考研数学一真题与解析.docx
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考研数学一真题与解析
2015年考研数学一真题
一、选择题1—8小题•每小题4分，共32分.
1•设函数f（X）在（」：
，•：
：
）上连续，其二阶导数「（X）的图形如右
图所示，则曲线、二f（x）在（」：
，•：
：
）的拐点个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在•从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点X二0•但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两
侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点•而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）
11
2.设ye2x（x）ex是二阶常系数非齐次线性微分方程\ay：
by=cex的一个特解，则
23
（A）a=-3,b=2,c=-1（B）a=3,b=2,c=-1
（C）a--3,b=2,c=1（D）a=3,b=2,c=1
【详解】线性微分方程的特征方程为r2arb=0,由特解可知r,=2—定是特征方程的一个实根.如果r2=1不是特征方程的实根，则对应于f（x）二cex的特解的形式应该为Q（x）ex，其中Q（x）应该是个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r2-1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
a=-（21^-3,b=21-2，同时y*=xex是原来方程的一个解，代入可得c=-1应该选（A）
□0
3•若级数aan条件收敛，则
nd
（0,2），显然x-3,x=3依次为收敛点、发散点，应该选（B）
4.设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y二.3x所围成的平面区域，函数f（x,y）在
1
1
1
1、
1
11
1、
1
1
1
1、
1
2
a
d
T
0
1a-1
d-1
T
0
1
a-1
d-1
订
4
2a
dJ
1°
3a2-1
d2t」
1°
0
（a-1）（a-2）
（d_1）（d_2”
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:
B=（A,b）二
（a_1）（a_2）=0,（d_1）（d_2）=0同时成
方程组无穷解的充分必要条件是r（A）二r（A,b）3，也就是
D上连续，则
f（x,y）dxdy=（）
D
Ji
（A）
3drsin^f（rcoB,rsin^）rdr（B）3dr
~42sin2
1
si；2rf（rcos,rsinv）rdr
2sin2r
Tt1
:
dr甲f（rcos,rsin日）dr
■42^n2-d
【详解】积分区域如图所示，
（C）
（D）「3dr
4
1
；sin2r
1■'
2sin271
f（rcos,rsinv）dr
化成极坐标方程:
4xy=1=
也就是D:
2r2sinvcosv
4r2sinvcos"
JI
<—
3
=1=
=1=
sin二
1_-_1
Jsin2B
1
—
2sin2=—
r2sin2r
JT
所以.1.1f（x,y）dxdy二3dr.響2二f（rcosr,rsinv）rdr，所以应该选
（B）•
"1
1
1、
『1、
5.设矩阵A=
1
2
a
b=
d
J
4
2
a丿
22>
D
4
2sin2
若集合门-「1,2，则线性方程组
条件是
Ax二b有无穷多解的充分必要
（A）a",dF
（B）1,d-'J
立，当然应该选（D）.
6.设二次型f（洛，x2,x3）在正交变换x二Py下的标准形为
2y"yl~y3，其中P丸耳叵鸟，若
Q=ei，-e3,e2，则f（X1,x?
x3）在x=Qy下的标准形为
222
（A）2y1-y2y3
2丄22
（B）2y1y2一y3
【详解】Q
f二xTAx
c222
2yi-y2-y3
（2
=yTPAPy
（1
0
0、
n
0
0、
[1
0
0'
0
0
1
=P
0
0
1
qt=
0
0
-1
<0
-1
°」
1°
-1
°丿
1
°」
（D）
—ei,_e3,e2~ei,e2,e3
PT
Ty
小222
2屮目2y3
广1
0
0、
0
0、
广1
0
0、
广2
广1
0
0、
z2、
所以QTAQ=
0
0
-1
ptap
0
0
1
=
0
0
-1
1
0
0
1
=
-1
1°
1
°」
<°
-1
°」
<°
1
°」
k
一1」
<°
-1
°>
故选择（A）.
7.若A,B为任意两个随机事件，则（
）
二y
（A）P（AB）辽P（A）P（B）
（B）P（AB）_P（A）P（B）
（C）P（AB）J（A）P（B）
（D）P（AB）_P（A）P（B）
C）.
