人教版七年级数学下册第五章 相交线与平行线教学设计1.docx
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人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线教学设计1
第五章复习一(5.1)姓名:
一、填空:
1有并且两边的两个角是对顶角;有并且的两个角是邻补角。
2、对顶角的性质:
对顶角.
〔1〕下列说法正确的是〔〕
A、相等的角是对顶角B、一个角的邻补角只有一个
C、补角即为邻补角D、对顶角的平分线在一条直线上
3、垂直和垂线:
当两条直线相交所成的四个角中时,这两条直线互相垂直,其中的叫做的垂线。
〔2〕题[3]题〔4〕题
〔2〕如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,且∠3=260,则∠1=.
4、垂直的性质:
(1)经过一点有且只有与垂直;
(2)垂线段。
〔3〕如图,三角形ABC是直角三角形,∠C=900,其中最长的线段
是.
5、点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的,叫做点到直线的距离。
〔4〕如图,线段的长度表示点D到直线BC的距离,线段的长度表示点B到直线CD的距离,线段的长度表示点A、B之间的距离。
二、例题导引
2如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,MN分别是位于公路AB两侧的村庄。
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置;
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一个位置到村庄M、N的路程之和最短?
请在图中标出这个位置。
例3如图,直线AB、CD相交于点0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,
∠EOF=1180,求∠COA的度数。
三、2、如图所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=.
2题3题
3、如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_____.
4、如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE平分∠BOD,则∠EOD=________.
4题5题
5、如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为〔〕
A.62°B.118°C.72°D.59°
6、如图所示,下列说法不正确的是〔〕毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
6题7题11题
7、如图,已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,则∠AOD
=度。
8、如图所示,村庄A要从河流l引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
9、如图所示,如果OA⊥OC,O是垂足,OB是一条射线,且∠AOB︰∠AOC=2︰3,求∠BOC的度数。
10、点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为〔〕
A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm
11、如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a,BC=b,则BD的范围是〔〕
A.大于aB.小于b
C.大于a或小于bD.大于b且小于a
12、如图,过钝角顶点B作AB、BC、CA的垂线,分别交于AC于D、E、F,并指出所画三条垂线的垂足。
13、如图,MN⊥AB,垂足为M,MC平分∠AMD,∠BMD=440,求∠CMN的度数。
14、OC把∠AOB分成两部分且有下面两个等式成立:
①∠AOC=1/3直角+1/3∠BOC;②∠BOC=1/3平角-1/3∠AOC.
问:
(1)OA与OB的位置关系怎样?
(2)OC是否为∠AOB的平分线?
并写出判断的理由。
5.2.1平行线
〔教学目标〕1、了解平行线的概念,理解同一平面内两条直线间的位置关系;2、掌握平行公理及平行线的画法。
〔重点难点〕重点:
平行线的概念、画法及平行公理;
难点:
理解平行线的概念和根据几何语言画出图形。
〔教学过程〕
一、情景导入
我们知道两条直线相交只有一个交点,除相交外,两条直线还存在其它的位置关系吗?
看下面的图片:
〔投影1〕
双杆上面的两根横杆、支撑横杆的直干它们所在的直线相交吗?
游泳池中分隔泳道的线它们所在的直线相交吗?
屏风的折处和边所在的直线相交吗?
今天我们就来讨论这样的问题。
二、平行线
演示:
分别将木条a、b与木条c钉在一起,,并把它们想象成三条直线。
转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交。
想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢?
有,这时直线a与直线b左右两旁都没有交点。
同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
直线AB与直线CD平行,记作“AB∥CD”.
注意:
①“同一平面内”是前提,以后我们会知道,在空间即使不相交,可能也不平行;②平行线是“两条直线”的位置关系,两条线段或两条射线平行,就是指它们所在的直线平行;③“不相交”就是说两条直线没有公共点。
归纳一下,在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
动手画一画。
相交和平行两种。
注意:
这里所指的两条直线是指不重合的直线。
三、平行公理
再来看上面的实验,想象一下,在转动木条a的过程中,有几个位置能使a与b平行?
有且只有一个位置使a与b平行.
如图,过点B画直线a的平行线,能画几条?
试试看。
只能画一条。
从实验和作图,我们可以得到怎样的事实?
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
这一基本事实是人们在长期的实践中总结出来的结论,我们称它为公理,这个结论叫做平行公理。
在上图中,过点C画直线a的平行线,它与过点B画的的平行线平行吗?
试试看。
过点C画的直线a的平行线与过点B画的直线a的平行线相互平行。
这说是说,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
符号语言:
∵b∥a,c∥a∴b∥c.
