勒让德函数母函数及其在静电场中的应用.docx
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勒让德函数母函数及其在静电场中的应用
勒让德函数母函数及其在静电场中的应用
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用
指导教师：
娄宁二000级物理
（1）班：
洪世松
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用
一.勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法1.勒让德多项式的母函数引入的必要性⑴.勒让德多项式的由来
通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件x=±1（θ=0,π）时求解拉普拉斯方程∇2ψ=0时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑：
其一是所研究的问题不具有对称性。
拉普拉斯方程∇2U=0在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：
Θ=1-x2
（）
m/2
Pl[m]（cosθ）=Plm（cosθ），其中m
＝0、1、2、3，…，l。
式中当m＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式Pl（cosθ）。
其二是所研究的问题具有轴对称性。
其解的形式为勒让德多项式的形式，即
Pl（cosθ）＝∑（-1）
k=0
l/2
k
（2l-2k）!
l⎡l⎤l-2k
x，其中表示的是不超过的最大整数，⎢22lk!
l-k!
l-2k!
2⎣⎦
即：
⎡l⎤
⎢2⎥＝⎣⎦
r的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：
ψ==0,1,2,……。
由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。
从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。
⑵.对所研究问题的对称性的讨论
以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）
Bl⎫⎛l
Ar+⎪，其中l
∑ll+1
r⎭l=0⎝
∞
的要求。
在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：
B⎫⎛
ψ=∑Alrl+l+l1⎪Pl（coθs）。
r⎭l=0⎝
∞
其对称轴为z轴，产生这种轴对称的场势分布、场源分布以及场的分布均可用变量（r,θ）来描述。
但如果所研究的问题涉及到的场源不止一个，这时虽然还可以通过坐标系的适当选择，使所研究的问题具有轴对称性，但勒让德多项式的这种简捷的表述形式却已不再适用。
如在图一中，导体球外有一点电荷Q
示。
这时A点的电势既有匀强场产生的又有点电荷产生的场，是两者的叠加，而匀强场产生的电势我们依然可由轴对称的情况来写出：
B⎫⎛
ψ=∑Alrl+l+l1⎪Pl（cosθ）；而点电荷在A点产
r⎭l=0⎝
∞
生的电势表述可简单的表为：
ψ*=
Q4πεr'
＝
Q11
⋅＝'224πε4πεrr-2racosθ+a
Q
⋅
这样对于同一问题的研究中就有两种不同的表述，从而使对问题的深入研究带来不便，因此有必要引入新的表述，将两者统一起来，在这种情况下我们引进了勒让德多项式的母函数。
2.勒让德多项式的母函数引入的科学方法
在勒让德多项式的母函数的引入的过程中，我采用了类比的方法，在引入单位球的基础上得出半径为1的单位球的勒让德多项式的母函数的基本形式，在基础上得出半径为r的勒让德多项式的一般形式。
在确定常数时取角度θ＝0时的特殊情况，进而得出一般情况下的常数a、b。
在电动力学中，我们为了求解含自由电荷的静电场中电势问题的时候，经常引用勒让德多项式的母函数来将求解的问题进行分解，从而使问题简单化便于问题的解决。
那么何为勒让德多项式的母函数？
它在求解静电场中的电势问题中究竟有何应用？
二.勒让德多项式的母函数的介绍：
设在单位球北极置一个带电量为4πε0的电荷（如图三）,则在球内任一点M（r,θ,ϕ）上的电势为：
ψ=
Q4πεr
=
4πε11
==
24πεdd+2rcosθ+r
由于所述问题具有轴对称性，故可将上式写成：
∞
B⎫1⎛
ψ==∑Alrl+l+l1⎪Pl（cosθ）
dl=0⎝r⎭
1.在球内（r
∞11
=∑AlrlPl（cosθ）∴=
d-2rcosθ+r2l=0
确定Al的值：
令θ＝0，则cosθ=1,Pl（cosθ）=1
∞11∴==∑Alrl①d1-rl=0
而将
1
在r=0的领域上展开为泰勒级数为：
1-r
∞
12l
=1+r+r++r+=∑rl②1-rl=0
将①、②两式相比较可知：
Al=1
∞
11
=∑rlPl（cosθ）（r
d-2rcosθ+r2l=0
2.在球外（r>1）的情况（如图四所示），同理可知：
∞
B⎫11⎛
ψ===∑Alrl+l+l1⎪Pl（cosθ）
dr⎭-2rcosθ+r2l=0⎝
定常数Al、Bl。
由于在无穷远处，电势ψ定义为0电势，即ψ/r→∞=0,那么有：
ψ/r→∞=0=∑Alrl+
l=0
∞
⎛⎝Bl⎫
⎪Pl（cosθ）∴Al=0rl+1⎭
∞
B11
=∑l+l1Pl（cosθ），同样令θ＝0这样又有
这时，=
d-2rcosθ+r2l=0r
∞∞
B1111∞11
==⋅=∑l=∑l+1=∑l+l1∴Bl=1
l=0rl=0r-2r+r2r-1r1-1rl=0r
r
1
∞
111
=∑l+1l（cosθ）（r>1）⑵∴=
d-2rcosθ+r2l=0r
电势可记为：
Ψ＝
1-2rcosθ+r
2
＝
我们将上式称为勒让德多项式的母函数（生成函数）。
当然，我们在解决实际问题的时候，很少能遇到单位球的情况。
那么置于静电场中、半径为R球体内外的电势的求解中又是如何借助勒让德多项式的母函数?
