专题5 规律探索型问题.docx
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专题5规律探索型问题
专题5 规律探索型问题
一、选择题
1．a是不为1的有理数，我们把
称为a的差倒数，如2的差倒数为
＝－1，－1的差倒数
＝
，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，a2019的值是（）
A．5B．－
C．
D．
2．（2019·台湾）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？
（）
A．84B．86C．160D．162
3．（2019·武汉）观察等式：
2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：
250，251，252，…，299，2100.若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）
A．2a2－2aB．2a2－2a－2
C．2a2－aD．2a2＋a
4．（2019·河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（－3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）
A．（10，3）B．（－3，10）
C．（10，－3）D．（3，－10）
5．（2019·张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）
A．（
，－
）B．（1，0）
C．（－
，－
）D．（0，－1）
6．（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：
从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（）
A．（1010，0）B．（1010，1）
C．（1009，0）D．（1009，1）
二、填空题
7．观察一列数：
－3，0，3，6，9，12……按此规律，这一列数的第21个数是____．
8．已知一列数a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b……按照这个规律写下去，第9个数是____．
9．（2019·攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx＋b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是____．
10．（2019·连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为____．
三、解答题
11．（2019·自贡）阅读下列材料：
小明为了计算1＋2＋22＋…＋22017＋22018的值，采用以下方法：
设S＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018①
则2S＝2＋22＋…＋22018＋22019②
②－①得2S－S＝S＝22019－1
∴S＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018＝22019－1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1＋2＋22＋…＋29＝________；
（2）3＋32＋…＋310＝________；
（3）求1＋a＋a2＋…＋an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.
12．（2019·北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i＋1）天背诵第二遍，第（i＋3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为________；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为________首．
专题5 规律探索型问题
一、选择题
1．a是不为1的有理数，我们把
称为a的差倒数，如2的差倒数为
＝－1，－1的差倒数
＝
，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，a2019的值是（D）
A．5B．－
C．
D．
2．（2019·台湾）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？
（A）
A．84B．86C．160D．162
3．（2019·武汉）观察等式：
2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：
250，251，252，…，299，2100.若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（C）
A．2a2－2aB．2a2－2a－2
C．2a2－aD．2a2＋a
4．（2019·河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（－3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（D）
A．（10，3）B．（－3，10）
C．（10，－3）D．（3，－10）
5．（2019·张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（A）
A．（
，－
）B．（1，0）
C．（－
，－
）D．（0，－1）
6．（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：
从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（C）
A．（1010，0）B．（1010，1）
C．（1009，0）D．（1009，1）
二、填空题
7．观察一列数：
－3，0，3，6，9，12……按此规律，这一列数的第21个数是__57__．
8．已知一列数a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b……按照这个规律写下去，第9个数是__13a＋21b__．
9．（2019·攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx＋b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是__（47，16）__．
10．（2019·连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__（2，4，2）__．
三、解答题
11．（2019·自贡）阅读下列材料：
小明为了计算1＋2＋22＋…＋22017＋22018的值，采用以下方法：
设S＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018①
则2S＝2＋22＋…＋22018＋22019②
②－①得2S－S＝S＝22019－1
∴S＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018＝22019－1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1＋2＋22＋…＋29＝________；
（2）3＋32＋…＋310＝________；
（3）求1＋a＋a2＋…＋an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.
解：
（1）设S＝1＋2＋22＋…＋29①
则2S＝2＋22＋…＋210②
②－①得2S－S＝S＝210－1∴S＝1＋2＋22＋…＋29＝210－1；
（2）设S＝3＋32＋33＋34＋…＋310①，则3S＝32＋33＋34＋35＋…＋311②，②－①得2S＝311－3，所以S＝
，即3＋32＋33＋34＋…＋310＝
；
（3）设S＝1＋a＋a2＋a3＋a4＋…＋an①，则aS＝a＋a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1②，②－①得：
（a－1）S＝an＋1－1，a＝1时，不能直接除以a－1，此时原式等于n＋1；a不等于1时，a－1才能做分母，所以S＝
，即1＋a＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝
.
12．（2019·北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i＋1）天背诵第二遍，第（i＋3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为________；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为________首．
解：
（1）
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1＋x3≥8①，∵x1＋x3＋x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1＋x2≤14①，
x2＋x3≤14②，x1＋x3＋x4≤14③，x2＋x4≤14④，
1＋②＋④－③得，3x2≤28，∴x2≤
，
∴x1＋x2＋x3＋x4≤
＋14＝
，
∴x1＋x2＋x3＋x4≤23
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首．
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