【详解】P（A）_P（AB）,P（B）_P（AB）,所以P（AB）一出…旦故选择
&设随机变量X,Y不相关,
且EX=2,EY=1,DX=3，
则E（X（XY-2））
（A）-3
（B）
（C）-5
（D）5
【详解】E（X（XY-2））
-2EX=5
故应该选择（D）.
二、填空题（本题共6小题,
每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
ln（cosx）
9.lim2—
xx
【详解】只要注意sinx为奇函数，在对称区间上积分为零,
1+cosx
11.若函数z=z（x,y）是由方程ez•xyzx•cosx=2确定，则dz|（o,n:
-
【详解】设F（x,y,z^ezxyzxcosx-2，则
z
Fx（x,y,z）=yz1-sinx,Fy（x,y,z）=xz,Fz（x,y,z）=exy
也就得到dz|（o,1）=_dx.
12.设i］是由平面xy1和三个坐标面围成的空间区域，则
iii（x2y3z）dxdydz=.
Q
【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是
111xdxdydz二ydxdydz二zdxdydz
QQQ
1121
JJJ（x+2y+3z）dxdydz=6川zdxdydz=6Jzdzjjdxdy=3Jz（1-z）dz=-
五五0d；04
2
0
III
0
2
-1
2
III
0
2
13.n阶行列式
+
+
+
*
=
0
0
III
2
2
0
0
III
-1
2
【详解】按照第-
「行展开，
得
Dn
=2Dn」+（-1）n*2（-1）n」=2Dn」+2，有Dn+2=2（%j+2）
由于D^2,D2
=6,
得
Dn
=22
（Dr+2）_2=2n*-2.
14•设二维随机变量（X,Y）服从正态分布N（1,0;1,1;0），则PXYY:
:
0^二
【详解】由于相关系数等于零，所以X,Y都服从正态分布，X~N（1,1）,Y~N（0,1），且相互独立.
则X-1~N（0,1）.
P"：
XYY：
：
0；^PY（X一1）：
：
0•；=P0,X-10?
P〈Y0,X一1：
：
0^=丄---
22222
三、解答题
15.（本题满分10分）设函数f（x^xaln（Vx）bxsinx,g（x）二kx3在x—0时为等价无穷小，
求常数a,b,k的取值.
【详解】当X—0时，把函数f（x）二xaln（1x）bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得
23.
o（x3））
xx313
f（x）二xa（xo（x））bx（xx
236
a2a33
=（1a）x（-―b）x2（―）x3o（x3）
23
由于当X-.0时，f（x）,g（x）是等价无穷小，则有
11
解得，a__1,b_-一，k___.
23
16.（本题满分10分）
设函数y二f（x）在定义域|上的导数大于零，若对任意的x0•I，曲线目二f（x）在点（x0,f（x0））处的
切线与直线x=x°及x轴所围成区域的面积恒为4，且f（0）=2，求f（x）的表达式.
【详解】y二f（x）在点（X。
f（x0））处的切线方程为y二厂（X。
）（x-x。
）f（x0）
令y=0，得x=x0f（x°）
f（x0）
曲线y二f（x）在点（X。
f（X。
））处的切线与直线x及x轴所围成区域的面积为
1f（x0）
Sf（X0）（x°-（X0-）=4
2f（X0）
1111
整理，得yy2，解方程，得CX，由于f（0）=2，得C=-
8y82
所求曲线方程为y—.
4-x
17.（本题满分10分）
设函数f（x,yHxyxy，曲线C:
x2•y2x^3，求f（x,y）在曲线C上的最大方向导数.
【详解】显然f/•y,f=1x.
xjy
f（x,y）=xyxy在（x,y）处的梯度gradf=
f（x,y）在（x,y）处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模
gradf二（1y）（1x）2
所以此题转化为求函数F（x,y）=（1x）2（1•y）2在条件C:
x2y2xy=3下的条件极值.用拉格朗
日乘子法求解如下：
令L（x,y,）=（1x）2（1y）2"（x2y2xy-3）
广
Fx"=2（1+x）+2x丸+yX=0
进行比较，可得，在点x二2,y=-1或x二-1,y二2处，方向导数取到最大，为,^3.
