
本章的概念，术语较多，学习时要重视几何概念是怎样建立的。
要学会把运动引入平面图形，用运动观点来分析概念定义的图形，要把定义概念的图形和所定义的概念建立起对应关系。
这种对应关系实质上起到了平面图形和概念的相互转化作用。
它能使我们见到定义概念的图形就能想到所定义的概念；反之，提到所定义的概念就可以联想到定义概念的图形。
3．另一个重点，也是难点就是几何语言的学习。
几何语言是几何中的专用术语。
几何语言产生于对图形的正确理解和简练的叙述，几何语言要求图形中的元素位置关系准确，概念清楚，先后顺序明确，语句简练。
在今后的学习几何中若能较快地掌握几何语言，那么述事，说理才会简洁明了。
4．学习几何语言要注重以下四点：
①要深刻理解几何语言中所叙述的图形，建立基本概念，关联词与图形之间的对应。
②要把图形结构，语句、命题的结构，语言的语法结构结合起来。
③要强化“文”，“图”，“式”相互转化的训练。
④要随着学习的深入做好几何语言的归纳，积累逐步掌握几何语言的规律，提高语言的表达能力。
5．体、面、线、点
①只考虑物体的形状，大小和位置的物体叫做几何体。
体是由面围成的，面与面相交于线，线与线相交于点。
对于面、线、点应认识到它们是不定义的原始概念，只给一个形象上的、描述性的认识。
②面有平面和曲面。
如桌面可以想象为一个平面。
皮球的表面可以想象为一个曲面。
现实的世界中是找不到几何中的面的。
它是从实际物体中抽象出来的图形。
几何重点研究平面，把它看成是一个到处平直，没有厚度，向各个方向无限延展的面。
③线有直线和曲线之分。
如一束光线，可以想象成直线。
一个圆桌的边可想象成曲线。
同样几何中的说的线，也只能从实物中想象。
要把线看成没有宽窄，其中直线又是反向两个方向无限延伸的。
④对于点，有时我们在纸上画一个红点就代表一个点，在地图上把一个城市看成一个点，这些都想象为点。
几何中的点在现实中也是找不到的。
几何中的点看成是没有形状和大小，只有位置的元素。
例：
国庆五十周年时天安门广场的“背景组字”在天安门城楼上一看组成很多美丽的图案。
它是由很多人一排排地坐好，举出不同的纸板球组成的，远看就成了一张完整的画面。
我们可以将每个人看成一个点，每一排人看成一条线，整个画面看成一个面。
这样，我们看到无数多点可以集合成线，无数多线可以集合成面。
也可以理解为，一条线上有无数多点，一个面内有无数多线。
又如广场礼花在夜空中留下的图形，你是否看到了点动成线？
在电视中看到收割机在麦田中收割小麦，你是否看到了线动成面？
6．直线、射线、线段
①直线是不给定义的，但射线和线段是有定义的。
②例：
数轴
数轴的作用是：
所有的实数都可以用数轴上的点表示（到代数开方一章后把数从有理数扩充到实数）,由于实数是无穷多的，而实数与数轴上点又是一一对应的，且数轴本身是一条直线，因此我们很容易想到它是如何地向两方无限延伸的，同时可知直线是由无穷多点集合而成。
在数轴上，以O为原点取向右的方向为正方向，相反的方向为负方向，将它们单独取出，如图，就是两条射线，这就很形象地看到射线是向一方无限延伸的。
再者，组成一条数轴不可少的三要素之一是单位长，它就是线段，有确定的长度。
这样一条数轴上包含着直线、射线、线段。
也可以说射线，线段均为直线上一部分。
可小结为：
a：
直线向两方无限延伸，无端点，不可说延长直线。
b：
射线向一方无限延伸，有一个端点，向一方不可说延长射线，而可由端点处作反向延长线。
c：
线段有确定的长度，有二个端点，可向两方作延长线。
③直线、射线、线段的联系和区别：
a．三者的联系是：
射线和线段都是直线的一部分，在直线上取一点，可以分成两条射线，取两点可以得到一条线段和四条射线，把射线反向延长线或把线段两方延长就可得到直线。
b．三者的区别：
除前面讲到的端点个数和可无延伸外再从表示方法上区别。
在表示方法上射线AB和射线BA是两条不同的射线，而直线AB和直线BA却表示同一条直线。
线段AB和线段BA表示同一条线段，但A和B是线段的端点。
直线AB和直线BA中的A、B两点是直线上的任意两点。
7．线段的中点：
点M是线段AB中点,AM=MB=
AB
若点M是线段AB中点，那么AM=MB=
AB，AB=2AM=2MB；反之，如果点M在线段AB上，且有AM=MB=
AB或AB=2AM=2MB，那么M是线段AB的中点。
8．关于线段的计算：
两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作AB=CD，平面几何中线段的计算结果仍为一条线段。
即使不知线段具体的长度也可以作计算。