或者勒让德多项式的母函数在半径为R的球体内R＝1带入，则（3）可变为：
1
R-2Rrcosθ+r
2
2
=上面我们介绍了勒让德多项式的母函数在单位球、半径为R的球内外静电场电势的求解中的两种具体的表达形式，下面我们通过具体的一个实例来看看该多项式在电动力学中求解问题的一个具体的应用：
三.勒让德多项式母函数的实际应用
在郭硕鸿先生主编的《电动力学》第二章P95有一问题：
半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质ε，导体球接地，离球心为a处（a>R0）置一点电荷Qf，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与镜像法结果相同。
1.首先建立物理图景：
分析：
空间各点的电势有两部分叠加而成：
一部分是自由电荷Qf在空间形成的场，另一部分是由于自由电荷而引起的感应电荷在空间形成的场，空
间各点的电势都是由两部分的叠加。
同时，由于导体球接地，因此对于导体球来说，它本身是一个等势体，电势ψ＝0。
所以求解空间各点的电势实际上只要求解球体（R>R0）的情况。
2.建立求解的方程
建立如图五所示的直角坐标系，使求解的问题具有轴对称性。
由于在求解的空间有
Qf
自由电荷Qf的存在，所以可以列出方程：
∇ψ=-R-a①
2
ε
（）
由于我们定义在无穷远处为零电势点，而在R=R0处，由于导体球接地，故在球体的表面的电势应为零电势。
所以我们可以根据上述分行列出求解空间的边界条件为：
3.在求解方程①时，我们利用分离变量的方法，由于在球外是点电荷和感应电荷叠加的场，所以我们可利用将ψ
分解成两部分：
一部分是自由电荷的场，另一部分是感应电荷的场，只要将两部分场求完后叠加即为所求解的场。
故我们可令ψ＝
ψ1＋ψ*④其中ψ*为特解，是自由电荷所产生的场。
由于ψ*是自由电荷Qf在球外点M处产生的电势，∴ψ*=
Qf4πεr
。
⑤
因此球外任一点的电势ψ＝ψ1＋
Qf4πεrQf
，原方程①可化为：
∇2ψ1=0⑥
Qf11
⋅⋅＝④式我们可将其变为：
ψ=＝。
由
224πε4πεr4πεrR-2Racosθ+a
*
Qf
前面介绍的勒让德多项式的母函数可知，上式可分解成球内和球外两部分，具体的形式
∞Qf⎡∞Rl⎤为：
al
（）（）ψ=Pcosθ+Pcosθ∑l⎢∑⎥l+1l
4πε⎣l=0al+1l=0R⎦*
⑦
Rll
（cosθ）表示在R
4πεl=0a
∞
Qf
al
场的电势，而∑Pl（cosθ）表示在R>a的范围自由电荷Qf产生的电场的电势。
4πεl=0Rl+1
∞
Qf
在∇2ψ1=0中，其是一个泊松方程，由其的对称性可知，该方程的通解为：
Bl⎫⎛
ψ1=∑AlRl+l+⎪Pl（cosθ），将该式和⑦代入④式中，我们就可以得出整个求解空1
R⎭l=0⎝
∞
间的电势：
ψ＝ψ
＋ψ
*
1
QfBl⎫⎛l
＝ψ1=∑AlR+l+1⎪Pl（cosθ）＋
4πεR⎭l=0⎝
∞Rl
P（cosθ）＋∑l+1l
l=0a
∞
al
∑Pl（cosθ）。
⑧4πεl=0Rl+1
∞
Qf
为了求解ψ，我们必须定出常数Al,Bl.当R→∞时，此时将R>a的情况代入，即：
ψ/R→∞
Qf⎡∞⎛Bl⎫l
=0=⎢∑AlR+l+1⎪Pl（cosθ）+
4πεR⎭⎣l=0⎝
∞
∞
⎤al
P（cosθ）⎥/R→∞=∑AlRlPl（cosθ）∑l+1l
l=0Rl=0⎦∞
∞
Blal
∴Al=0ψ=∑l+1Pl（cosθ）+∑l+1l（cosθ）（R>a）⑨
l=0Rl=0R
定常数Bl,当R=R0时，此时将R
Qf∞Rl⎡∞Bl⎤
（）ψ/R=R0=0=⎢∑l+1Pl（cosθ）+Pcosθ/∑⎥R==R0l+1l
4πεRal=0⎣l=0⎦l∞Qf∞R0Bl
