word完整版高等代数北大版第5章习题参考答案1doc.docx
《word完整版高等代数北大版第5章习题参考答案1doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《word完整版高等代数北大版第5章习题参考答案1doc.docx（85页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
word完整版高等代数北大版第5章习题参考答案1doc
第五章二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）4x1x2
2x1x3
2x2x3；
2）x12
2x1x2
2x22
4x2x3
4x32；
3）x12
3x22
2x1x2
2x1x3
6x2x3；
4）8x1x4
2x3x4
2x2x3
8x2x4；
5）x1x2
x1x3
x1x4
x2x3
x2x4
x3x4；
6）x12
2x22
x42
4x1x2
4x1x3
2x1x4
2x2x32x2x42x3x4；
7）x12
x22
x32
x42
2x1x2
2x2x32x3x4。
解1）已知
f
x1,x2,x3
4x1x2
2x1x3
2x2x3，
先作非退化线性替换
x1
y1
y2
x2
y1
y2
（1）
x3
y3
则
fx1,x2,x3
4y12
4y22
4y1y3
4y12
4y1y3
y32
y32
4y22
2y1
y3
3
y32
4y22，
再作非退化线性替换
y1
1
z1
1
z3
2
2
y2
z2
（2）
y3
z3
则原二次型的标准形为
fx,x
2
x
3
z2
4z
2
z2
，
1
1
2
3
最后将
（2）代入
（1），可得非退化线性替换为
x1
1z1
z2
1z3
2
2
x2
1
z2
1
（3）
z1
z3
2
2
x3
z3
于是相应的替换矩阵为
1
0
1
1
0
1
1
1
0
2
2
2
2
T
1
1
0
1
1
1
1
0
0
，
0
0
1
0
0
1
2
0
2
0
1
且有
1
0
0
TAT
0
4
0
。
0
0
1
2）已知fx1,x2,x3
x12
2x1x2
2x22
4x2x3
4x32，
由配方法可得
fx1,x2,x3
x12
2x1x2
x22
x22
4x2x34x32
x
1
x2
x
2
2x2
，
2
3
于是可令
y1
x1
x2
y2
x2
2x3，
y3
x3
则原二次型的标准形为
fx1,x2,x3
y12
y22，
且非退化线性替换为
x1
y1
y2
2y3
x2
y2
2y3
，
x3
y3
相应的替换矩阵为
1
1
2
T
0
1
2，
0
0
1
且有
1
0
0
1
1
0
1
1
2
1
0
0
TAT
11
0
1
22
0
1
2
0
1
0
。
2
2
1
0
2
4
0
0
1
0
0
0
（3）已知fx1,x2,x3
x12
3x22
2x1x2
2x1x3
6x2x3，
由配方法可得
fx,x
x
3
x2
2xx
2
2xx
3
2x
x
x
2
x
2
4x
2
4x
2
x
x
2
1
2
1
1
1
2
3
2
3
2
3
3
x1
x2
x32
2x2
x3
2，
于是可令
y1x1x2x3
y22x2x3，
y3x3
则原二次型的标准形为
fx1,x2,x3
y12
y22，
且非退化线性替换为
x1
y1
1
y2
3
y3
2
2
x2
1
y2
1
y3
，
2
2
x3
y3
相应的替换矩阵为
1
13
22
11
T0，
22
001
且有
1
1
3
1
0
0
1
1
1
2
2
1
0
0
1
1
0
1
3
3
0
1
1
0
1
0。
TAT
2
2
2
2
1
3
0
0
0
0
0
3
1
1
0
1
2
2
（4）已知fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4，
先作非退化线性替换
x1y1y4
x2y2
，
x3y3
x4y4
则
fx1,x2,x3,x4
8y1y4
8y42
2y3y4
2y2y3
8y2y4
2
8y42
2y4
1y11y2
1y3
1y1
1y2
1y3
2
2
8
2
2
8
81y1
1y2
1y3
2
2y2y3
2
2
8
81y1
1y2
1y3
2
1y3
2
y4
2y1
y2
2y2y3，
2
2
8
4
再作非退化线性替换
y1
z1
y2
z2
z3，
y3
z2
z3
y4
z4
则
81z1
5z2
3z3
2
5z2
3z3
2
fx1,x2,x3,x4
z4
2z1
2
8
8
4
4
2z22
2z32，
再令
w1
z1
5x2
3x3
4
4
w2
z2
，
w3
z3
w4
1z1
5z23z3
z4
2
8
8
则原二次型的标准形为
fx1,x2,x3,x4
2w12
2w22
2w32
8w42，
且非退化线性替换为
x1
1w1
5w2
3w3w4
2
4
4
x2
w2
w3
，
x3
w2
w3
x4
1w1w4
2
相应的替换矩阵为
1
5
3
1
2
4
4
0
0
1
1
T
1
1
，
0
0
1
0
0
1
2
且有
2
0
0
0
0
2
0
0
TAT
0
2
。
0
0
0
0
0
8
（5）已知fx1,x2,x3,x4x1x2
x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4，
先作非退化线性替换
x1
2y1
y2
x2
y2
，
x3
y3
x4
y4
则
fx1,x2,x3,x42y1y2
y22
2y1y3
2y2y3
2y1y4
2y2y4y3y4
2
3y42
y1
y2
y3
y4
2
y3
1y4
y12，
2
4
再作非退化线性替换
z1
y1
z2
y1
y2
y3
y4
z3
y3
1y4
，
2
z4
y4
即
y1
z1
y2
z1
z2
z3
1z4
2
，
1
y3
z3
z4
2
y4
z4
则原二次型的标准形为
fx1,x2,x3,x4
z12
z22
z32
3z42，
4
且非退化线性替换为
x1
z1
z2
z3
1
z4
2
x2
z1
z2
z3
1z4
，
2
x3
z3
1z4
x4
