高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题.docx

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高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

D

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

XXXXXX

参赛队员（打印并签名）：

1.XXXXX

2.XXXXX

3.

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

XXXXXX

日期：

2009年9月14日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

会议筹备最优化

一.摘要

在激烈的市场竞争中,随着市场经济在中国大陆的不断发展，各种新兴行业也在悄然而起.会议服务公司通过对宾馆客房、租借会议室、租用客车接送代表等几块服务，让顾客觉得经济、方便同时使满意度达到最高，会议服务公司需要从公司的经济利益和社会声誉等诸多因素来考虑,在此,我们运用线性规划和概率统计的知识，来解决对宾馆客房分配问题.会议的经济安排从预定房间的量和安排的合理性来决定;在安排客车接送会议代表运用运筹学分成几条路线;服务公司的社会声誉在市场竞争中是非常重要的,在此我们用会议代表对总体的满意度来衡量．我们应用概率统计的知识，得出参加会议人员大约为661人.根据与会人员对住房的要求，我们设计了第一个模型，且有3个方案，第一个方案利用Lingo软件计算得其无解，同样利用Lingo软件计算得最优解.通过调整第一类单人间住房的人数建立模型二，得出所有与会代表住房安排，此时得出住房费的最少价格为80630元.对模型二进一步优化，通过对宾馆调整，把与会代表集中按排在①、②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨宾馆.利用“中心极限”定理，计算得出可能出现空床费赔偿的概率大约是12%.同样应用“中心地址”的算法确定开会会议宾馆定为⑦、⑧宾馆.用运筹学的知识确定出接送与会代表路线，并安排出了接送的车辆类型和数量

关键词：

线性规划概率统计Lingo中心地址运筹学

二.问题重述

某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表.由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿.为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近.

筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1.

根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2.从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3.附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考.

需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满.

会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室.由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表.现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元.

我们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案.

附表110家备选宾馆的有关数据

宾馆代号

客房

会议室

规格

间数

价格（天）

规模

间数

价格（半天）

①

普通双标间

50

180元

200人

1

1500元

商务双标间

30

220元

150人

2

1200元

普通单人间

30

180元

60人

2

600元

商务单人间

20

220元

②

普通双标间

50

140元

130人

2

1000元

商务双标间

35

160元

180人

1

1500元

豪华双标间A

30

180元

45人

3

300元

豪华双标间B

35

200元

30人

3

300元

③

普通双标间

50

150元

200人

1

1200元

商务双标间

24

180元

100人

2

800元

普通单人间

27

150元

150人

1

1000元

60人

3

320元

④

普通双标间

50

140元

150人

2

900元

商务双标间

45

200元

50人

3

300元

⑤

普通双标间A

35

140元

150人

2

1000元

普通双标间B

35

160元

180人

1

1500元

豪华双标间

40

200元

50人

3

500元

⑥

普通单人间

40

160元

160人

1

1000元

普通双标间

40

170元

180人

1

1200元

商务单人间

30

180元

精品双人间

30

220元

⑦

普通双标间

50

150元

140人

2

800元

商务单人间

40

160元

60人

3

300元

商务套房（1床）

30

300元

200人

1

1000元

⑧

普通双标间A

40

180元

160人

1

1000元

普通双标间B

40

160元

130人

2

800元

高级单人间

45

180元

⑨

普通双人间

30

260元

160人

1

1300元

普通单人间

30

260元

120人

2

800元

豪华双人间

30

280元

200人

1

1200元

豪华单人间

30

280元

⑩

经济标准房（2床）

55

260元

180人

1

1500元

标准房（2床）

45

280元

140人

2

1000元

附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：

人）

合住1

合住2

合住3

独住1

独住2

独住3

男

154

104

32

107

68

41

女

78

48

17

59

28

19

说明：

表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间.合住是指要求两人合住一间.独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间.

附表3以往几届会议代表回执和与会情况

第一届

第二届

第三届

第四届

发来回执的代表数量

315

356

408

711

发来回执但未与会的代表数量

89

115

121

213

未发回执而与会的代表数量

57

69

75

104

附图（其中500等数字是两宾馆的距离）

三.模型假设

1.假设模型一中满足所有与会代表的回执要求；

2.假设与会代表参加每组会议是随机的；

3.假设本届与会代表参加会议人数服从往届参加会议人数规律；

4.假设每个与会代表每半天只开一次会议，且会议地点相同；

5.假设每半天所开会议的主题都一致；

7．假设每条路线车辆只搭载同一条路线的与会代表.

四.符号说明

为第i个宾馆所住的与会代表的第j种类型住房人数；

为参加会议人数的总频率；

为回执且与会代表的频率（i取1，2，3，4）；

为未回执且与会代表的比例（i取1，2，3，4）；

M为找宾馆中心地址问题的矩阵；

表示a宾馆到b宾馆c会议室的与会人数.

