第一届至第六届苏北数学建模联赛赛题.docx
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第一届至第六届苏北数学建模联赛赛题
第1届到第5届联赛试题
第一届苏北数模联赛试题
本科组题目
A题失业工人如何选择满意工作
政府为解决失业工人的再就业问题，积极提供就业机会，同时每月为每一位失业工人发放一定数量的失业救济金，作为他们基本的生活保障。
失业工人在寻找工作的时候，若接受找到的第一个工作，则意味他放弃了继续寻找可能找到更好工作的机会。
因此，失业工人一般不会马上接受找到的第一个工作，他通常会在心里预先设定一个最低工资水平，若找到的工作其工资低于这个预先设定的最低工资水平，则放弃该工作，继续寻找下一个工作，直至找到高于或等于预先设定的最低工资水平的工作为止。
请你建立适当的数学模型，给出最低工资水平的决定条件，失业救济金和最低工资水平的关系，并对失业工人找到满意工作之前的平均等待时间（单位：
月）作出合理的估计。
B题汽车保险
保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。
在计算保险费时，新客户属于0类。
在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。
客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。
这样的结果真会出现吗？
这是该保险公司目前最关心的问题。
根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。
保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？
给出你的建议。
表1本年度发放的保险单数
基本保险费：
775元
类别
没有索赔时补贴比例（%）
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
0
0
384620
18264
1
25
1
28240
2
40
0
13857
3
50
0
324114
总收入：
6182百万元，偿还退回：
70百万元，净收入：
6112百万元；
支出：
149百万元；索赔支出：
6093百万元，超支：
130百万元。
表2本年度的索赔款
类别
索赔人数
死亡司机人数
平均修理费（元）
平均医疗费
（元）
平均赔偿费
（元）
0
582756
11652
1020
1526
3195
1
582463
23315
1223
1231
3886
2
115857
2292
947
823
2941
3
700872
7013
805
814
2321
总修理费：
1981（百万元），总医疗费：
2218（百万元）；
总死亡赔偿费：
1894（百万元），总索赔费6093（百万元）。
专科题目
C题大型运动会团体参赛成绩评价
2001年我国在广东成功举办了第九届全国运动会，极大地推动了我国体育运动的蓬勃发展，但这次全运会前后也出现了一些问题。
原因之一在于全运会的排名规则。
根据国际惯例，大会组委会和新闻媒体按照金,银,铜奖牌总数和总分数公布各参赛单位的排名。
个别省份为了在奖牌榜上位居前列,脱离本省实际与基础较好的省份竞争,甚至采取一些有违体育道德的行为。
一些单位由于地域，经济投入等客观原因长期在奖牌榜上位居末尾，难以有大的进步，严重挫伤了他们发展体育事业的积极性。
因此有必要对单纯以奖牌数和总分数来衡量各单位的体育事业成就的评价体系做出改进。
要求:
1.充分考虑各单位的经济,社会因素；
2.对参赛队取得的成绩做出公正合理的评价；
3.以九运会的成绩给出结论；
4.评价设计的方案与现行办法的优缺点。
D题降落伞的选择
为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长
共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如右图。
每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻t的高度
，见表2。
试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
如果救灾物资以每袋100kg或200kg等包装空投（每降落伞可多包捆扎空投，但不可将一包分开），降落伞的选购方案如何？
表1
（m）
22.533.54
C1（元）
651703506601000
表2
t（s）
036912151821242730
（m）
500470425372317264215160108551
第二届苏北数模联赛试题
本科题目
A题抑制房地产泡沫问题
近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。
房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。
因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。
现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；
2．通过分析找出影响房价的主要因素；
3．给出抑制房地产价格的政策建议；
4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
B题工件的安装与排序问题
某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。
Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如3
）；
Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。
问题1．按重量排序算法；
问题2．按重量和体积排序算法；
问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。