例：
如图：
AB+BC=AC，或说：
AC-AB=BC
AC=CD=DB，即AB=3AC=3CD=3BD
或AC=
AB，AD=
AB，AB=
AD
例题分析
第一阶梯
[例1]填空
（1）过一点有______条直线，过两点有______条直线。
（2）两条直线相交，交点有______个，三条直线两两相交，交点有_____个。
解：
（1）无数（过一个点可以引无数条直线）；1（过两个点只能引一条直线）
（2）1（两条直线相交，只有一个交点）；1（三线共点）或3（两两相交）
[例2]判断下列语句是否正确，并改正。
（1）直线上一点的一旁部分叫做射线。
（2）直线上两点之间的部分叫做线段。
（3）延长直线AB。
（4）延长射线OA。
（5）延长线段BC。
解：
（1）错 改为直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
（2）错 改为直线上的两点和它们之间的部分叫做线段。
（3）错 直线是向两方无限延伸的，不必延长。
（4）错 射线不能延长，但可以反向延长，可改为反向延长射线OA。
（5）对 线段可以延长，延长BC也可以延长CB。
[例3]平面上有三个点A、B、C，过其中的任何两点连结线段，一共可以连多少条？
解：
（1）当A、B、C三点共线时，可连成三条线段。
（2）当A、B、C三点不在同一直线上时，也可以连成三条线段。
评析：
不同的三点可以连成三条不同的线段。
第二阶梯
[例1]一根拉得很紧的线，火车的两条铁轨，夜空中的流星划过的线，等等，这些给我们呈
现出什么图形？
提示：
我们结合以上实际事物，描述了直线的意义，上述实例都可以想象为是向两方无限延伸着的.
参考答案：
直线，直线的表示方法有两种，一条直线可以用两个大写字母表示，如直线AB也可以用一个小写字母表示记作直线l（如图）
说明：
直线是向两方无限延伸的，直线的两种表示方法不能混用.也就是不能用一个大写字母或两个小写字母来表示.
[例2]用一个钉子把一根细木条钉在墙上，木条可以绕着钉子转动，当用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住了，这是为什么？
提示：
我们可以把细木条看作是一条直线，钉子可以看作是直线上一点，如果过一点可以有很多线，而过两点只能有一条线.
参考答案：
上面的事实实际上是经过一点有无数条直线，而经过两点有一条直线，而且只有一条直线（如图）
我们把直线的这个性质作为公理，经过两点有一条直线且只有一条直线.
说明：
在日常生活和生产中常常用到这个公理，例如：
要在操场上画一条直线，可以先确定这条直线上的两点，再拉紧一条经过这两点的绳子，就可沿着这条绳子画线，又如，植树时，只要定出两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线.
[例3]手电筒或探照灯射出的光束，给我们呈现出什么图形？
提示：
手电筒或探照灯看作固定一点，射出的光束看作线，那么它描述了射线的形象.
参考答案：
射线，直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，如图，射线表示方法也是两种读作射线OA或射线l.
说明：
注意，在表示射线时，表示端点的字母要写在前面，如上图要写成射线OA，而不能写成射线AO，因为射线是有方向的，在画射线时，要画出射线端点O，射线给过点A并向OA一旁延伸的情况.
第三阶梯
[例1]读出下列语句，并按照这些语句画出图形
（1）直线l经过A，B，C三点，点C在点A与点B之间；
（2）经过点O的三条直线a，b，c；
（3）两条直线AB与CD相交于点P；
（4）P是直线a外一点，经过点P有一条直线b与直线a相交于点Q.
提示：
在平面内一个点与一条直线的位置关系有两种情况①点在直线上②点在直线外，注意理解点与直线的位置中的"上"不是在直线上方，另外在平面内两条直线的位置关系有两种①相交（只有一个公共点）②平行（没有公共点）.
参考答案：
（1）
（2）
（3）
（4）
说明：
第
（1）题是三点共线，但注意三点之间的顺序关系；
第
（2）题是三线共点，三条线都相交于一点；
第（3）题是两条直线相交，P点是交点；
第（4）题是点P在直线a外，点P在直线B上，a与B相交于点Q，P不是交点.
[例2]已知平面内4个点，问一共可以确定多少条直线？
提示：
由直线公理，即两点确定一条直线，但本题没有明确指出在已知的4个点中，是否有3个点（或有4个点）在同一直线上，因此，这4个点的各种情况在解题中都应考虑到.