=∑l+1Pl（cosθ）+P（cosθ）=0∑l+1l
4πεl=0al=0R0
l∞Qf∞R0Bl
∴∑l+1Pl（cosθ）=-P（cosθ）∑l+1l
4πεl=0al=0R0
l
QfR0Bl
⋅l+1比较Pl（cosθ）两边的系数，我们就可以定出常数Bl。
l+1=-
4πεaR0
2l+1
R0
⋅l+1由上面定出的常数Al、Bl，就可以完整的写出在整个空间的电∴Bl=-
4πεa
Qf
势的表达式：
2l+1
QfR01
（）ψ=-⋅Pcosθ+∑l
4πεl=0al+1Rl+14πε
∞
Qf
⎛Rlal⎫
∑al+1+Rl+1⎪⎪Pl（cosθ）l=0⎝⎭
∞
Qf⎛R02⎫11
⎪（）⋅⋅Pcosθ+⋅a⎪Rn+1l
4πεR2-2Racosθ+a2⎝⎭
10QfR0Qf○11
=-⋅⋅+
224πεa4πεR2-2Racosθ+a2
RR0⎛R02⎫2
a⎪⎪-2acosθ+R⎝⎭R0
=-∑4πεl=0a
∞
Qf
n
总结：
我们在求解上面的问题的时候，采用了分离变量的方法，将自由电荷和感应电荷产生的电场分开，分别求出相应的电势进行叠加，进而得出在整个空间的电势的分布情况。
在求解的过程中，我们借用了勒让德多项式的母函数，将求解的问题分球内、球外两部分来求解，使问题全面化、具体化，便于问题的求解。
当然借用勒让德多项式的母函数来求解问题，它的的结果是否正确，我们下面可以用另一种方法――镜像法来验证。
4.用镜像法验证
假设可以用球内一个假想电荷Q’来代替球面上的感应电荷对空间电场的作用。
由对称性可知，Q’应在OQf的连线上。
由于导体球接地，导体球自身是一个等势体，且电势ψ＝0。
那么球的表面的电势也因为0。
所以像电荷Q’的位置和大小的选择必须要使球面上的电势ψ＝0。
为考虑球面上任一点P（图六（a））的电势为0，则必须使自由电荷Qf和像电荷Q’在球面上的电势的叠加为0，即：
Qfr
+
Q'
=0r'
Qfr
式中r为Qf到P的距离，r’为Q’到P的距离。
因此球面上任一点，应有=-'，
r'Q
或Q'=-
r'
Qf。
在图四六（a）中，不难看出，若P选择得当，可使△OPQ’∽△OQfP，则：
r
R0R02br'R0
=。
另设Q’距球心O的距离为b,两三角形相似的条件为或b=。
○11=
Rbara0
所以Q'=-
Rr'
12（○11、○12式中确定了像电荷的大小和位置）Qf=-0Qf○
ra
由自由电荷Qf和像电荷Q’激发的总电场能够满足在导体球面上的电势ψ＝0的边界条
件，因此是空间中的电场的正确解答。
故球外任一点P（图六（b））的电势可写为：
1⎡QfR0Qf⎤ψ=-⎢⎥
4πε⎣rar'⎦
QfR0Qf/a1⎡
=-⎢
4πε⎣R2+a2-2RacosθR2+b2-2Rbcosθ
将○11式代入○13中可得最后结果：
⎤
⎥⎦
○13
ψ=
14πε
⋅
Qf
R-2Racosθ+a
2
2
-
14πε
⋅
QfR0
a
⋅
2
1
⎛R02⎫R02
⎪R-2Rcosθ+⎪a⎝a⎭
2
和用分离变量法求解的结果完全相同。
当然，在求解有自由电荷的静电场中的电势问题的时候，并非只有导体接地的一种情况，但别的情况在利用分离变量的方法求解时，都可以使用勒让德多项式的母函数来分解求解区域，使求解的区域内外都具有统一的形式，进而使求解的问题简单化。
在求解的过程中使用的方法基本相同，本文在此就不在多介绍了。
总之，勒让德多项式的母函数在求解静电场中电势问题的时候为我们提供了一种方法。
参考文献：
⑴.《数学物理方法》第三版梁昆淼主编高等教育出版社⑵.《电动力学》第二版郭硕鸿高等教育出版社⑶.《高等数学》第二版四川大学数学系
高等教育出版社
教研室编
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