一元一次方程应用题归类汇集讲义.docx
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一元一次方程应用题归类汇集讲义
一元一次方程应用题归类汇集
一元一次方程应用题归类汇集:
行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等各类问题),调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题数字问题,方案设计与成本分析,古典数学,浓度等问题。
一、行程问题:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间。
(2)基本类型有:
①相遇问题;②追及问题;常见的还有:
相背而行;行船问题;环形跑道问题。
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题。
例1:
甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
(一)相遇:
1.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发,相向而行,1小时48分相遇,如果甲比乙早出发40分钟,那么在乙出发1小时30分时两人相遇,求甲、乙两人的速度。
2.A、B两地相距15千米.甲每小时走5千米,乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,几小时后两人相遇?
3.A、B两地相距15千米.甲每小时走5千米,乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A、B两地相向而行,甲先出发1小时后乙再出发,几小时后两人相遇?
4.A、B两地相距15千米.甲每小时走5千米,乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,背向而行,几小时后两人相距60千米?
5.甲乙两人从相距32千米的两地相向而行,甲步行每小时走4千米,先行1小时后,乙骑自行车出发2小时后与甲相遇,问乙骑自行车每小时走多少千米?
6.某汽车和电动车从相距298千米的两地同时出发相对而行,汽车的速度比电动车速度的6倍还多15千米,半小时后相遇。
求两车的速度。
7.甲、乙两站相距280千米,一列慢车从甲站出发,每小时行驶60千米,一列快车从乙站
出发,每小时行驶80千米,问:
(1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇?
(2)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
8.一列快车从甲地开往乙地需5小时,一列慢车从乙地开往甲地需要的时间比快车多
小时.两列火车同时从两地相对开出,2小时后,慢车在一个车站停了下来,快车继续行驶96千米与慢车相遇.问甲、乙两地相距多少千米?
9.一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶,客车长200米,货车长310米,客货两车的速度比为4:
3.如果客车从后面追赶货车,从车头赶上到车尾超过的时间为2分钟.求两列火车的速度.
10.一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地,每小时走15公里,早到24分钟,如果每小时走12公里,就要迟到15分钟,原定时间是多少?
他去某地的路程是多远?
(二)追击:
1.一列客车长200m,一列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
2.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6Km,骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。
如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车人的时间是26秒。
(1)行人的速度为每秒多少米;
(2)求这列火车的身长是多少米。
3.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了1小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追,如果我和妈妈每小时行2千米,从家里到外婆家需要1小时45分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗?
4.一次远足活动中,一部分人步行,另一部分乘一辆汽车,两部分人同地出发。
汽车速度60公里/小时,我们的速度是5公里/小时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行这部分人。
出发地到目的地的距离是60公里。
问:
步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇
(汽车掉头的时间忽略不计)?
5.某中学学生步行去某地参加社会公益活动,每小时行走4千米.出发30分钟后,学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度追赶队伍,问通信员用多少时间可以追上学生队伍?
6.某中学学生步行去某地参加社会公益活动,每小时4千米.出发30分钟后,队长派一名通信员以8千米/时原路的速度返回学校取重要信件,然后以12千米/时的速度追赶队伍,问通信讯员拿到信件后用多少时间可以追上学生队伍?
7.甲乙两人练习短距离赛跑,甲每秒跑7.5米,乙每秒跑7米,如果乙先跑1秒种,甲经过几秒钟可以追上乙?
8.甲、乙两人练习跑步,从同一地点出发,甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,甲因找跑鞋比乙晚出发3分钟,结果两人同时到达终点,求两人所跑的路程。
9.敌我相距14千米,得知敌军于1小时前以每小时4千米的速度逃跑,现在我军以每小时7千米的速度追击敌军,问需几小时可以追上?
10.甲、乙两站相距245千米,一列慢车由甲站开出,每小时行驶50千米;同时,一列快车由乙站开出,每小时行驶70千米;两车同向而行,快车在慢车的后面,经过几小时快车可以追上慢车?
11.某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动,以每小时4千米的速度行进.走完1千米时,一个学生奉命回学校取一件东西,他以每小时5千米的速度跑回学校,取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍,结果在距农场1.5千米的地方追上队伍.求学校到农场的距离.
12.甲、乙两人由A村去B城办事,乙临时因事耽误了30分钟,若乙的速度比甲的速度每小时快5千米,那么乙用了2小时追上甲.求甲、乙两人的速度及追上时离A村的距离.
13.甲、乙两人从同一地点出发,同向而行,甲骑自行车,乙步行.如果乙先走12千米,那么甲用1小时就能追上乙;如果乙先走1小时,那么甲只用
小时就能追上乙.求两人的速度.
14.甲从A地出发以6千米/时的速度向B地行驶,40分钟后,乙从A地以8千米/时的速度按甲所走的路径追甲,结果在甲行至离B地还差5千米处追上了甲,求A、B两地间的距离.
