任务9城市间公路网建设方案的选择.docx
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任务9城市间公路网建设方案的选择
任务9城市间公路网建设方案的选择
教学目标
1、知识目标
1）了解图的有关概念；
2）掌握图的邻接矩阵和邻接表的存储表示方法；
3）掌握图的遍历，深度优先搜索遍历和广度优先搜索遍历的算法；
4）掌握最小生成树的求解过程和算法。
2、能力目标
1）具有恰当的选择图作为数据的逻辑结构的能力；
2）具有应用图解决实际问题的能力。
3、素质目标
养成善于思考解决实际问题的良好习惯。
一、任务描述
有6个城市（A、B、C、D、E、F）如图9.1所示，已知每对城市间公路的建造费用，要求建造一个连接6个城市的交通网，使得任意两个城市间都可以直接或间接互达，要求使总的费用最小。
问：
如何建造6个城市间的公路网？
3
图9.1
二、相关知识
（一）图的基本概念
1、图（Graph）是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系――边（或者弧）的集合组成，其形式化定义为：
G＝（V，E）
其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合，集合E中P（vi,vj）表示顶点vi和顶点vj之间有一条直接连线，即偶对（vi,vj）表示一条边。
图9.2中G1给出了一个图的示例，在该图中：
集合V＝{v1,v2,v3,v4,v5}；
集合E＝{（v1,v2）,（v1,v4）,（v2,v3）,（v3,v4）,（v3,v5）,（v2,v5）}。
V2
V2
V1
V1
V3
V4
V3
V4
V5
图9.2无向图G1图9.2有向图G2
2、无向图。
在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（vi,vj）∈E是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。
如图9.2所示图G1是一个无向图。
3、有向图。
在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（vi,vj）∈E是有序的，即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。
如图9.2所示图G2是一个有向图：
G2=（V2,E2）
V2={v1,v2,v3,v4}
E2={,,,}
4、顶点、边、弧、弧头、弧尾。
图中，数据元素vi称为顶点（vertex）；P（vi,vj）表示在顶点vi和顶点vj之间有一条直接连线。
如果是在无向图中，则称这条连线为边；如果是在有向图中，一般称这条连线为弧。
边用顶点的无序偶对（vi,vj）来表示，称顶点vi和顶点vj互为邻接点，边（vi,vj）依附于顶点vi与顶点vj；弧用顶点的有序偶对来表示，有序偶对的第一个结点vi被称为始点（或弧尾），在图中就是不带箭头的一端；有序偶对的第二个结点vj被称为终点（或弧头），在图中就是带箭头的一端。
5、无向完全图。
在一个无向图中，如果任意两顶点都有一条直接边相连接，则称该图为无向完全图。
可以证明，在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n（n-1）/2条边。
6、有向完全图。
在一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称该图为有向完全图。
在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n（n-1）条边。
7、稠密图、稀疏图。
若一个图接近完全图，称为稠密图；称边数很少的图为稀疏图。
8、顶点的度、入度、出度。
顶点的度（degree）是指依附于某顶点v的边数，通常记为TD（v）。
在有向图中，要区别顶点的入度与出度的概念。
顶点v的入度是指以顶点为终点的弧的数目。
记为ID（v）；顶点v出度是指以顶点v为始点的弧的数目，记为OD（v）。
有TD（v）=ID（v）＋OD（v）。
例如，在G1中有：
TD（v1）=2TD（v2）=3TD（v3）=3TD（v4）=2TD（v5）=2
在G2中有：
ID（v1）=1OD（v1）=2TD（v1）=3
ID（v2）=1OD（v2）=0TD（v2）=1
ID（v3）=1OD（v3）=1TD（v3）=2
ID（v4）=1OD（v4）=1TD（v4）=2
n
∑
i=1
可以证明，对于具有n个顶点、e条边的图，顶点vi的度TD（vi）与顶点的个数以及边的数目满足关系：
2e=（
9、边的权、网图。
与边有关的数据信息称为权（weight）。
在实际应用中，权值可以有某种含义。