z4
2
相应的替换矩阵为
1
1
1
1
2
T
1
1
1
1
2
，
0
0
1
1
2
0
0
0
1
且有
1
0
0
0
TAT
0
1
0
0
0
0
1
0
。
0
0
0
3
4
（6）已知f
x1,x2,x3,x4
x12
2x22
x42
4x1x2
4x1x3
2x1x4
2x2x3
2x2x4
2x3x4，
由配方法可得
fx1,x2,x3
x4
x
2
2x2x
2
2x
3
x
2x
2
2xx
2
1
1
4
3
4
2x2
2x3
x4
2
2x22
x42
2x2x3
2x2x42x3x4
3x3
1x4
2
x12x22x3x4
2
2x2
1x3x4
2，
2
2
2
于是可令
y1
x1
2x2
2x3
x4
y2
x2
3x3
1x4
，
2
2
y3
x3
x4
y4
x4
则原二次型的标准形为
fy12
2y221y32，
2
且非退化线性替换为
x1
y1
2y2
y3y4
x2
y2
3y3
y4
，
2
x3
y3
y4
x4
y4
故替换矩阵为
1
2
1
1
0
1
3
1
2
T
0
，
0
1
1
0
0
0
1
且有
TAT
（7）已知fx1,x2,x3,x4
由配方法可得
fx1,x2,x3,x4x22x1
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
。
2
0
0
0
0
0
x12
x22
x32
x42
2x1x22x2x32x3x4，
2x2x1
x3
x1
x3
2
2x1x3
2x3x4x42
x2x3
2
2x1x3
x32
2x3x4
x42
x32
xx
2
x
2
xx
2
2xxx
2
x2
x
2
1
3
3
4
1
3
3
1
1
x12
x1
x2
x3
2
x3
x4
2
x1
x3
2，
于是可令
y1
x1
y2
x1
x2
x3
，
y3
x3
x4
y4
x1
x3
则原二次型的标准形为
f
y12
y22
y22
y42，
且非退化线性替换为
x1y1
x2y2y4
，
x3y1y4
x4y1y3y4
相应的替换矩阵为
1
0
0
0
0
1
0
1
T
0
0
，
1
1
1
0
1
1
且有
1
0
0
0
0
1
0
0
TAT
0
1
。
0
0
0
0
0
1
（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解1）已求得二次型
fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3
的标准形为
f
y12
4y22
3y32，
且非退化线性替换为
x1
1y1
y2
1y3
2
2
x2
1
y2
1
y1
y3
，
2
2
x3
y3
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1
z3
y2
1z2，
2
y3
z1
可得二次型的规范形为
f
z12
z22
z32。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1
iz1
y2
1z2
，
2
y3
z1
可得二次型的规范形为
f
z12
z22
z32。
2）已求得二次型
fx1,x2,x3
x12
2x1x22x22
4x2x34x32
的标准形为
f
y12
y22，
且非退化线性替换为
x1
y1
y2
2y3
x2
y2
2y3
，
x3
y3
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形
fy12y22。
3）已求得二次型
fx1,x2,x3x123x222x1x22x1x36x2x3
的标准形为
fy12y22，
且非退化线性替换为
x1
y1
1y2
3y3
2
2
x2
1
y2
1
y3
，
2
2
x3
y3
（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
fy12y22。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1z1
y2iz2。
y3z3
可得二次型的规范形为
fz12z22。
（3）已求得二次型
fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4
的标准形为
f
2y12
2y22
2y32
8y42，
且非退化线性替换为
x1
1y1
5y2
3y3y4
2
4
4
x2
y2
y3
，
x3
y2
y3
x4
1y1y4
2
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1
1
z4
2
y2
1
z2
2
，
1
y3
z3
2
y4
1
z1
2
2
可得二次型的规范形为
f
z12
z22
z32
z22。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
i
y1z1
1
y2z2
2
，
i
y3z3
1
y4z4
22
可得二次型的规范形为
f
z12
z22
z32
z22。
（5）已求得二次型
fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4
的标准形为
f
y12
y22
y323y42，
4
且非退化线性替换为
x1
y1
y2
y3
1y4
2
x2
y1
y2
y3
1y4
，
1y4
2
x3
y3
2
x4
y4
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1z2
y2z1
y3z3，
2
y4z4
3
可得二次型的规范形为
f
z12
z22
z32
z42。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1iz1
y2z2
y3iz3，
2
y4iz4
3
可得二次型的规范形为
f
z2
z2
z
2
z
2
。
1
2
3
4
6）已求得二次型
fx1,x2,x3,x4
x12
2x22
x42
4x1x24x1x32x1x4
2x2x3
2x2x4
2x3x4
升级会员 