(三)行船问题:
流水问题是研究船在流水中的行程问题,因此,又叫行船问题。
流水问题有如下两个基本公式:
顺水速度=船速+水速
(1)
逆水速度=船速-水速
(2)
水速=船速-逆水速度 (3) 船速=逆水速度+水速 (4)
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2(5)
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 (6)
1.一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?
2.一轮船航行于两个码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时。
已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头间的距离。
3.一艘船从A港到B港顺流行驶,用了5小时;从B港返回A港逆流而行,用了7.5小时,已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的速度。
4.一只轮船航行于甲、乙两地之间,顺水用3小时,逆水比顺水多30分钟,已知轮船在静水中速度是每小时26千米,求水流的速度.
5.一艘轮船从甲乙码头顺流行驶用了两个小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶用了2.5小时。
已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度。
6.某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度是每小时8千米,水流速度是每小时2千米,若A、C两地距离为2千米,求A、B两地之间的距离。
7.一只轮船航行于甲、乙两地之间,顺水用3小时,逆水用的时间比顺水多用30分钟,已知船在静水中的速度是每小时26千米,求水流的速度和甲、乙两地的距离。
8.一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时,求两城市间距离。
9.一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/小时。
顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机的航速和两城之间的航程。
(四)上坡下坡
1.某人每小时可走平路8千米,可走下坡路10千米,可走上坡路6千米.他从甲地到乙地去,先走一段上坡路,再走一段平路,到乙地后立即返回甲地.往返共用了2小时36分钟.若甲乙两地间的路程为10千米,问在这10千米路程中,上坡路及平路各有多少千米?
(五)圆环跑道:
1.在800米跑道上有两人练中长路,甲每分钟跑320米,乙每分钟跑280米,两人同时同地同向起跑,t分钟后第一次相遇,t等于分钟.
2.甲,乙二人在400米的环形跑道上跑步,已知甲的速度比乙快,如果二人在同一地方出发,同向跑,则3分20秒,相遇一次,若反向跑,则40秒相遇,求甲跑步的速度每秒跑多少米?
3.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑9米,乙每秒钟跑7米.
(1)当两人同时同地背向而行时,经过几秒钟两人首次相遇?
(2)两人同时同地同向而行时,经过几秒钟两人首次相遇.
4.一环形公路周长是24千米,甲乙两人从公路上的同一地点同一时间出发,背向而行,3小时后.他们相遇.已知甲每小时比乙慢0.5千米,求甲、乙两人速度各是多少?
5.某市举行环城自行车赛,一圈7千米,甲的速度是乙的速度的
出发后来1
小时,两人第二次相遇.问:
甲、乙二人每分钟相差多少千米?
(六)折返问题
1.某校学生列队以8千米/时的速度前进,在队尾,校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示,然后立即返回队尾,这位学生的速度为12千米/时,从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了7.2分钟,问学生队伍的长是多少米?
2.某人骑自行车以每小时10千米的速度从甲地到乙地,返回时因事绕道而行,比去时多走8千米的路.虽然行车的速度增加到每小时12千米,但比去时还多用了10分钟.求甲、乙两地的距离.
3.小王骑车从A地到B地共用了4小时.从B地返回A地,他先以去时的速度骑车行2小时,后因车出了毛病,修车耽误了半小时,接着他用比原速度每小时快6千米的速度回到A地,结果返程比去时少用了10分钟.求小王从A地到B地的骑车速度.
4.汽车从A地往B地送货.如果往返都以每小时60千米的速度行驶,那么可以按时返回.可是当司机到达B地后才发现,从A地到B地每小时只走了55千米,为了按时返回A地,汽车应以多大速度往回开?
(七)其他行程问题
1.从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用3.6小时,已知步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,设甲乙两地相距x千米,则列方程为________________。
2.某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米,可比预定的时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定的时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?
3.某人乘车行121千米的路程,一共用了3小时.第一段路程每小时行42千米,第二段每小时行38千米,第三段每小时行40千米.第三段路程为20千米,第一段和第二段路程各有多少千米?
4.有两支成分不同且长度相等的蜡烛,其中一支3小时可燃烧完,另一支4小时燃烧完.现在要求到下午四点钟时,其中一支蜡烛的剩余部分恰是另一支剩余部分的二倍,问应在何时点燃这两支蜡烛?
5.粗蜡烛和细蜡烛长短一样,粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后粗蜡烛比细蜡烛长3倍.问这两只蜡烛已点了多长时间?
6.从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比开车时间早到15分钟;如果每小时行18千米,那么比开车时间迟到15分钟.现在打算在开车时间前10分钟到达,那么骑摩托车的速度应该是多少?