比如，在一个反映城市交通线路的图中，边上的权值可以表示该条线路的长度或者等级；对于一个电子线路图，边上的权值可以表示两个端点之间的电阻、电流或电压值；对于反映工程进度的图而言，边上的权值可以表示从前一个工程到后一个工程所需要的时间等等。
边上带权的图称为网图或网络（network）。
如图9.3所示，就是一个无向网图。
如果边是有方向的带权图，则就是一个有向网图。
10、路径、路径长度。
顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶点序列vp,vi1,vi2,…,vim,vq.。
其中，（vp,vi1），（vi1,vi2），…,（vim,.vq）分别为图中的边。
路径上边的数目称为路径长度。
图9.2所示的无向图G1中，v1→v4→v3→v5与v1→v2→v5是从顶点v1到顶点v5的两条路径，路径长度分别为3和2。
11、回路、简单路径、简单回路。
称vi的路径为回路或者环（cycle）。
序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
在图9.2G1中，前面提到的v1到v5的两条路径都为简单路径。
除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。
如图9.2G2中的v1→v3→v4→v1。
12、子图。
对于图G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在V’是V的子集，E’是E的子集，则称图G’是G的一个子图。
图9.4示出了G2和G1的两个子图G’和G’’。
8
5
V1
V2
V1
B
A
2
3
V3
7
V5
V4
V4
V3
D
C
（a）G’（b）G’’
图9.3一个无向网图示意图9.4图G2和G1的两个子图示意
C
B
A
V2
V1
B
A
C
D
D
F
E
V4
V3
F
E
（a）无向图G3（b）G3的两个连通分量
图9.5无向图及连通分量示意图9.6有向图G2的两个强连通分量示意
12、连通的、连通图、连通分量。
在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj（i≠j）有路径，则称顶点vi和vj是连通的。
如果图中任意两顶点都是连通的，则称该图是连通图。
无向图的极大连通子图称为连通分量。
图9.5（a）中有两个连通分量，如图9.5（b）所示。
13、强连通图、强连通分量。
对于有向图来说，若图中任意一对顶点vi和vj（i≠j）均有从一个顶点vi到另一个顶点vj有路径，也有从vj到vi的路径，则称该有向图是强连通图。
有向图的极大强连通子图称为强连通分量。
图9.2G2中有两个强连通分量，分别是{v1,v2,v3}和{v4}，如图9.6所示。
14、生成树。
所谓连通图G的生成树，是G的包含其全部n个顶点的一个极小连通子图。
它必定包含且仅包含G的n-1条边。
图9.4（b）G”示出了图9.2中G1的一棵生成树。
在生成树中添加任意一条属于原图中的边必定会产生回路，因为新添加的边使其所依附的两个顶点之间有了第二条路径。
若生成树中减少任意一条边，则必然成为非连通的。
15、生成森林。
在非连通图中，由每个连通分量都可得到一个极小连通子图，即一棵生成树。
这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
（二）图的存储结构
图的存储表示方法很多，这里介绍两种最常用的方法。
至于具体选择哪一种方法，主要取决于具体的应用和要施加的操作。
为了适合用C语言描述，以下假定顶点序号从0开始，即n个顶点图G顶点集是V（G）={v0,v1,…,vn-1}。
1、图的邻接矩阵表示法
1）图的邻接矩阵
设G=（V，E）是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是元素具有如下性质的n阶方阵：
2）图的邻接矩阵表示法：
①用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系；
②用一个顺序表来存储顶点信息。
0101
1011
0100
1100
A=
图9.7一个无向图的邻接矩阵表示
3）网络的邻接矩阵
若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
其中：
wij表示边上的权值；∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
0
96∞963∞
2
1
39∞45∞
4A＝64∞∞7
5735∞∞8
3
8
4
∞∞78∞
图9.8一个网图的邻接矩阵表示
4）图的邻接矩阵存储结构的描述
#defineVertexNum20//最大顶点数
typedefcharVertexType;//顶点类型定义