参考答案：
平面内4个点，A，B，C，D它们的位置有三种情况，下面分别加以讨论
（1）如果A，B，C，D在同一直线上，那么只能确定一条线；
（2）如果上述4点中，有3个点在同一直线上，（不妨设A，B，C）而第四个点不在此直线上，那么确定4条直线；
（3）如果上述的4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和B，C，D确定3条直线，点B分别与C，D确定2条直线，最后点C，D确定一条直线，这样共确定6条直线.
说明：
本题利用了讨论的方法，这种方法可以使讨论结果不重，不漏，以后还会见到这种考虚问题的方法.
[例3]如果在线段AB上取9个点，那么图中共有多少条线段？
提示：
如果我们画出图来，一个一个去数，那么计算量是很大的，很难做到不重不漏，华罗庚教授告诫我们，处理这一类问题可以采用"先退后进"的方法，即归纳的方法，在本题中，我们可在线段AB上取一点，数出线段的条数，然后在线段AB上取两点，三点，再分别数出线段的条数，从中找出规律，再去解决题目中的问题.
如图，在线段AB上取一个点时，线段的总数是3条；在线段AB上取两个点时，线段总数是6条；在线段AB上取三个点时，线段总数是10条.
如何找出其中的规律呢？
我们把求得的数字进行分解
3=1+2；
6=1+2+3；
10=1+2+3+4.
我们可以发现，线段的总数都等于从1开始的n个连续的自然数之和，而且最后一个正数正好比线段上所取点的个数多1
以上这个规律是否正确呢？
我们再在AB上取四个点验证一下
S4=1+2+3+4+5=15
结合图形数一数，确实有15条线段.
参考答案：
S9=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.
说明：
要善于归纳从一个点，两个点，三个点……逐步归纳，找规律，最后总结出一个规律，由特殊到一般，再由一般到特殊的思考问题的方式，在数学中经常遇到.
七、检测题
1.判断题（对的画“√”，错的画“×”）
（1）有无数个点的线是直线。
（ ）
（2）直线可用表示它上面任意个点的大写字母表示。
（ ）
（3）线和线相交只能有一个交点。
（ ）
（4）直线和直线相交只能有一个交点。
（ ）
（5）直线没有大小之分，所以直线不能比较大小。
（ ）
（6）三条直线两两相交一定有三个交点。
（ ）
2.填空题：
（1）直线上有______个点。
（2）点和点有______种位置关系，分别是____或______;______或_______.
（3）两条直线a、b都经过点O，我们说这两条直线_______,点O是这两条直线的_____,或说成这两条直线的_________.
（4）同一平面内有四个点，经过其中任意两点如果只画了四条直线，那么这四个点的位置是____.
（5）在一条直线上，要得到10条不等的线段，那么在这条直线上需要选不同点的个数是________。
3.选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A、直线AB和直线BA是两条不同直线
B、直线A经过点O
C、两点确定一条直线
D、延长直线AB
（2）A、B、C、D是平面上四点，经过每两点画一条直线，共可画出（ ）条直线。
A、6 B、1或4或6 C、1或4 D、1或3或6
（3）平面上四条直线两两相交，交点个数可能是（ ）个。
A、1 B、1或4或6 C、4或6 D、6
（4）直线AB外有一点P，直线AB上有一点Q，由A、B、P、Q可确定的直线条数是（ ）。
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
（5）下列说法正确的是（ ）
A、延长直线AB
B、反向延长直线AB
C、延长射线AB到C
D、反向延长射线AB到C
（6）下列说法正确的是（ ）
A、延长线段就得到射线
B、线段AB和线段BA是同一条线段
C、射线OP和射线PO是同一条射线
D、射线是直线的一部分，所以射线比直线短
（7）下列说法正确的是（ ）
A、在一条直线上取一个点，图中共有两条射线
B、在一条直线上取二个点，图中共有三条射线
C、在一条直线上取三个点，图中共有四条射线
D、在一条直线上取四个点，图中共有五条射线
4.解答题
（1）在线段AB上取7个点时，图中共有多少线段？
（2）平面上有A、B、C三个点时，分别连接每两个点，图中共有多少条线段？
答案：
1、
（1）×
（2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）×
2、
（1）无数
（2）两种；点在直线上或直线经过这个点；点在直线外或直线不经过这个点。
（3）相交；公共点；交点
（4）有三点在同一直线上，第四个点在这条直线外