请按下面两组工件数据（重量单位：
g，体积单位：
），进行实时计算：
序号
重量
体积
序号
重量
体积
1
348
101.5
1
358.5
103
2
352
102
2
357.5
103
3
347
105
3
355
103
4
349
105.5
4
351
103.5
5
347.5
106
5
355.5
103
6
347
104
6
357
102
7
330
94
7
341
96
8
329
98
8
342
96.5
9
329
100.5
9
340
95.5
10
327.5
98.5
10
344
97
11
329
98
11
342.5
95.1
12
331.5
99
12
343.5
96.5
13
348.5
104.5
13
357.5
102.5
14
347
105
14
355
103
15
346.5
107.5
15
353.5
103.5
16
348
104.5
16
356.5
103.5
17
347.5
104
17
356
103.5
18
348
104.5
18
352.5
104
19
333
97
19
342.5
98
20
330
97
20
344
96.5
21
332.5
99
21
339.5
98
22
331.5
98
22
341.5
96
23
331.5
96.5
23
341
96
24
332
94.5
24
345
97
专科题目
C题人民币汇率对经济的影响
近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。
一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者希望稳定人民币的汇率。
试建立数学模型解决下列问题：
1．以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；
2．人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系；
3．人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。
D题职业教育与国民经济关系问题
近年来，我国职业教育规模发展迅速，国民经济得到快速发展，但随着职业教育规模的扩大，又造成了学生就业难的问题，因而构建与国民经济发展相适应的职业教育规模是职业教育能否健康发展的关键。
1．试从职业教育与国民经济和谐发展的角度，建立职业教育发展层次、规模与国民经济发展水平之间相适应的数学模型；
2．预测未来职业教育的发展规模；
3．写一篇短文，对我国职业教育发展提出合理化建议。
第三届苏北数模联赛试题
本科题目
A题自来水的定价
水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，也一个非常敏感的社会问题。
目前大部分自来水公司都在亏损运转，提高水价会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。
所以，国家和政府对水价调整是甚之又甚。
下面是两篇关于A市水价调整听证会的报道（附件１和附件２）（题目的附件略），请认真阅读，并参考附件3的经济统计数据，研究解决下列问题：
（1）根据A市价格部门提出的调整方案，请你给出分析评价，尤其是对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。
（2）你能否给出更合理的水价方案？
并给政府提出合理化建议。
（3）请你分析预测新的水价方案后的节水量是多少？
B题篮球比赛问题
运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。
篮球竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运动队竞赛成绩的客观标准。
某大学有12个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛。
首先进行分组赛，共分两组，每组6支代表队；小组赛结束后，每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛。
附表1和附表2（附表略）分别为第一组和第二组的比赛结果。
请你根据这些数据，研究各个代表队的下列问题：
（1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。
（2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标进行排序。
（3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。
（4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠，并将这12支代表队的名次进行排序。
（5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞技水平。
专科题目
C题减速路障的放置
某单位地处主干道边上，车流量较大，车速平均每小时60公里，对人员进出造成了一定的威胁。
现在有关部门打算在该路段放置减速路障，达到使来往车辆减速的目的。
（1）建立减速路障减速的数学模型；
（2）利用所建的数学模型分析在等距设置三道减速路障情况下的减速效果；
（3）利用所建的数学模型分析减速效果最优的三道减速路障的设置方案；
（4）给交管部门写一封建议信。
D题教学质量评价
为了掌握学生数学学习情况，教学管理人员拟定了一份调查问卷（附件一）（附件略），分别对一年级、二年级学生进行了问卷调查。
问卷调查时，一年级学生正在学习高等数学下册，二年级学生已经学习完高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
请根据调查数据（附件二中给出了调查统计数据）（附件略），回答下面的问题：