18、好马走15天的路程,劣马需走30天,已知劣马每天走150千米,问好马每天走多少千米?
7.某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂,如果以每小时16千米的速度行驶,可在工厂上班时刻前15分钟到工厂;如果以每小时9.6千米的速度行驶,则在工厂上班时刻后15分钟到工厂.
(1)求这位工人家到工厂的距离.
(2)这位工人每天早晨以每小时16千米的速度行驶,在工厂上班时刻前多少小时从家里出发,可在上班前15分钟到工厂?
8.甲乙两人登一座山,甲每分登高10米并且先出发30分,乙分每登高15米,两人同时登上山顶。
甲用多少时间登上山顶?
这座山有多高?
三、工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:
个体工作量=个体工作时间×个体工作效率
总工作量=各个个体量的和
经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。
例1一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
例题2:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
那么两人合作多少小时完成?
设两人合作x小时完成此工作,依题意可得:
x/20+x/12=1
解之得:
x=7.5
答:
两人合作7.5小时完成。
变式1:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
甲先单独做4小时,然后乙加入合作,那么两人合作还要多少小时完成?
分析1:
此工作分两步完成的,故有相等关系:
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
解法一:
设两人合作还需x小时完成此工作,依题意可得:
4/20+(1/20+1/12)·x=1
解之得:
x=6
答:
两人合作还要6小时完成。
分析2:
此工作由甲、乙两人完成的,故有相等关系:
甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解法二:
设两人合作还需x小时完成此工作,依题意可得:
(4+x)/20+x/12=1
解之得:
x=6
答:
两人合作还要6小时完成。
变式2:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
甲先单独做4小时,然后乙加入合作,那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3?
分析;本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量,故由此易建立方程:
4/20+(1/20+1/12)·x=2/3
解法:
略
变式3:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
甲先单独做4小时,然后乙加入合作,那么共要多少小时完成此工作的2/3?
分析:
本题目在前者的基础上改变了未知量,弄清问题中是总的时间,要特别注意。
相等关系:
甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解:
设共需x小时完成此工作,依题意可得:
x/20+(x-4)/12=2/3
解之得:
x=7.5
答:
共要7.5小时完成此工作的2/3。
变式4:
一件工作,甲单独做20小时完成,甲、乙合做7.5小时完成。
甲先单独做4小时,然后乙加入合作,那么两人合作还要多少小时完成?
分析:
本题目在例题的基础上改变了已知量,容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。
相等关系:
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
解:
设两人合作还需x小时完成此工作,依题意可得:
4/20+x/7.5=1
解之得:
x=6
答:
两人合作还要6小时完成。
变式5:
一件工作,甲单独做20小时完成,甲、乙合做7.5小时完成。
甲先单独做4小时,余下的乙单独做,那么乙还要多少小时完成?
分析:
本题目在例题的基础上改变了已知量,容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。
但还要求出乙的工作效率:
1/7.5-1/20
相等关系:
甲先单独完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量
解:
设乙还需x小时完成此工作,依题意可得:
4/20+(1/7.5-1/20)·x=1
解之得:
x=9.6
答:
乙还要9小时36分完成。
变式6:
一件工作,甲单独做20小时完成,甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。
现在甲先单独做4小时,然后乙加入合做2小时后,甲因故离开,余下的部分由乙单独完成,那么共用多少小时完成此项工作?
分析:
此题涉及到前面几个题目中的变化,且完成方式更为复杂化。
但明确等量关系仍然不变:
(1)此工作分三步完成的,故有:
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量
(2)此工作由甲乙二人完成的,故有:
甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量
类比前面变式练习便可解出此题:
解法1:
设共需x小时完成此工作,依题意可得:
4/20+2×(2/5÷3)+(x-4-2)(2/5÷3-1/20)=1
解之得:
x=12.4
答:
共要12小时24分钟完成此工作。
解法2:
设共需x小时完成此工作,依题意可得:
(4+2)/20+(x-4)(2/5÷3-1/20)=1
解之得:
x=12.4
答:
共要12小时24分钟完成此工作。
反思:
通过设计变式练习,可以脱离就题论题的模式,让学生从题海中逃匿,很轻松地就能理解此类题目,且能达到举一反三之功效。
同时通过问题的循序渐进、由简到繁,让学生明确题目的演变过程,揭开了综合性较强的题目的神秘面纱,从而形成“析问题,抓本质”的习惯,增强战胜困难的信心和智慧。
(一)具体工作问题
1.整理一批图书,由一个人做要40小时完成。
现计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同,具体先安排多少人工作。
2.某车间加工30个零件,甲工人单独做,能按计划完成任务,乙工人单独做能提前一天半完成任务,已知乙工人每天比甲工人多做1个零件,问甲工人每天能做几个零件?
原计划几天完成?
