高二下学期第二阶段考试数学理试题 含答案.docx

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高二下学期第二阶段考试数学理试题含答案

2019-2020年高二下学期第二阶段考试数学（理）试题含答案

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.如果（，表示虚数单位），那么（）

A.1B.C.2D.0

2.用反证法证明：

“至少有一个为0”，应假设

A．没有一个为0B．至多有一个为0

C．只有一个为0D．两个都为0

3.已知函数f（x－1）＝2x2－x，则f′（x）＝

A．4x＋3B．4x－1C．4x－5D．A．0

4.等于

A.1B.C.D.

5.10件产品，其中3件是次品，任取两件，若表示取到次品的个数，则等于

A.B.C.D.1

6.设函数在定义域内可导，y=的图象如图1所示，则导函数y=可能为

7.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,有下列说法:

①目标恰好被命中一次的概率为；②目标恰好被命中两次的概率为；③目标被命中的概率为；④目标被命中的概率为。

以上说法正确的序号依次是

A.②③　　B.①②③C.②④D.①③

8.设曲线y＝在点（1，0）处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a＝

A．－B．C．－2D．2

9.若，且的展开式中第项的二项式系数是，则展开式中所有项系数之和为（）

A．B．C．D．

10.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f

（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（　　）

　A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

11.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某一项比赛，决出第一到第五的名次。

甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说：

“很遗憾，你和乙都未得到第一名”；对乙说：

“你当然不会是最差的”；对丙说：

“你比甲乙都好”；从这个回答分析：

5人名次的排列有（   ）种不同情况。

A、54   B、48   C、36  D、72

12.设函数，其中为取整记号，如，，．又函数，在区间上零点的个数记为，与图像交点的个数记为，则的值是（　）

Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.已知随机变量服从二项分布，则其期望=；

14.甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为　　　　．

15.若函数在上可导，，则.

16.全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。

采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。

设比赛双方获胜是等可能的。

根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。

组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．

三、解答题（本题共5道小题,每小题12分,共60分）

17.（本小题满分13分）用数学归纳法证明：

1＋4＋7＋…＋（3n－2）＝

n（3n－1）．

18.（本小题满分8分）设函数（）．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.

19.甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．

（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；

（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望．

20.设点P在曲线上，从原点向A（2，4）移动，如果直线OP，曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、。

（Ⅰ）当时，求点P的坐标；

（Ⅱ）当有最小值时，求点P的坐标和最小值。

21.设函数

，，

其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．

（1）求g（t）的表达式；

（2）对于区间中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤

成立？

如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．

四、选考题，考生从（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分。

（本题共3道小题,每小题10分）

22.选修4-1几何证明选讲

已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求证：

．

23.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C：

ρ=2cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为

（t为参数），直线l与圆C分别交于M、N，点P是圆C上不同于M、N的任意一点．

（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；

（2）求△PMN面积的最大值．

24.已知函数f（x）＝｜2x－a｜＋a.

（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x｜－2≤x≤3}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m－f（－n）成立，求实数m的取值范围

xx----xx下期高xx级二阶段考试

理科数学参考答案

1.B

2.c

3.A

4.D

5.A

6.D

7.C

8.A

9.C

10.A

【考点】：

利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【专题】：

计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．

【分析】：

令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，从而求导可判断导数F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当x＞1时，F（x）＜F

（1）=0，从而得到不等式f（x）＜2x+1的解集．

解：

令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，

则F′（x）=f′（x）﹣2，

又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，

∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，

∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数，

又∵F

（1）=f

（1）﹣2﹣1=0，

∴当x＞1时，F（x）＜F

（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，

即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；

故选A．

【点评】：

本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．

11.答案：

C

解析：

∵当甲为第五名时有种不同的排法；当甲、乙连排，且在中间时有种不同的排法；当甲、乙不连排，且在中间时有种不同的排法；∴共有种不同情况；   故选C

12.A

13.2

14.36

15.

【知识点】导数与定积分B13

【答案解析】-4解析：

解：

由题意可知

，

【思路点拨】由题意可求出函数的原函数，再利用积分的概念求出结果.

16.0.875

提示：

解一：

门票收入不低于500万元比赛进行了5场或6场或7场。

赛5场的概率

赛6场的概率

赛7场的概率

赛5场或6场或7场两两不能同时发生，故门票收入不低于500万元的概率

P=P1+P2+P3=0.875

解二：

恰为赛4场的概率为P’;

故门票收入不低于500万元的概率

17.

略

18.解：

（Ⅰ）因为，

所以，且．…………………………………2分

所以．…………………………………………3分

所以曲线在点处的切线方程是，

整理得．…………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

令，解得或．…………………………………………6分

当时，，变化情况如下表：

0

1

2

0

↘

↗

0

↘

因此，函数，的最大值为0，最小值为.

…………………………………………8分

19.（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：

“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：

，，4分

∴，

故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．6分

（Ⅱ）＝0、1、2．

，

，

（答对一个得1分）9分

∴的分布列为

0

1

2

P

∴

.（分布列1分,方差2分；分布列部分对给1分）12分

20.解：

（Ⅰ）设点P的横坐标为t（0

，

…………4分

因为，所以，点P的坐标为…………5分

（Ⅱ）

…………7分

，令S＇=0得，…………8分

因为时，S＇<0；时，S＇>0…………9分

所以，当时，,P点的坐标为…………10分

略

21.解析：

（1）

．

由（sinx－t）2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f（x）有最小值g（t），即

g（t）＝4t3－3t＋3．

（2）我们有

．

列表如下：

t

（－1，－

）

－

（－

，

）

（

，1）

g'（t）

＋

0

－

0

＋

G（t）

↗

极大值g（－

）

↘

极小值g（

）

↗

由此可见，g（t）在区间（－1，－

）和（

，1）单调增加，在区间（－

，

）单调减小，极小值为g（

）＝2，

又g（－1）＝－4－（－3）＋3＝2

故g（t）在上的最小值为2

注意到：

对任意的实数a，

＝

∈

当且仅当a＝1时，

＝2，对应的t＝－1或

，

故当t＝－1或

时，这样的a存在，且a＝1，使得g（t）≥

成立.

而当t∈（－1，1]且t≠

时，这样的a不存在.

22.

22.（Ⅰ）证明：

、、、四点共圆.且,

.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得,又,所以与相似,，又,　　，

根据割线定理得，

.

23.

【考点】参数方程化成普通方程．

【专题】坐标系和参数方程．

【分析】

（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，写出结果即可．

（2）求出圆心到直线的距离，求出P到直线MN的距离的最大值，然后求解三角形的面积．

【解答】（本小题满分10分）

解：

（1）圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．

直线l的普通方程为

．…

（2）圆心（1，﹣1）到直线l：

的距离为d=

=

，

所以，|MN|=2

=

=

．

而点P到直线MN的距离的最大值为r+d=

=

．

S△PMN=

=

…

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力．

24.

（Ⅰ）由得，

∴，即，∴，∴。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知令，

则，

∴的最小值为4，故实数的取值范围是。