typedefintEdgeType;//权值类型定义
typedefstruct{
VertexTypevexs[VertexNum];//顶点表
EdgeTypeedges[VertexNum][VertexNum];//邻接矩阵，可看作边表
intn,e;//图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
5）建立无向网络的算法
/*建立无向网络的算法：
*/
voidCreateMGraph（MGraph*G）
{//建立无向网（图）的邻接矩阵表示
inti,j,k,w;
scanf（"%d%d",&G->n,&G->e）;//输入顶点数边数
getchar（）;
printf（"读入顶点信息，建立顶点表:
"）;
for（i=0;in;i++）//读入顶点信息，建立顶点表
G->vexs[i]=getchar（）;
getchar（）;
for（i=0;in;i++）
for（j=0;jn;j++）
G->edges[i][j]=0;//邻接矩阵初始化
for（k=0;ke;k++）{//读入e条边,建立邻接矩阵
scanf（"%d%d%d",&i,&j,&w）;//输入权w
G->edges[i][j]=w;
G->edges[j][i]=w;
}
}
2、图的邻接表表示法
1）图的邻接表
对于图G中的每个顶点vi，把所有邻接于vi的顶点vj链成一个带头结点的单链表，这个单链表就称为顶点vi的邻接表（AdjacencyList）。
2）邻接表的结点结构
（1）表结点结构：
邻接表中每个表结点均有两个域
①邻接点域adjvex,存放与vi相邻接的顶点vj的序号j；
②链域next,将邻接表的所有表结点链在一起。
Ø注意：
若要表示边上的信息（如权值），则在表结点中还应增加一个数据域。
（2）头结点结构：
顶点vi邻接表的头结点包含两个域
①顶点域vertex,存放顶点vi的信息；
②指针域firstedge,vi的邻接表的头指针。
3）无向图的邻接表
对于无向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于与vi相关联的一条边。
因此，将邻接表的表头向量称为顶点表。
将无向图的邻接表称为边表。
序号vertexfirstedge
0
V0
13∧
V1
1
023∧
∧
1
1
2
V2
V3
3
01∧
图9.9图的邻接表表示
Ø注意：
n个顶点e条边的无向图的邻接表表示中有n个顶点表结点和2e个边表结点。
4）有向图的邻接表
对于有向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于以vi为始点射出的一条边。
因此，将有向图的邻接表称为出边表。
Ø注意：
n个顶点e条边的有向图，它的邻接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。
5）有向图的逆邻接表
在有向图中，为图中每个顶点vi建立一个入边表的方法称逆邻接表表示法。
入边表中的每个表结点均对应一条以vi为终点（即射入vi）的边。
0
0
V1
V1
21∧3∧
0
∧
1
V2
∧
1
V2
2
V3
∧
3
2
V3
3
V4
3
V4
0∧
0∧2∧
（a）邻接表（b）逆邻接表
图9.10图9.2中G2的邻接表和逆邻接表
6）图的邻接表存储结构的描述
图的邻接表存储结构的描述
typedefstructnode{//边表结点定义
intadjvex;//邻接点域
structnode*next;//链域
//若要表示边上的权，则应增加一个数据域
}EdgeNode;
typedefstructvnode{//顶点表结点定义
VertexTypevertex;//顶点域
EdgeNode*firstedge;//边表头指针
}VertexNode;
typedefVertexNodeAdjList[VertexNum];//AdjList是邻接表类型
typedefstruct{//邻接表定义
AdjListadjlist;//邻接表
intn,e;//图中当前顶点数和边数
}ALGraph;
7）建立无向图的邻接表算法
建立无向图的邻接表算法
voidCreateALGraph（ALGraph*G）
{//建立无向图的邻接表表示
inti,j,k;
EdgeNode*s;
scanf（"%d%d",&G->n,&G->e）;//读入顶点数和边数
getchar（）;
for（i=0;in;i++）{//建立顶点表
G->adjlist[i].vertex=getchar（）;//读入顶点信息
G->adjlist[i].firstedge=NULL;//边表置为空表
}
for（k=0;ke;k++）{//建立边表
scanf（"%d%d",&i,&j）;//读入边（vi,vj）顶点对序号