五．建立与分析

模型一：

通过观察附表2可以得到本届回执人数总共为755人，由往届会议代表的回执和与会情况可得知本届与会人数的概率

.因此我们假定模型如下：

设

为与会的总频率

为回执且与会的频率（i取1，2，3，4）

为未回执且与会的比例（i取1，2，3，4）

与会人数的频率：

有回执且与会人数的频率

未回执且与会人数的比例

通过以往一、二、三、四会议代表回执和与会情况，利用统计分析法，可计算出以往几届参加会议人数的的平均概率，通过平均概率推算本届与会代表的总人数.

本届与会人数：

为了使预定的房间数达到最优，使得空房数量最小，支付空房会达到最小优化.我们以661人来进行预定房间，我们假设有三种方案.

方案一:

我们为了满足各代表的要求,且达到经济，结合表一:

表一

客房

价格范围

合住1

120-161

x21x22x31x41x51x52x71x83

房间数

5035505035355040

合住2

161-202

x11x23x24x32x42x53x62x83

房间数

5030352445404040

合住3

201-300

x12x64x73x91x93x101x102

房间数

30303030305545

单住1

120-160

x33x61x72

房间数

274040

单住2

161-200

x13x63x83

房间数

303045

单住3

201-300

x14x92x94

房间数

203030

利用表一我们建立模型并求解

约束条件：

单人间：

两人间：

S.t.

运用计算机计算出结果，并对解进行数据分析发现方案一无解.

因为第一种价格范围的单间数和与会人员的回执信息矛盾.例如

在约束条件下则不能满足与会人员的要求.

宾馆

的单间数在代表要求的房间数数量上不能满足,则我们在考虑到经济和尽量使与会代表满意的情况下,建议代表住双人间,即方案二:

将

的118人在满足了40人之后,考虑到与会人员对宾馆的品质要求.把剩下的78名分到

和

这样在品质要求方面让与会人员达到最大的满意，建立模型:

约束条件：

单人间：

两人间：

s.t.

运用计算机软件计算，计算结果见附录表一，并对解进行数据分析。

在尽量使与会代表满意同时使经济可以接受的情况下，我们考虑使离会议室相对集中以及使会议室与预定宾馆在距离上较近，利用“中心地址”进行预定宾馆。

由于③、④、⑩宾馆在距离上都较远，我们为了方便与会代表参加会议采用就近原则，只在①、②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨中选取.即方案三：

约束条件：

单人间：

两人间：

S.t.

运用计算机软件计算，并对解进行数据分析。

考虑到与会人员满意问题，我们可以预算床位数.

考虑实际到会人数在预计人数661人左右，而造成无宾馆床位可以下塌，引起与会人员的不满，造成会议筹备处的社会声誉受损，可以多定一些床位，以保证到会人员能安心下榻的概率不小于0.90.因为实际到会人数是一个随机变量

，服从二项分布

～

，设预定床位数为k.由于755太大，可以考虑用中心极限定理，用正态分布去逼近，

的近似分布为

，

所以有

，查表得

，

得

故可以考虑预定673个床位.

如果筹备处允许的空床床位数在5床以内,,则在预定床位673的情况下,至少应该到达的人数668人,则出现空床的概率为

则筹备处出现空床赔偿的概率大约为12%.

模型二：

应用图论的方法找出其图形的中心点.

<1>.用Floyd算法求出距离矩阵

<2>.计算在各点

设立与会人员接送的最大量服务距离

.

<3>.求出顶点

.使

.则

就是建立会议场的最佳选择.

，根据7，8宾馆的会议室的设置，各选三个会议室，具体为7宾馆的价格为800元，规模是140人，两个；价格为1000元，规模为200人，一个.8宾馆价格为1000元，规模为160人，一个；价格为800元，规模为130人，两个.

对于方案二，为了考虑各宾馆的与会代表到会议地点的距离长短，来建立一个总距离目标函数的线性规划模型：

对该模型我们设

表示a宾馆到b宾馆的c会议室的人数，则目标函数为：

s.t.

运用计算机软件计算，模型求解见附录表二

类似地方案三所用的总距离：

目标函数为：

s.t.

运用计算机软件计算，模型求解见附录表三

方案二所用车费模型:

通过对各宾馆会议室路线进行分析，分为到7，8两宾馆的两条路线.发现对3宾馆的与会代表全部到8宾馆参加会议；5宾馆的与会代表全部到7宾馆参加会议.分别对3，5的与会人数安排乘车，5宾馆与会代表到7宾馆会议只需安排一辆3类车和一辆1类车；3宾馆与会代表到8宾馆会议室只需一辆3类车，所需总费用是2000元.设

为第

类型车（

）

表示住在第m宾馆与会代表到第n宾馆会议人数

:

根据模型和使用LINGO计算得具体数据，见附录表四

分析求解数据得：

需要4辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，

需要3辆1类车，1辆3类车；需要费用3000元

需要4辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，

需要3辆1类车，1辆3类车,需要费用3000元

需要三辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，

需要2辆一类车和1辆三类车:

需要2200元；

需要3辆1类车，但不经济，我们进行人为优化，

需要2辆一类车和1辆三类车:

需要费用2200元；

需要1辆一类车和1辆三类车:

所需总费用1400元

五．模型求解

方案二的最优解：

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:

17

Objectivevalue:

81600.00

VariableValueReducedCost

X110.0000000.000000

X1243.000000.000000

X139.0000000.000000

X1420.000000.000000

X2133.000000.000000

X220.00000010.00000

X2353.000000.000000

X240.00000010.00000

X310.00000075.00000

X320.0000000.000000

X3327.000000.000000

X41100.00000.000000

X420.00000010.00000

X5170.000000.000000

X520.00000010.00000

X530.00000010.00000

X61118.00000.000000

X6280.000000.000000

X6330.000000.000000

X640.0000000.000000

X710.0000005.000000

X720.0000000.000000

X730.000000190.0000

X810.0000000.000000

X820.00000010.00000

X8345.000000.000000

X910.00000020.00000

X9230.000000.000000

X930.00000030.00000

X943.0000000.000000

X1010.00000020.00000

X1020.00000030.00000

RowSlackorSurplusDualPrice

181600.00-1.000000

20.000000-160.0000

30.000000-180.0000

40.000000-280.0000

50.000000-70.00000

60.000000-90.00000

70.000000-110.0000

8100.00000.000000

917.000000.000000

1021.000000.000000

110.00000060.00000

1267.000000.000000

1370.000000.000000

147.0000000.000000

1570.000000.000000

16100.00000.000000

1748.000000.000000

180.00000010.00000

190.0000000.000000

2090.000000.000000

210.0000000.000000

2270.000000.000000

2340.000000.000000

240.0000005.000000

250.0000000.000000

2660.000000.000000

27100.00000.000000

2840.000000.000000

2930.000000.000000

3080.000000.000000

3180.000000.000000

320.0000000.000000

3360.000000.000000

340.00000020.00000

3580.000000.000000

3627.000000.000000

37110.00000.000000

3890.000000.000000

对方案二求解,把x61调至x93,x91,其余不变.

81600-78×160+30×280+9×260=79860（元）

但还需加车费用10400元,会议费10400元,所以总费用为:

79860+10400+10400=100660（元）

同样利用方案二的解，解答方案三

则住房费用为:

81600-78×160－27×150－50×140+50×150+27×160+30×280+9×260=80630（元）

会议费10400元.而在方案三中,去掉了3,4,10之后距离就很近了,则为了经济节约,就不需要派车接送与会代表了,可省去车费,所以总费用为:

80630+10400=91030（元）

六．模型检验

通过对模型的求解,由于方案一对第一类房间单人间要求人数共有166人,而符合这个价位的房间数只有107间,因此方案一无解,所以我们通过对x61的约束条件取消，得到模型一的第二种方案,得x61要求住118人，而房间数只有40间，所以我们对多余的78人分到x91,x93，以达到分配的合理.为了满足宾馆数尽量减少和距离集中的条件下，我们对3，4，宾馆的人数进行调整，x33有27人，将其全部调置到x72中；x41有100人，将其全部调置到x71中，得到第三套方案.对于第三套方案的是从经济，方便和使代表满意三方面来考虑建立最优模型，但美中不足的是第三套方案会有部分单人间的代表要被安排到双人间独住.

七．模型评价

对于方案一，由于宾馆单人间第一类房间少于与会代表的要求数量，所以模型无解.

对于方案二，从最优经济的角度考虑，是最优模型，但没有从距离考虑，且有少数代表不能达到要求.

对于方案三，是从经济，方便和使代表满意三方面综合来考虑建立最优模型，但美中不足的是第三套方案会有部分单人间的代表要被安排到双人间独住.由于各宾馆的距离最多在450米，所以此方案可以省去租车接送代表的费用，更加的经济.

八是从经济，方便和使代表满意三方面来考虑建立最优模型，但美中不足的是第三套方案会有部分单人间的代表要被安排到双人间独住.

八．参考文献

陶谦坎汪应洛《运筹学与系统分析》全国高等教育自学考试指导委员会机械工业出版社1999年7月

杨启帆等《数学建模》高等教育出版社2004年12月

王兵团《数学建模基础》清华大学出版社

九．附录

附表一

Zmin=90*x11+110*x12+180*x13+220*x14+70*x21+80*x22

+90*x23+100*x24+75*x31+90*x32+150*x33+70*x41

+100*x42+70*x24+75*x31+90*x32+150*x33+70*x41

+180*x63+110*x64+75*x71+160*x72+300*x73+90*x94

+130*x101+140*x102

x33+x61+x72=145

x13+x63+x83=84

x14+x92+x94=53

x21+x22+x41+x51+x52+x71+x82=203

x11+x23+x24+x32+x42+x53+x62+x81=133

x12+x64+x73+x91+x93+x101+x102=43

x11<=100

x12<=60

x13<=30

x14<=20

x21<=100

x22<=70

x23<=60

x24<=70

x31<=100

x32<=48

x33<=27

x41<=100

x42<=90

x51<=70

x52<=70

x53<=40

x62<=80

x63<=30

x71<=100

x72<=40

x73<=30

x81<=80

x82<=80

x83<=45

x91<=60

x92<=30

x93<=60

x94<=30

x101<=110

x102<=90

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:

17

Objectivevalue:

81600.00