正态分布习题版.docx

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正态分布习题版

正态分布（共62道题）

1．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N（80，σ2）（σ＞0），若ξ在（70，90）内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（　　）

A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2

2．设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（　　）

（注：

若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）

A．7539B．6038C．7028D．6587

3．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（102，42），则114分以上的成绩所占的百分比为（　　）

（附P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）

A．0.3%B．0.23%C．1.3%D．0.13%

4．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的

，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为（　　）

A．120B．160C．200D．240

5．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（　　）

A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975

6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）＝1，则μ＝（　　）

A．﹣4B．4C．﹣2D．2

7．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x）＝

，则下列命题中不正确的是（　　）

A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D．该市这次考试的数学成绩标准差为10

27．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝　　．

28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：

小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．

29．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单位：

kg）服从正态分布N（25，0.04），任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为　　．（附：

若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.6826，P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）

30．设随机变量ξ服从正态分布N（1，2），若p（ξ＜2a﹣3）＝p（ξ＞3a+2），则a的值为　　．

31．按照国家规定，某种大米每袋质量（单位：

kg）必须服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分到的大米质量在9.9kg以下的职工人数大约为　　．

32．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于　　．

33．某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：

小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．

34．已知随机变量服从正态分布X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（a＜X＜4﹣a）＝　　．

35．某种袋装大米的质量X（单位：

kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为　　．

36．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）＝a，P（1＜ξ≤3）＝b，则

+

的最小值是　　．

1．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（﹣1＜ξ＜0）＝p，则P（ξ＞1）＝（　　）

A．

﹣

B．

+

C．

+pD．

﹣p

2．经统计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（　　）

A．0.35B．0.65C．0.7D．0.85

3．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（　　）

A．60B．80C．100D．120

4．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（　　）

A．0.0215B．0.723C．0.215D．0.64

5．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（85，115）内的概率

为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（　　）

A．0.25B．0.1C．0.125D．0.5

6．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则

的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（　　）

A．0.2B．0.1C．0.8D．0.4

8．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的

，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　）

A．150B．200C．300D．400

9．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　）

（附：

X⁓N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545．）

A．906B．2718C．339.75D．3413

10．设随机变量X服从正态分布X～N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则函数f（t）＝t2+4t+X不存在零点的概率是（　　）

A．0.5B．0.3174C．0.1587D．0.6826

11．若随机变量X～N（2，1），且P（X＞1）＝0.8413，则P（X＞3）＝（　　）

A．0.1587B．0.3174C．0.3413D．0.6826

12．若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（　　）

A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3

13．设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m的值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

14．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16．已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．不确定

15．若随机变量X服从分布X～N（2，σ2），且2P（X≥3）＝P（1≤X≤2），则P（X＜3）＝（　　）

A．

B．

C．

D．

16．若随机变量ξ～N（﹣2，4），则ξ在区间（﹣4，﹣2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（　　）

A．（2，4]B．（0，2]C．[﹣2，0）D．（﹣4，4]

17．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞2a+1）＝P（ξ＜2a﹣1），则实数a的值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

18．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝（　　）

A．0.1B．0.2C．0.4D．0.8

19．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.2，则P（2≤ξ＜4）等于（　　）

A．0.3B．0.5C．0.4D．0.6

20．已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（　　）

A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9

21．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）＝P（ξ＞a﹣2），则a＝（　　）

A．﹣2B．2C．4D．6

22．已知随机变量X服从正态分布N（5，σ2），且P（X＜7）＝0.8，则P（3＜X＜5）＝（　　）

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

23．若随机变量X～N（3，1），且P（X＜4）＝0.8413，则P（X＞2）＝（　　）

A．0.1587B．0.3413C．0.6826D．0.8413

24．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2），若ξ在（﹣∞，﹣1）内取值的概率为0.1，则ξ在（0，1）内取值的概率为（　　）

A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1

25．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）＝0.4，则P（X＞8﹣m）＝（　　）

A．0.6B．0.5

C．0.4D．与σ的值有关

26．某工厂生产的零件外直径（单位：

cm）服从正态分布N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为（　　）

A．上午生产情况异常，下午生产情况正常

B．上午生产情况正常，下午生产情况异常

C．上、下午生产情况均正常

D．上、下午生产情况均异常

27．设两个正态分布N1（μ1，σ

）和N2（μ2，

）的密度函数曲线如图所示，则有（　　）

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2

C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

28．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：

辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

29．设随机变量ξ：

N（2，2），则D（

ξ）＝（　　）

A．1B．2C．

D．4

30．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为（　　）

A．20B．10C．14D．21

31．当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）

A．σ1＜σ2＜σ3B．σ1＜σ3＜σ2C．σ2＜σ1＜σ3D．σ3＜σ2＜σ1

32．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1﹣a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（　　）

A．0B．1C．2D．4

33．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）＝　　

34．随机变量X～N（3，σ2），且P（0＜X＜3）＝0.35，则P（X＞6）＝　　．

35．设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝

，则P（0＜X＜1）＝　　．

36．若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）　　．

37．随机变量ξ服从正态分布ξ：

N（μ，σ2），若p（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，则P（ξ＞μ+2）＝　　．

37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．

（1）求这150名高中学生体重的样本平均数

和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）

（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数

，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．

①利用该正态分布，求P（Z＜33.4）；

②某机构从该校高中学生中任取1000名学生，记X表示这1000名学生中体重有严重问题的人数，求EX．

附：

≈12.2，若Z～N（u+δ2），则P（u﹣δ＜Z＜u+δ）＝0.6826，P（u﹣2δ＜Z＜u+2δ）＝0.9544

，P（u﹣3δ＜Z＜u+3δ）＝0.9974．

38．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：

h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．

（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数

和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数

，σ2近似为样本方差s2．

（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；

（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．

附：

≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545

39．甲市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：

全市100000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：

第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（I）根据50名高三男生身高的频率分布直方图，求这50名高三男生身高的中位数的估计值；

（II）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；

（III）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．

参考数据：

若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．

40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）公司规定：

当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．

①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．

附：

≈12.2．

若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．

38．党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会全局出发，把扶贫工作摆在治国理政的突出位置，全面打响脱贫攻坚战，2018年6月《中共中央、国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署，2019年3月，十三届全国人大二次会议召开，3月7日，国务院扶贫办刘永富回答记者问时表示：

“我国脱贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的9899万人减少到2018年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人．并表示：

“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口1000万人以上，再摘帽300个县左右．”

根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果如下频率分布直方图：

（1）求这200户家庭的全年收人的样本平均值

和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数

，σ2近似为样本方差s2．

（i）利用该正态分布，求P（Z＜1.2）；

（ii）若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户的数量，利用（i）的结果求E（X）；

附：

若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954．

39．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．

（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；

（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？

（附：

若随机变量X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.3%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝99.7%）

40．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：

小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数

和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数

，σ2近似为样本方差s2．

（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：

若X～N（μ，σ2），令Y＝

，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤

）．

利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．

（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．

参考数据：

．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．