如果b与c不平行,那么经过直线外一点就有两条直线与已知直线平行,所以上面的结论是平行公理的推论。
四、课堂练习
〔投影2〕1、判断下列说法是否正确?
(1)在同一平面内,两条线段不相交就平行;
(2)在同一平面内,平行于直线AB的直线只有一条。
(3)如果几条直线都和同一条直线平行,那么这几条直线都互相平行。
2、课本13面练习.
五、课堂小结
1、什么是平行线?
“平行”用什么表示?
2、平面内两条直线的位置关系有哪些?
3、平行公理及推论是什么?
作业:
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
〔教学目标〕1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念;2、会识别同位角、内错角、同旁内角.
〔重点难点〕重点:
同位角、内错角、同旁内角的概念与识别;
难点:
识别同位角、内错角、同旁内角。
〔教学过程〕
一、导入新课
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形,接下来,我们进一步研究一条直线分别与两条直线相交的情形。
二、同位角、内错角、同旁内角
如图,直线a、b与直线c相交,或者说,两条直线a、b被第三条直线c所截,得到八个角。
我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。
∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系?
在截线的同旁,被截直线的同方向(同上或同下).
具有这种位置关系的两个角叫做同位角。
同位角形如字母“F”。
∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点?
在截线的两旁,被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做内错角.
内错角形如字母“N”。
∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点?
在截线的同旁,被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.
同旁内角形如字符“匚”。
思考:
这三类角有什么相同的地方?
(1)都不相邻即不存在共公顶点;
(2)有一边在同一条直线(截线)上。
三、例题
例如图,直线DE,BC被直线AB所截,
(1)∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角?
为什么?
(2)如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相等吗?
∠1与∠3互补吗?
为什么?
解:
(1)∠1与∠2是内错角,因为∠1与∠2在直线DE,BC之间,在截线AB的两旁;∠1与∠3是同旁内角,因为∠1与∠3在直线DE,BC之间,在截线AB的同旁;∠1与∠4是同位角,因为∠1与∠4在直线DE,BC的同方向,在截线AB的同方向。
(2)如果∠1=∠4,又因为∠2=∠4,所以∠1=∠2;因为∠3+∠4=1800,又∠1=∠4,所以∠1+∠3=1800,即∠1与∠3互补。
四、课堂练习
1、课本7练习1;
2、[投影2]指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角;
3、课本7练习2。
作业:
5.2.2平行线的判定
(一)
〔教学目标〕经历探索两直线平行条件的过程,理解两直线平行的条件.
〔重点难点〕重点:
探索两直线平行的条件;
难点:
理解“同位角相等,两条直线平行”。
〔教学过程〕
一、情景导入.
〔投影1〕如图1,装修工人正在向墙上钉木条,如果木条b与墙壁边缘垂直,那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时,才能使木条a与木条b平行?
图1图2
要解决这个问题,就要弄清楚平行的判定。
二、直线平行的条件
以前我们学过用直尺和三角尺画平行线,如图(课本13面图5.2-5)在三角板移动的过程中,什么没有变?
三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。
简化图5.2-5,得图3.
图3
∠1与∠2是三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置,显然∠1与∠2是同位角并且它们相等,由此我们可以知道什么?
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:
同位角相等,两条直线平行.
符号语言:
∵∠1=∠2∴AB∥CD.
如图(课本14面5.2-7),你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗?
用角尺画平行线,实际上是画出了两个直角,根据“同位角相等,两条直线平行.”,可知这样画出的就是平行线。
〔投影2〕如图,
(1)如果∠2=∠3,能得出a∥b吗?
(2)如果∠2+∠4=1800,能得出a∥b吗?
(1)∵∠2=∠3(已知)∠3=∠1(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴a∥b(同位角相等,两条直线平行)
你能用文字语言概括上面的结论吗?
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:
内错角相等,两直线平行.
符号语言:
∵∠2=∠3∴a∥b.
(2)∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°(已知)
∴∠2=∠1(同角的补角相等)
∴a∥b.(同位角相等,两条直线平行)
你能用文字语言概括上面的结论吗?
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说:
同旁内角互补,两直线平行.
符号语言:
∵∠4+∠2=180°∴a∥b.
四、课堂练习
1、课本15练习1,补充(3)由∠A+∠ABC=1800可以判断哪两条直线平行?
依据是什么?
2、课本162题。
五、课堂小结
怎样判断两条直线平行?