1、从总体上分析学生的学习状况；
2、建立一定的标准，对调查的教学班进行分类；
3、从学习态度、学习方法、师资水平等方面进行量化分析；
撰写一份学生数学学习调查报告，以便向有关部门介绍调查结果。
第四届苏北数模联赛试题
A题毕业生就业问题
2007年毕业生人数再创新高：
全国普通高校毕业生将达到495万，比2006年增加82万；为了缓解大学生就业压力，政府及社会各方面集中推出各种促进就业的活动，并将2007年作为高校毕业生就业工作的全面服务年。
（附件略）
请你根据附件给出的数据，运用数学建模方法回答以下问题：
（1）影响毕业生就业的主要因素是什么，并对相关因素进行排序；
（2）评价不同专业的毕业生就业情况；
（3）给出某一专业的毕业生的就业策略；
（4）请你结合其他信息对毕业生就业与区域经济发展水平之间的关系作出评价；
（5）为在校生写一篇对毕业生就业具有实际指导意义的短文。
B题关于火车站股道和列检的问题
我国第六次铁路大提速已经于2007年4月18日正式展开。
第六次铁路大提速在京哈、京沪、京广、京九、陇海、浙赣、兰新、广深、胶济等干线展开，列车运行最高时速达200公里，其中京哈、京广、京沪、胶济线部分区段时速将达到250公里。
这次提速受到了大家的广泛关注，也为人们的出行带来了更大的方便。
随着列车速度的提高，如何保证列车的安全运行也成了一个比较重大的问题。
徐州火车站（以下简称徐州站）作为一个非常重要的铁路枢纽，面临着更多的工作。
徐州站共有5个站台，10个股道。
下图是徐州站的站台和股道（即列车所走的轨道）的分布图。
图1徐州火车站站台和股道分布示意图
列车提速后，徐州站的旅客列车的到发情况见附表一。
其中，“到”表示列车到达徐州站的时间，“发”表示列车离开徐州站的时间，“股道”表示列车在站内所经过的股道，“停站时分”表示列车在徐州站停留的时间（单位：
分钟）。
利用上面的信息，我们对以下两个问题进行研究。
一般来讲，火车站是分白班和晚班进行工作的。
为了简化问题，我们只对上午八点以后（包含八点）和晚上七点以前到达徐州站的列车进行分析。
问题一、股道的合理安排
1、研究各股道繁忙程度。
2、除了股道6（股道6主要是直通车通过，且该股道上的列车没有旅客上下车、列检等需求）外，如果要使各股道的繁忙程度大致相同，而且空闲时间尽量均衡，如何调整各车次停留的股道。
注意，由于股道6与站台没有直接相连，对于有旅客上下车的列车是不能停留在第6股道的。
问题二、旅客列车的列检问题
徐州站的客列检是一项十分重要的工作，对于保证列车的正常运行和旅客安全等有着极其重要的作用。
徐州站的客列检工作量大，对参加列检的工作人员要求高。
为了保证客列检工作的正常进行，对客列检进行合理的分工，对保障列检作业过程的安全和工作人员的积极性有一定的作用。
现对徐州站客列检工作简介如下：
、列车的简要分类
根据列检工作的要求，我们对列车作如下分类：
始发车，就是以徐州站为始发站的列车；终到车，就是以徐州站为终点站的车；其余的为通过车。
、需要列检的车满足的条件
根据客列检技术检查作业标准：
终到车不需要列检；始发车一般在开出徐州站前15分钟进行列检。
对于通过车，在站时间小于6分钟的不需要列检；在站时间为6～20分钟的，列车在站期间，全部需要列检；在站时间大于20分钟的，列车进站后10分钟和列车出站前10分钟进行列检。
在对列车进行列检时，必须在列车上悬挂号志（一般为旗子），来表示列车正在进行列检。
、列检工作人员的相关作业要求
一般来说，列检人员需要在列车进站前3分钟到达相应的股道等待列车的到达；列检人员需要在列车完全离开车站后离开作业股道。
②当某个列检作业队需要列检的下一列车30分钟后才会到达时，作业队可以回到股道两端的休息室等待，此时，作业队对下一列车进行作业时不需要胯股道。
列检工作按作业队进行，每列需要列检的列车由一个作业队负责，每个作业队在对某一列车进行列检完成后，才能对另外的列车进行列检。
对于徐州站的列检工作，我们考虑安排5个作业队进行。
1、由于作业队在进行跨股道作业时，会有危险存在，故请你考虑，如何给5个作业队进行分工，才能使得每个作业队跨股道数目尽量地少。
2、如何对5个作业队进行分工，才能使得每个作业队跨股道数目尽量地少，且各个作业队的工作量（即列检的列车的数目）基本一致。
3、
（1）在满足2中的条件的前提下，如何使得各个作业队的繁忙程度基本相同（即不会出现某作业队在某时间段内没有进行任何工作，而其他作业队进行了很多列车的列检工作）；
（2）在满足2中的条件的前提下，如何给各个作业队安排出时间吃午饭，且吃饭时间尽量与人们的正常吃午饭时间一致（如11：
00－13：
00，当然可以做适当的提前或延后）。
要求各个作业队的吃饭时间不小于30分钟。
请给出各个作业队的具体吃饭时间。
如果你认为5个作业队不能在满足相关作业要求的前提下，完成相关列车的列检，请给出充足的理由，并考虑安排更多的队进行列检工作，解决上面的几个问题；或者考虑通过对个别列车（主要是普客）的进站时间进行适当的延迟后（则出站时间需要作相应的延迟），5个作业队是否能完成相关列车的列检工作（可以认为对普客作出的进站时间延迟是由列车的晚点引起的）。
特别约定（为了简化问题，该约定根据实际情况进行了适量的简化）：
1、始发车在出站前30分钟进入相应股道；终到车到站后，大概在股道停留20分钟后，离开相应股道。
2、同一股道上不能同时有两列车停留。
要求同一股道上停留的两列车之间最小时间间隔为10分钟（即若安排某列车进入某股道，必须保证该股道在列车进站前10分钟已经没有列车停留），当然时间间隔越大，越安全。
3、若需要跨股道作业，跨股道需要的时间按以下方案处理：
、在某站台两侧的股道，如股道2和股道3，在2站台的两侧，则作业队列检完股道2上的列车后，可以直接转身去等待股道3上列车的到来。
可设从股道2到股道3需要1分钟。
其他类似情况可作同样的处理。
、如果某股道上没有车（为了安全起见，要求在5分钟内该股道上不会有列车到达，否则，则不能跨越该股道）可以直接跨越，设跨越一个股道需要的时间为1分钟。
、若股道上有列车，且有号志（即在列检），列检人员可以从列车下面过去，直接跨越股道，认为跨越1个股道需要的时间为1分钟。