18.（本题满分10分）
（1）设函数u（x）,v（x）都可导，利用导数定义证明（u（x）v（x）f=u（x）v（x）u（x）v（x）；
（2）设函数U1（X）,U2（X）,||（,Un（X）都可导，f（x）=U1（X）U2（X）|HUn（x），写出f（x）的求导公式.
【详解】
（1）证明：
设y=u（x）v（x）
：
y=u（x：
x）v（x：
x）_u（x）v（x）
二u（x：
=x）v（x：
=x）-u（x）v（x：
=x）u（x）v（x：
=x）-u（x）v（x）
-uv（xx）u（x）V
Xv（xx）u（x）
由导数的定义和可导与连续的关系
△y也u丄Au
y'=zX=Mm?
zxv（x+”x）+u（x）瓦】=『（x）v（x）+u（x）v'（x）
f（x）二Ui（X）Ui（X）U2（x）||（Un（X）U（X）U（X）|||Un（X）川Ui（X）U（X）（[|Un（X）
19.（本题满分10分）
_1222_
已知曲线L的方程为z=X-y，起点为A（0,、.20），终点为B（O,_..J,0），计算曲线积分
Z=X
2222
Jyz）dX（z-x2-y）dy（x2-y）dz.
x=cost
【详解】曲线L的参数方程为y=$2sint,
z=cost
2222
[（y+z）dx+（z-x+y）dy+（x+y）dz
迟
=-2（2sintcost）d（cost）（.2cost）d（2cost）（2-cost）dcost
~2
（2）设非零向量
20.（本题满分11分）
设向量组，〉2,〉3为向量空间R3的一组基，-^2-^-2k>3,：
2=2〉2厂3=>3（k-1）〉3.
（1）证明：
向量组■-1,■-2,■-3为向量空间R3的一组基；
（2）当k为何值时，存在非零向量'，使得•在基>1,〉23和基-1,-2,-3下的坐标相同，并求出所有的非零向量'.
2
0
<2k
=4-0，且〉1,〉2,〉3显然线性无关，所以-1,-2,：
3是线性无关的,
在两组基下的坐标都是（％,x2,x3），则由条件
Xr'1'X^2'X3〉3二X1：
1'X2：
2'X3：
3
可整理得：
X1（-12k-3）X2〉2-X3（rk3）=0,所以条件转化为线性方程组
〔:
心・2k〉3,2,k3x=0存在非零解.
「1
0
1先
1
0
1
（a1,a2,ct3）
0
1
0
=（a1,a2,a3
0
1
0
<2k
0
k」
2k
0
k
从而系数行列式应该等于零，也就是
二0
1
0
1
（1）求a,b的值;
（2）求可逆矩阵P,使P'AP为对角矩阵.
【详解】
（1）因为两个矩阵相似，所以有
trA=trB,
也就是茄b
12a—3=b
广—1
解方程组（5E一A）x=0得矩阵A的属于特征值）.3=5的线性无关的特征向量为巴3=1
L1
z2
£
-1、
广1
0
0、
令P=（2/2工3）=
1
0
1
，贝VP」AP=
0
1
0
1°
1
1」
1°
0
5丿
22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f（X）=2ln2，X0
10,X兰0
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数.求Y的分布函数；
（1）求Y的概率分布；
（2）求数学期望EY.
详解】
（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为
显然Y的可能取值为2,3,4川|
（k-1）7,k=2,3,4,川
648
oO
（2）设S（x）二'n（n-1）xn‘
n=2
八（xn）=、X
n=2
n=2
XV1
QO
E（Y）八kP（Y二k）二
k=2
卢丄k（k-1）「7〕n三64'气8丿
k-2
=16
23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为
f（x；冷
其中d为未知参数，X1,X2，川，xn是来自总体的简单样本.
（1）求参数V的矩估计量；
（2）求参数二的最大似然估计量.
详解】
（1）总体的数学期望为
1
E（X）
令E（X）=X，解得参数二的矩估计量：
?
=2X-1.
（2）似然函数为
显然L（R是关于二的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使二尽可能大就可以，所以参数v的最大似然估计量为？
=min（x,,x2，川，召）.
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