作业:
5.2.2平行线的判定
(二)
〔教学目标〕1、掌握直线平行的条件,并能解决一些简单的问题;2、初步了解推理论证的方法,会正确的书写简单的推理过程。
〔重点难点〕重点:
直线平行的条件及运用;
难点:
会正确的书写简单的推理过程。
〔教学过程〕
一、复习导入
我们学习过哪些判断两直线平行的方法?
〔投影1〕
(1)平行线的定义:
在同一平面内不相交的两条直线平行。
(2)平行公理的推论:
如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行。
(3)两直线平行的条件:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
二、例题
〔投影2〕例在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
为什么?
答:
这两条直线平行。
∵b⊥ac⊥a(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直的定义)
∴b∥c(同位角相等,两直线平行)
你还能用其它方法说明b∥c吗?
方法一:
如图
(1),利用“内错角相等,两直线平行”说明;方法二:
如图
(2),利用“同旁内角相等,两直线平行”说明.
(1)
(2)
注意:
本例也是一个有用的结论。
例2〔投影3〕如图,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠DBE=∠A,则BE∥AC,请说明理由。
分析:
由BE平分∠ABD我们可以知道什么?
联系∠DBE=∠A,我们又可以知道什么?
由此能得出BE∥AC吗?
为什么?
解:
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE(角平分线的定义)
又∠DBE=∠A
∴∠ABE=∠A(等量代换)
∴BE∥AC(内错角相等,两直线平行)
注意:
用符号语言书写证明过程时,要步步有据。
四、课堂练习
〔投影2〕1、如图,∠1=∠2=55°,试说明直线AB,CD平行?
.
1题2题
2、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?
为什么?
作业:
课本17面7,18面12题(提示:
画图说明)。
补充题:
如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.
第五章复习二(5.2)
一、双基回顾
1、平行线:
在同一平面内,的两条直线叫做平行线。
2、两条直线的位置关系:
.
〔注〕这里指不重合的两条直线,两条直线重合视为一条直线。
[1]判断正误并改错:
①两条直线不相交就平行,不平行就相交;
②在同一平面内,两条线段不相交就平行;
③两条直线的位置关系有:
相交、垂直、平行.
3、平行公理:
经过直线有且只有与这条直线平行。
推论:
如果两条直线都和平行,那么这两条直线。
4、同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条直线所截,在截线的,被截直线的的两个角叫做同位角;在截线的,被截直线的两个角叫做内错角;在截线的,被截直线的两个角叫做同旁内角。
[2]指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
5、平行线的判定
(1),两直线平行;
(2),两直线平行;
(3),两直线平行.
[3]如图,判断DE∥AC的条件有哪些?
依据是什么?
二、例题导引
例1如图,下列推理中正确的有〔〕
1因为∠1=∠2,所以BC∥AD;
2因为∠2=∠3,所以AB∥CD;
3因为∠BCD+∠ADC=1800,所以BC∥AD;
④因为∠BCD+∠ADC=1800,所以BC∥AD.
A、1个B、2个
C、3个D、4个
例2如图,BE平分∠ABC,∠1=∠2,你能推断哪两条线段平行?
说明理由。
例3如图,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=∠2,AE与BF平行吗?
为什么?
三、练习提高
夯实基础
1、下列说法正确的有〔〕
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,不相交的两条线段平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是〔〕毛
A.平行或相交B.垂直或相交C.垂直或平行D.平行、垂直或相交
3、如图,点E在CD上,点F在BA上,G是AD延长线上一点.
(1)若∠A=∠1,则可判断_______∥_______,因为________.
(2)若∠1=∠_________,则可判断AG∥BC,因为_________.
(3)若∠2+∠________=180°,则可判断CD∥AB,因为____________.
3题
4、如图,光线AB、CD被一个平面镜反射,此时∠1=∠3,∠2=∠4,那么AB和CD的位置关系是,BE和DF的位置关系是.
4题5题
5、如图,一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行,若一个拐角∠ABC=72°,则另一个拐角∠BCD=_______时,这个管道符合要求.
6、不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互〔〕
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交
7、如图,AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.说理如下:
∵∠ECD=∠E()
∴CD∥EF()
又AB∥EF()
∴CD∥AB().
8、根据下列要求画图.
(1)如图
(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图
(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;
(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.
(1)
(2)(3)
9、如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
10、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?
为什么?
10题11题13题
能力提高
11、如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是〔〕毛
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
12、在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.
13、如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为()
A.①②B.①③C.①④D.③④
14、在同一平面内的三条直线,若其中有且只有两条直线互相平行,则它们交点的个数是〔〕
A、0个B、1个C、2个D、3个
17、已知,如图,点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?
试用两种方法说明理由.