3.两个班组工人,按计划本月应共生产680个零件,实际第一组超额20%、第二组超额15%完成了本月任务,因此比原计划多生产118个零件。
问本月原计划每组各生产多少个零件?
4.为了搞好水利建设,某村计划修建一条长800米,横断面是等腰梯形的水渠.
(1)设计横断面面积为1.6米2,渠深1米,水渠的上口宽比渠底多0.8米,求水渠上口宽和渠底宽;
(2)某施工队承建这项工程,计划在规定的时间内完成,工作4天后,改善了设备,提高了工效,每天比原计划多挖水渠10米,结果比规定的时间提前2天完成任务,求计划完成这项工程需要的天数。
5.某人承做一批零件,原计划每天做40个,可按期完成任务,由于改进工艺,工作效率提高了20%,结果不但提前了16天完成,而且超额完成了32件,求原来预定几天完成?
原计划共做多少零件?
5.一艘轮船发生漏水事故,海水以每分钟24桶的速度涌进底舱,发现时已漏进600桶海水.水手立即开动两部抽水机向外抽水,经50分钟将舱内的水抽完,已知甲机抽水量是乙机的
问甲、乙两机每分钟各抽水多少桶?
6.一批材料,原计划用6辆汽车12次运完,为了提前完成任务,再增加3辆汽车,问几次可以运完?
7.修一条路,原计划每天修75米,20天修完,实际每天计划多修
问可以提前几天修完?
(二)总工作量看成“1”的问题
1.一项工程,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要15天完成,两人合作4天后,剩下的部分由乙单独做,需要几天完成?
2.某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天。
如先由甲队做4天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五?
3.有一个水池,用两个水管注水。
如果单开甲管,2小时30分注满水池,如果单开乙管,5小时注满水池。
①如果甲、乙两管先同时注水20分钟,然后由乙单独注水。
问还需要多少时间才能把水池注满?
②假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管3小时可以把一满池水放完。
如果三管同时开放,多少小时才能把一空池注满水?
4.一件工作,甲单独做20个小时完成,乙单独做12小时完成,现在先由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做。
剩下的部分需要几小时完成?
5.一件工作,甲单独做20个小时完成,乙单独做12小时完成,现在先由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做。
剩下的部分需要几小时完成?
6.某工作由甲、乙两队单独做分别需要3小时、5小时,求两人合做这项工作的80%需要几小时?
7.一项工程,甲队单独施工15天完成,乙队单独施工9天完成,现在由甲队先工作3天,剩下的由甲、乙两队合作,还需几天可以完成?
8.甲,乙两工程队,单独铺设一段管道分别需要20天、25天。
现由甲队铺设5天,余下的部分两队合作,还需多少天铺好?
9.修筑一条公路,甲工程队单独承包要80天完成,乙工程队单独承包要120天完成,现在由两个工程队合作承包,如果甲、乙两工程队合作了30天后,因甲工作队另有任务,剩下工作由乙工作队完成,则修好这条公路共需要几天?
10.修筑一条公路,甲工程队单独承包要80天完成,乙工程队单独承包要120天完成,现在由两个工程队合作承包,几天可以完成?
11.一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做10天完成,现在由乙先独做几天后,剩下的部分由甲独做,先后共话12天完成,问乙做了几天?
12.甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的
问甲、乙两队单独做,各需多少天?
13.某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:
再用几小时可全部完成任务?
14.某学校开展一次建校劳动,若单独让初一学生完成需6小时,若单独让初二学生完成需4小时.现让初一、初二学生一起先干2小时,其余让初二学生完成,还需多少时间可全部完成任务?
15.一水池有一个进水管,5小时可以注满空池,池底有一个出水管,8小时可以放完满池的水.如果两水管同时打开,那么经过几小时可把空水池灌满?
16.整理一批图书,由一个从做要40小时完成。
现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一一起做8小时,完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同,具体应先安排工人工作?
17.某中学的学生自己动手整修操场,如果让初一学生单独工作,需要7.5小时完成;如果让初二学生单独工作,需要5小时完成。
如果让初一、初二学生一起工作1小时,再由初二学生单独完成剩余部分,共需几小时完成?
18.整理一批数据,由一个人做需80小时完成任务。
现在计划由一些人先做2小时,再增加5人做8小时,完成任务这项工作的3/4。
怎样安排参与整理数据的具体人数?
19.一项工程甲单独做需要10天,乙需要12天,丙单独做需要15天,甲、丙先做3天后,甲因事离去,乙参与工作,问还需几天完成?
四、利润问题:
(1)售价、进价、利润的关系:
商品利润=商品售价—商品进价<==>商品售价=商品利润+商品进价
进价、利润、利润率的关系:
利润=进价×利润率
商品售价=商品进价×(1+利润率)
(2)标价、折扣数、商品售价关系:
商品售价=标价×折扣数
例1.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
分析:
探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8