初中数学重点梳理类比与联想.docx
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初中数学重点梳理类比与联想
类比与联想
知识定位
类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．
知识梳理
知识梳理1：
类比与联想
联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知：
△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积．
【答案】
【解析】引CF⊥BA于F，由于BC=AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以
因为∠C=∠BDE=90°，所以
∠ADE=∠CBH．
又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．
【答案】
【解析】引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件
∠C=4∠B=4∠A，
则
∠A=∠B=30°，∠C=120°．
由于CF平分∠C，所以
∠ACF＝60°．
又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以
△ADE∽△ABC，
所以
由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知△ABC中∠C=90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H．求S△CBH．
【答案】
【解析】本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．
由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以
∠CBH=∠ADE=45°．
因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以
△CBH≌△ADE，
所以S△CBH=S△ADE.
因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知线段a，b，c可以构成一个三角形，求证：
也能组成一个三角形。
【答案】见解析
【解析】
【知识点】类比与联想
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，
求
的值。
【答案】见解析
【解析】
由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有
【知识点】类比与联想
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：
x+z=2y．
【答案】33…3（n个）
【解析】
（1）展开原式有
z2-2xz+x2-4（xy-y2-xz+yz）=0，
合并、配方得
（x+z）2-4y（x+z）＋4y2=0，
即（x+z-2y）2=0，
所以x+z＝2y．
（2）如果看已知条件：
（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，
很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程
（x-y）t2＋（z-x）t＋（y-z）＝0（x-y≠0）有二相等实根．由
（x-y）+（z-x）+（y-z）=0
可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知
所以x+z=2y．
当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以
x+z=2y．
【知识点】类比与联想
【适用场合】阶段测验
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】化简
【答案】
【解析】
【知识点】类比与联想
【适用场合】课后一个月练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】下图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形（如正方形ABCD），然后在“弦图”内部作四个直角三角形（如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG）．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有
即c2=2ab+b2-2ab+a2,
即c2=a2+b2.
这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．
【答案】见解析
【解析】
设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．
（1）在图中，有
a2+b2＝（S3+S5）+（S1+S2+S4）
＝（S4+S5）+（S1+S2+S3）
＝2S2+S1+S3=c2．
（2）在下面左图中，有
a2+b2＝（S3+S4）＋（S1+S2）
=S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5=c2
（3）在上面右图中，有
a2＋b2＝（S2＋S5）+（S1＋S3＋S4）
=S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．
（4）在下图中，有
a2＋b2=（S＇2＋S5）＋（S1＋S3＋S4）
=（S＇2+S4）+（S1+S3+S5）
＝S1+S2+S3+S5=c2．
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在直角△ABC中，∠C=90°．
（1）如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形（如图1），那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？
（2）如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系（如图2）？
图1图2
【答案】
（1）S1+S2=S3
（2）S1+S2=S3
【解析】
（1）
（2）
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】比较
的大小
【答案】
【解析】
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知
的值。
【答案】0或2
【解析】
【知识点】类比与联想
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
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