s=（EdgeNode*）malloc（sizeof（EdgeNode））;//生成边表结点
s->adjvex=j;//邻接点序号为j
s->next=G->adjlist[i].firstedge;
G->adjlist[i].firstedge=s;//将新结点*s插入顶点vi的边表头部
s=（EdgeNode*）malloc（sizeof（EdgeNode））;
s->adjvex=i;//邻接点序号为i
s->next=G->adjlist[j].firstedge;
G->adjlist[j].firstedge=s;//将新结点*s插入顶点vj的边表头部
}
}
（三）图的遍历
1、图的遍历：
从图的某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中每个顶点各做一次且仅做一次访问，这一过程称为图的遍历。
它是许多图的算法的基础。
深度优先遍历和广度优先遍历是最为重要的两种遍历图的方法。
它们对无向图和有向图均适用。
Ø注意：
①由于图中任一顶点都可能和其它顶点相邻接，所以在遍历图时，访问了某顶点之后，有可能顺着某条回路又回到了该顶点。
为了避免重复访问同一个顶点，必须记住每个已访问的顶点。
为此，可设一向量visited[0…n-1]，该向量的每个元素的初值均为0，如果访问了顶点Vi，就将visited[i]置为1，这样便可通过visited[i]的值来标志顶点Vi是否被访问过。
②以下假定遍历过程中访问顶点的操作是简单地输出顶点。
2、图的深度优先遍历
假设给定图G的初态是所有顶点均未曾访问过。
在G中任选一顶点v为初始出发点（源点）。
①递归定义：
首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。
若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点（亦称为从源点可达的顶点）均已被访问为止。
若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。
Ø说明：
图的深度优先遍历类似于树的前序遍历。
采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。
这种搜索方法称为深度优先搜索（Depth-FirstSearch）。
相应地，用此方法遍历图就很自然地称之为图的深度优先遍历。
②深度优先搜索的过程
设x是当前被访问顶点，在对x做过访问标记后，选择一条从x出发的未检测过的边（x，y）。
若发现顶点y已访问过，则重新选择另一条从x出发的未检测过的边，否则沿边（x，y）到达未曾访问过的y，对y访问并将其标记为已访问过；然后从y开始搜索，直到搜索完从y出发的所有路径，即访问完所有从y出发可达的顶点之后，才回溯到顶点x，并且再选择一条从x出发的未检测过的边。
上述过程直至从x出发的所有边都已检测过为止。
此时，若x不是源点，则回溯到在x之前被访问过的顶点；否则图中所有和源点有路径相通的顶点（即从源点可达的所有顶点）都已被访问过，若图G是连通图，则遍历过程结束，否则继续选择一个尚未被访问的顶点作为新源点，进行新的搜索过程。
③深度优先遍历的递归算法（DFS算法）
邻接矩阵表示的深度优先遍历算法
intvisited[VertexNum]={0};//定义标志向量
voidDFSM（MGraph*G,inti）
{//以vi为出发点进行搜索，设邻接矩阵是0,l矩阵
intj;
printf（"%4c",G->vexs[i]）;//访问顶点vi
visited[i]=1;
for（j=0;jn;j++）//依次搜索vi的邻接点
if（（G->edges[i][j]==1）&&（!
visited[j]））
DFSM（G,j）;//（vi,vj）∈E，且vj未访问过
}
voidDFSTraverse（MGraph*G）
{//深度优先遍历以邻接矩阵表示G
inti;
for（i=0;in;i++）
visited[i]=0;//标志向量初始化
for（i=0;in;i++）
if（!
visited[i]）//vi未访问过
DFSM（G,i）;//以vi为源点开始DFSM搜索
}
邻接表表示的深度优先搜索算法
intvisited[VertexNum]={0};//定义标志向量
voidDFS（ALGraph*G,inti）
{//以vi为出发点进行深度优先搜索
EdgeNode*p;
printf（"%4c",G->adjlist[i].vertex）;//访问顶点vi
visited[i]=1;//标记vi已访问
p=G->adjlist[i].firstedge;//取vi边表的头指针
while（p）{//依次搜索vi的邻接点vj，这里j=p->adjvex
if（!
