第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程.docx
《第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）
一、目的与要求:
理解常系数线性微分方程组的特征方程式,特征根,特征向量的概念,掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
二、重点：
常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
三、难点：
常系数线性微分方程组的特征方程式,特征根,特征向量的概念.
四、教学方法：
讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段：
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程：
1新课引入
由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组（3.8）的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组
（3.20）
其中是实常数矩阵，借助于线性代数中的约当（Jordan）标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.
由线性代数知识可知，对于任一矩阵，恒存在非奇异的矩阵，使矩阵成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换
（3.21）
其中,将方程组（3.20）化为
（3.22）
我们知道，约当标准型的形式与矩阵A的特征方程
的根的情况有关.上述方程也称为常系数齐次方程组（3.20）的特征方程式.它的根称为矩阵的特征根.
下面分两种情况讨论.
（一）矩阵A的特征根均是单根的情形.
设特征根为这时
方程组（3.20）变为
（3.23）
易见方程组（3.23）有n个解
把这n个解代回变换（3.21）之中，便得到方程组（3.20）的n个解
这里是矩阵第列向量，它恰好是矩阵关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定.容易看出，构成（3.20）的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式在时为.于是我们得到
定理3.11如果方程组（3.20）的系数阵A的n个特征根彼此互异，且分别是它们所对应的特征向量，则
是方程组（3.20）的一个基本解组.
例1试求方程组
的通解.
解它的系数矩阵是
特征方程是
即
所以矩阵的特征根为．先求对应的特征向量
满足方程
即
可得.取一组非零解，例如令，就有.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是
故方程组的通解是
（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根
从上一讲我们已经知道，求解方程组
（3.20）
归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理3.11，对应解是
其中是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．
定理3.12如果实系数线性齐次方程组
有复值解其中与都是实向量函数，则其实部和虚部
证明因为是方程组（3.8）的解，所以
由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：
,
即,都是方程组（3.8）的解.证毕.
定理3.13如果是区间上的个线性无关的向量函数，是两个不等于零的常数，则向量函数组
（3.24）
在区间（a,b）上仍是线性无关的.
证明（反证法）如果（3.24）线性相关，那么依定义3.1存在个不全为零的常数，使得对区间上的所有皆有
所以
因为线性无关，从而
从上式可知，,因为,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕.
由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果是特征根，则其共轭也是特征根.由定理3.11，方程组（3.20）对应于的复值解形式是
这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组（3.20）对应于特征根的解，记作.现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为
由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组（3.20）的解，并且由此得到的n个解仍组成基本解组.
例2求解方程组
解它的系数矩阵为
特征方程是
即
特征根为
先求对应的特征向量为
再求所对应的特征向量.它应满足方程组
即
用2i乘上述第一个方程两端，得
显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即
求它的一个非零解.不妨令则.于是对应的解是
故原方程组的通解为
（三）矩阵A的特征根有重根的情形
由定理3.11，我们已经知道，当方程组（3.20）的系数矩阵的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若是的重特征根，则由齐次线性方程组
所决定的线性无关特征向量的个数,一般将小于或等于特征根的重数.若=,那么矩阵对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若＜，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵的列向量，可将矩阵化成若当标准型
其中未标出符号的部分均为零无素，而
是阶约当块，是（3.20）的特征根，它们当中可能有的彼此相同.
于是，在变换（3.21）下方程组（3.20）化成
（3.25）
根据（3.25）的形式，它可以分解成为个可以求解的小方程组.
为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组（3.20）的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.
设方程组
（3.26）
中是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方程组（3.26）化为
（3.27）
我们假定
这时，方程组（3.27）可以分裂为两个独立的小方程组
（3.28）
（3.29）
在（3.28）中自下而上逐次用初等积分法可解得
同样对（3.29）可解得
这里是任意常数.由于在方程（3.28）中不出现在（3.29）中不出现．我们依次取
可以得到方程组（3.27）的五个解如下
,
从而
（3.31）
是方程组（3.27）的一个解矩阵.又
,
所以（3.31）是方程组（3.27）的一个基本解矩阵.而（3.30）是（3.27）的一个基本解组.现在把（3.30）的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组（3.26）的五个解，
而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式
则显然有.
至此我们已清楚地看到，若中有一个三阶若当块，是（3.26）的三重特证根，则（3.26）有三个如下形式的线性无关解，
（3.32）
其中每个是的至多二次多项式.因此（3.32）也可以写成如下形式
其中都是五维常向量.而对于中的二阶若当块，是（3.26）的二重根，它
所对应的（3.26）的两个线性无关解应是如下形式
其中也都是五维常向量.
最后，我们还应指出，对于方程组（3.20），若是的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于.这样，由以上分析我们得到
定理3.14设是矩阵的m个不同的特征根，它们的重数分别为.那么，对于每一个，方程组（3.20）有个形如
的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的次数不高于的多项式.取遍所有的就得到（3.20）的基本解组.
上面的定理既告诉了我们当的特征根有重根时，线性方程组（3.20）的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.
引理3.1设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是,,记维常数列向量所组成的线性空间为，则
（1）的子集合
是矩阵的维不变子空间，并且
（2）有直和分解
;
现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.
定理3.15如果是（3.20）的重特征根，则方程组（3.20）有个形如
（3.33）
的线性无关解，其中向量由矩阵方程
（3.34）
所确定.取遍所有的，则得到（3.20）的一个基本解组.
证明由定理3.14知，若是（3.20）的重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有
消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有
（3.35）
注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．
这样，在方程组（3.31）中，首先由最下面的方程解出，再依次利用矩阵乘法求出.由引理3.1得知，线性空间可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由（3.34）最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由（3.31）逐次求出其余常向量，就得到（3.20）的n个解.记这n个解构成的解矩阵为，显然，是由（3.34）最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理3.1的2）矩阵中的各列构成了n维线性空间的一组基，因此，于是是方程组（3.20）的一个基本解组.
例3求解方程组
解系数矩阵为
特征方程为
特征根为其中对应的解是
下面求所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如
并且满足
由于
那么由可解出两个线性无关向量
将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是
最后得到通解
例4求解方程组
解系数矩阵是
特征方程为 ,有三重特征根
由定理3.15，可设其解形如
满足方程组
由于
故可分别取
再将它们依次代入上面的方程，相应地求得为
为
于是，
升级会员 