18、如图所示,已知AB、CD被EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,且∠1+∠2=900,试说明AB∥CD.
探索创新
19、如图,当∠BEF=∠B,∠BED=∠B+∠D时,AB与CD有什么位置关系,试说明理由。
5.3.1平行线的性质
[教学目标]经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的性质,并能用它们进行简单的推理和计算.
[重点难点]重点:
直线平行的性质;
难点:
区别平行线的性质和判定,综合运用平行线的性质和判定。
[教学过程]
一、复习导入
怎样判定两条直线平行?
这就是说,利用同位角、内错角和同旁内角可以判定两条直线平行,反过来,两条直线平行,同位角、内错角和同旁内角各有什么关系呢?
二、平行线的性质
利有练习本上的横线画两条平行线a∥b,然后画一条直线c与这两条直线相交,标出所形成的八个角,如图。
度量这些角的度数,把结果填入表内:
角
∠1
∠2
∠3
∠4
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
哪些角是同位角?
它们具有怎样的数量关系?
哪些角是内错角?
它们具有怎样的数量关系?
哪些角是同旁内角?
它们具有怎样的数量关系?
再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,这种数量关系还成立吗?
那么由此你得到怎样的事实:
1、平行线被第三条直线所截,同位角相等,简单说成:
两直线平行,同位角相等.
2、平行线被第三条直线所截,内错角相等,简单说成:
两直线平行,内错相等.
3、平行线被第三条线所截,同旁内角互补,简单说成:
两直线平行,同旁内角互补.
思考:
平行线的性质与平行线的判定有什么关系?
由角的数量关系得出两条直线平行是“判定”,由两条直线平行得出角的数量关系是“性质”,因此,两者的条件和结论正好互换。
你能根据性质1,推出性质2吗?
如上图,∵a∥b∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
又∠3=∠1(对顶角相等)∴∠2=∠3.
对于性质3,你能写出类似的推理过程吗?
三、例题
如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠D=100°,∠C=115°,梯形另外两个角分别是多少度?
分析:
梯形有什么特征?
∠A与∠D、∠B与∠C有什么关系?
解:
∵AB∥CD∴∠A+∠D=1800,∠B+∠C=1800
∴∠A=1800-∠D=1800-1000=800
∠B=1800-∠C=1800-1150=650
答:
梯形的另外两个角分别是800,650。
四、课堂练习
课本21面练习1、2。
五、课堂小结
这节课我们学习了平行线的性质,要注意平行线的性质与平行线的判定的区别与联系,以便我们能准确地运用。
作业:
5.3.2命题、定理
[教学目标]1、了解命题、定理、证明的含义,会区分命题的题设和结论。
[重点难点]重点:
命题及组成;
难点:
区分命题的题设和结论。
[教学过程]
一、情景导入
我们平常说的话细究起来是有区别的,例如,“你吃饭了吗?
”与“今天天气不好”就有区别,前一句表示疑问,没有作出判断,后一句作出了判断。
数学中象这类对某件事情作出判断的语句还很多,值得我们研究。
二、命题
再来看几个句子:
[投影1]
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③相等的角是对顶角;
④如果两条直线不平行,那么内错角不相等;
⑤同位角相等。
这些语句都对某一件事情作出了“是”或“不是”的判断,象这样判断一件事情的语句,叫做命题。
思考:
[投影2]下列语句是命题吗?
为什么?
1蓝蓝的天空白云飘;②这不是坑人吗?
③画AB∥CD。
不是命题。
因为它们只是对某件事情进行了陈述,表达了疑问,并没有作出判断。
二、命题的构成
命题由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后面的部分是题设,“那么”后面的部分是结论。
例如,上面命题①中,“两条直线都与第三条直线平行”是已知事项,是题设,“这两条直线也互相平行”是由已知事项推出的事项,是结论。
有些命题的题设和结论不明显,怎样才能找出题设和结论呢?
我们可以将它们改写成“如果……那么……”的形式。
例如,上面命题⑤可改写成:
如果两个角是同位角,那么这两个角相等。
请你把上面的命题②、③改写成“如果……那么……”的形式,并指出它的题设和结论。
三、命题的真假
上面的命题中有正确的,也有错误的,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题,如果是真命题,题设成立,那么结论一定成立,如果是假命题,题设成立,不一定能保证结论成立。
要确定一个命题是真命题,必须通过推理证实,推理的过程叫做证明,通过证明是真的命题叫做定理,定理是推理的依据;要确定一个命题是假命题,只需举一个反例即可。
探究:
[投影3]下面的命题是真命题,还是假命题?
1、锐角小于它的余角;
2、若a2>b2