（5）5个
3、
（1）C
（2）B （3）B （4）D （5）D （6）B （7）A
4、
（1）36条
（2）①若三点共线3条或②若三点不共线3条，所以图中有3条线段
例题精选
例1．过三点A、B、C可以画几条直线？
解：
分两种情况：
（1）A、B、C在一条直线上，此时可画一条直线，如图所示：
（2）A、B、C不在一条直线上，此时，无法画直线。
例2．过A、B、C三点中的任意两点画直线，共可画几条？
解：
分两种情况：
（1）A、B、C三点在一条直线上，此时，可画一直线直线如图所示：
（2）A、B、C三点不在一条直线上，此时可画三条直线，如图所示：
说明：
例1、2在解的过程中都需要“分类讨论”，这是一种重要的数学思想方法，从初一就开始渗透将对今后的学习起到很好的作用。
例3．在图中，共有几条线段？
分别把它们表示出来。
答：
共有6条线段，它们是：
线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD。
说明：
识别有重叠部分的图形时，要注意不要遗漏、不重复。
该题通常可以以端点的次序计数：
以A为左端点的线段有：
AB、AC、AD；以B为左端点的线段有：
BC、BD；以C为左端点的线段有：
CD。
线段AB和线段BA是同一条线段。
例4．已知线段AB=5cm。
（1）在线段AB上画线段BC=3cm,并求线段AC的长；
（2）在直线AB上画线段BC=3cm，并求线段AC的长；
解：
（1）用刻度尺画线段AB=5cm,在线段AB上画线段BC=3cm，如图1所示，则AC=AB-BC=5cm-3cm=2cm;
（2）画直线a,在a上画线段AB=5cm,以B为端点在直线a上画线段BC=3cm（点C可能在B的左侧或右侧），如图所示2，则AC=AB-BC=2cm或AC=AB+BC=8cm。
说明：
在线段AB上画线段BC，因线段是固定的，所以只能在线段AB上戴取，结果线段AC是唯一的；在直线AB上戴取线段BC，由于直线是向两方向无限延伸的，所以C点可以落在B点的左侧或右侧，故有两解。
例5：
如图所示，把线段AB延长至D，使BD=
AB，再反向延长AB至C，使AC=AB，问：
①
CD是AB的几倍？
②BC是CD的几分之几？
解：
（1）∵CD=CA+AB+BD，又∵CA=AB，BD=
AB
∴CD=AB+AB+
AB=
AB
（2）∵BC=CA+AB=2AB，又∵CD=
AB
∴
答：
CD是AB的
倍，BC是CD的
。
测试
选择题
1．平面上有三个点A、B、C，过其中的两个点共可以连成（）条直线。
A、3条 B、1条 C、3条或1条 D、以上都不正确
2．平面上有三个点A、B、C，过其中的两个点可以连成（）条线段。
A、3条 B、1条 C、3条或1条 D、以上都不正确
3．下列说法中正确的是（）
A、若AP=
AB，则P是AB的中点
B、若AB=2PB，则P是AB的中点
C、若AP＝PB，则P是AB的中点
D、若AP＝PB＝
AB，则P是AB的中点
4．以下画图顺序不正确的是（）
A、直线AB经过点C．画法：
先画点C，再画过点C的直线AB
B、点C在直线AB上．画法：
先画直线AB，再在AB上画一点C
C、点G在直线a上但不在直线b上，画法：
先画直线a，在a上画一点G，再画不过G的任一条直线b
D、直线a与直线b相交于点O．画法：
先画直线a或b，再画与直线a或b相交于点O的直线b或a
5．线段AB被分成2:
3:
4三部分，已知第一部分和第三部分中点的距离是5.4厘米，线段AB的长应为（）
A、8.1厘米 B、9.1厘米 C、10.8厘米 D、7.4厘米
6．下面说法正确的是（）
A、射线比直线短 B、两点确定一条线段
C、两点确定一条射线 D、两点间的线叫做线段
7．下列语句正确的是（）
A、作出A、B两点的距离 B、作出A、B两点的长度
C、量出A、B两点的线段 D、量出A、B两点的距离
8．平面上有5个点，其中只有三点共线，经过这些点，可以作（）条直线。
A、6条 B、8条 C、10条 D、以上都不对
9．如图1所示，B，C是线段AD上任意两点，M是AB中点，N是CD中点，若MN＝a，BC＝b，则AD的长为（）
A、2a-b B、a-b C、a+b D、以上都不对
10．如图2所示，如果延长线段AB到C，使BC=
AB，D为AC中点，DC＝2.5，则AB的长是（）
A、5 B、3 C、13 D、4
答案与解析
答案：
1.C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10.D
解析：
1．用直接法
当A、B、C三点不在同一直线上时，过A、B、C中的任意两点一共可以连成三条不同的直线AB、BC、AC；
当A、B、C三点
升级会员 