、若中间股道上有列车（没有号志）不可以跨越股道，则作业队必须先到站台两端再到达相应股道。
可以设若两股道数之差小于3时，则需要6分钟到达相应的位置。
若两股道数之间的差大于或等于3，则需要8分钟到达相应位置。
C题防洪物资调运问题
我国地域辽阔，气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年在长江、淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和人民财产带来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。
某地区为做好今年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪抗涝物资的储备。
已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，各库库存及需求情况见附件1，其分布情况见附件2。
经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运。
（附件略）
（1）请根据附件2提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型。
（2）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证国家级储备库的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。
（3）根据你的调运方案，20天后各库的库存量是多少？
（4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型解决紧急调运的问题，如果不能，请修改你的模型。
中断路段：
，，，
第五届苏北数模联赛试题
A题私家车保有量增长及调控问题
我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。
据中国汽车工业协会估算，截止到2006年底，中国私人汽车保有量约为2650万辆，占全国汽车保有量的60%左右。
在2006年，我国汽车销量为710多万辆，私人购买比例超过77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。
据世界银行的研究，汽车保有量（尤其是私人汽车）与人均国民收入成正比。
2003年，我国国内人均GDP首次突破1000美元，这预示着中国汽车开始进入家庭消费阶段。
而事实表明，随着中国人均GDP的稳健增长，近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。
汽车特别是用于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系。
随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长。
消费者购买力的增强和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展。
私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。
附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据。
然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了严格的要求。
我国于上世纪1999年对生产的小汽车废气CO、HC、NOX和PM允许排放量制订了国家标准（相当于欧洲标准）。
规定生产的汽车从2000年1月1日起实施国Ⅰ排放标准，从2005年1月1日起实施国Ⅱ排放标准，从2007年7月1日起实施国Ⅲ排放标准，从2010年1月1日起实施国Ⅳ和国Ⅴ排放标准（实现基本与欧洲标准同步）。
据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍。
如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素。
请研究下述问题：
问题1、根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少？
问题2、自2007年以来，CPI指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机,政府决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等.据统计,2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，分析这些措施对该地区私人汽车保有量有什么样的影响？
问题3、假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。
按照汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）,如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？
1996-2008年某地区相关的统计数据
续表1
年份
人均国内生产总值（元）
全社会消费品零售总额（亿元）
全社会固定资产投资总额（亿元）
运营公交车辆数（辆）
公交营运总数（亿人次）
1996
27000
297.35
327.53
2658
6.31
1997
30619
325.00
390.51
2763
6.94
1998
33282
423.00
474.63
2801
5.73
1999
33689
467.57
569.55
2887
7.76
2000
41020
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