visited[p->adjvex]）//若vi尚未被访问
DFS（G,p->adjvex）;//则以vj为出发点向纵深搜索
p=p->next;//找vi的下一邻接点
}
}
voidDFSTraverse（ALGraph*G）
{//深度优先遍历以邻接表表示G
inti;
for（i=0;in;i++）
visited[i]=0;//标志向量初始化
for（i=0;in;i++）
if（!
visited[i]）//vi未访问过
DFS（G,i）;//以vi为源点开始DFS搜索
}
3、图的广度优先遍历
设图G的初态是所有顶点均未访问过。
在G中任选一顶点v为源点，则广度优先遍历可以定义为：
①递归定义：
首先访问出发点v，接着依次访问v的所有邻接点w1，w2，…，wt，然后再依次访问与wl，w2，…，wt邻接的所有未曾访问过的顶点。
依此类推，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点都已访问到为止。
此时从v开始的搜索过程结束。
若G是连通图，则遍历完成；否则，在图G中另选一个尚未访问的顶点作为新源点继续上述的搜索过程，直至G中所有顶点均已被访问为止。
Ø说明：
广度优先遍历类似于树的按层次遍历。
采用的搜索方法的特点是尽可能先对横向进行搜索，故称其为广度优先搜索（Breadth-FirstSearch）。
相应的遍历也就自然地称为广度优先遍历。
②广度优先搜索的过程
在广度优先搜索过程中，设x和y是两个相继要被访问的未访问过的顶点。
它们的邻接点分别记为x1，x2，…，xs和y1，y2，…，yt。
为确保先访问的顶点其邻接点亦先被访问，在搜索过程中使用FIFO队列来保存已访问过的顶点。
当访问x和y时，这两个顶点相继入队。
此后，当x和y相继出队时，我们分别从x和y出发搜索其邻接点x1，x2，…，xs和y1，y2，…，yt，对其中未访者进行访问并将其入队。
这种方法是将每个已访问的顶点入队，故保证了每个顶点至多只有一次入队。
③广度优先遍历的递归算法（BFS算法）
邻接矩阵表示的广度优先遍历算法：
intvisited[VertexNum]={0};//定义标志向量
voidBFSM（MGraph*G,intk）{//以vk为源点对用邻接矩阵表示的图G进行广度优先搜索
inti,j;
CirQueueQ;
InitQueue（&Q）;
printf（"%4c",G->vexs[k]）;//访问源点vk
visited[k]=1;
EnQueue（&Q,k）;
while（!
QueueEmpty（&Q））{
i=DeQueue（&Q）;//vi出队
for（j=0;jn;j++）//依次搜索vi的邻接点vj
if（G->edges[i][j]==1&&!
visited[j]）{//vi未访问
printf（"%4c",G->vexs[j]）;//访问vi
visited[j]=1;
EnQueue（&Q,j）;//访问过的vi入队
}
}
}
voidDFSTraverse（MGraph*G）{//广度优先遍历以邻接矩阵表示G
inti;
for（i=0;in;i++）
visited[i]=0;//标志向量初始化
for（i=0;in;i++）
if（!
visited[i]）//vi未访问过
BFSM（G,i）;//以vi为源点开始DFSM搜索
}
邻接表表示的广度优先遍历算法：
intvisited[VertexNum]={0};//定义标志向量
voidBFS（ALGraph*G,intk）
{//以vk为源点对用邻接表表示的图G进行广度优先搜索
inti;
CirQueueQ;//须将队列定义中DataType改为int
EdgeNode*p;
InitQueue（&Q）;//队列初始化
//访问源点vk
printf（"%4c",G->adjlist[k].vertex）;
visited[k]=1;
EnQueue（&Q,k）;//vk已访问，将其入队。
（实际上是将其序号入队）
while（!
QueueEmpty（&Q））{//队非空则执行
i=DeQueue（&Q）;//相当于vi出队
p=G->
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