完整版高等数学期末复习考试之常微分方程部分doc.docx
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第11章常微分方程习题课
一.内容提要
1.基本概念
含有一元未知函数y（x）（即待求函数）的导数或微分的方程,称
为常微分方程;其中出现的y（x）的最高阶导数的阶数称为此微分方
程的阶;使微分方程在区间I上成为恒等式的函数y（x）称为此
微分方程在I上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;
若n阶微分方程的解中含有n个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n个独立的附加条件（称为定解条件）定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为
一个定解问题;当定解条件是初始条件（给出y,y,,y（n1）在同一点
x0处的值）时,称为初值问题.
2.一阶微分方程y
f（x,y）的解法
（1）对于可分离变量方程dy
（x）
（y）,
dx
先分离变量（当
（y）
0
时）得
dy
（x）dx,
ψ（y）
再两边积分即得通解
dy
（x）dxC.
（y）
dy
f
y
x
（2）对于齐次方程dx
作变量代换
y
即y
xu,可将其化为可分离变量的方程
分
x
u
离变量后,积分得
du
dxC再以y
代替u便得到齐次方
f（u）u
x
x
１/19
程的通解.
（3）形如dy
f（
ax
by
c）的方程,
dx
a1x
b1y
c1
①若c,c1均为零,则是齐次方程;
②若c,c1不全为零,则不是齐次方程,但
当a
b
k时,只要作变换v
a1xb1y,即可化为可分离
a1
b1
变量的方程dv
b1
f（kv
c）
a1;
dx
v
c1
当
a
b
时,只要作平移变换
X
x
x0
即
a1
b1
Yy
y0
x
X
x0
（其中（x0,y0）是线性方程组
axby
c
0
的惟一
yYy0
a1xb1yc1
0
解）,便可化为齐次方程
dY
f（aX
bY）.
dX
a1X
b1Y
（4）全微分方程
若方程P（x,y）dx
Q（x,y）dy0之左端是某个二元函数
u
u（x,y）的全微分,则称其为全微分方程,显然u（x,y）
C即为通
解,而原函数u（x,y）可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.
通常用充要条件
P
Q
来判定P（x,y）dxQ（x,y）dy
0是否
yx
为全微分方程.对于某些不是全微分方程的
P（x,y）dxQ（x,y）dy0,可乘上一个函数（,x,y）使之成为全微分
方程
P（x,y）dxQ（x,y）dy0
２/19
（注意到当（x,y）0时P（x,y）dx
Q（x,y）dy
0与原方程同解）,
并称
（,x,y）为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可
通过观察得到.
（5）一阶线性微分方程y
p（x）yQ（x）的通解公式
当Q（x）不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程
;当Q（x）
恒为零,时,即yp（x）y
0称为一阶线性齐次微分方程
这是一个
可分离变量的方程,易知其通解为Y
Ce
p（x）dx
;由此用“常数变易
法”即可得到非齐次微分方程的通解
ye
p（x）dx（C
Q（x）ep（x）dxdx）.
（6）对于Bernoulli方程y
p（x）y
Q（x）yn（n
0,1
）,只需作变换
zy
1
n
即可化为一阶线性方程
dz
（1
n）p（x）z
（1
n）Q（x）.
dx
3.高阶方程的降阶解法
以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:
（1）对于方程y（n）
f（x）,令zy（n
1）化为z
f（x）;在实际求解中,
只要对方程连续积分
n次,即得其通解
y
dx
f（x）dxC1xn
1
Cn1xCn.
n次
（2）对于y
f（x,y）（不显含y）,作变换P
y,则y
P,于是
化一阶方程P
f（x,P）;显然对y（n）
f（x,
y（n1））可作类似处理.
（3）对于y
f（y,y）（不显含x）,作变换P
y
则y
PdP,于是
dy
可化为一阶方程PdP
f（y,P）.
dy
３/19
4.线性微分方程解的结构
（1）线性齐次微分方程解的性质
对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.
（2）线性齐次微分方程解的结构
若y1,y2,,yn是n阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其
通解为
Yc1y1c2y2cnyn.
（3）线性非齐次微分方程解的结构
线性非齐次微分方程的通解y,等于其对应的齐次方程的通解
Y与其自身的一个特解y
之和,即y
Y
y.
（4）线性非齐次微分方程的叠加原理
1
设yk（k
1,2,,m）是方程
y（n）
p1（x）y（n1）
pn1（x）y
pn（x）y
fk（x）
m
的解,则
yk
是方程
k
1
y（n）
p1（x）y（n1）
m
pn1（x）y
pn（x）y
fk（x）
k1
的解.
2
若实变量的复值函数u（x）iv（x）是方程
y（n）
p1（x）y（n1）
pn1（x）y
pn（x）yf1（x）if2（x）
的解,则此解的实部u（x）是方程
y（n）p1（x）y（n1）pn1（x）ypn（x）yf1（x）
的解;虚部v（x）是方程
４/19
y（n）p1（x）y（n1）pn1（x）ypn（x）yf2（x）
的解.
（5）线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系
线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.
5.常系数线性微分方程的解法
（1）求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”
1写出y（n）
p1y（n1）
pn1ypny
0的特征方程
rn
p1rn1
pn1rpn
0，
并求特征根；
2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项（见
下表）
特征根r
为
给出通解中的
单实根
1
项:
Cerx
k重实根
k项:
erx（C1
C2x
Ckxk1）
一对单复根
2
项:
ex（C1cosx
C2sinx）
r1,2
i
一对k重复根
2
k项:
ex[（C1
C2x
Ckxk
1）cos
x
r1,2
i
（D1
D2x
Dkxk
1）sin
x]
（2）下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解
1对于f（x）Pm（x）ex,应设特解
yxkQm（x）exxk（a0xma1xm1am1xam）ex,
其中k等于为特征根的重数（0kn）,a0,a1,L,am是待定系数.
将y代入原方程,可定出a0,a1,L,am,从而求得y.
５/19
2对于f（x）
ex[Pl（x）cos
x
Pssin
x]
（
0）,应设特解
y
xkex[Rm（x）cosx
Tm（x）sin
x],
其中k等于
i
为特征根的重数（0
k
n）,Rm（x）,Tm（x）是
2
待定的mmax{l,s}
次多项式.将y
代原方程,即可定出
Rm（x）,Tm（x）,从而求得y.
或因为f（x）ex[Pl（x）cos
xPs（x）sin
x]
Re
ex（Pl（x）
iPs（x））（cos
x
isinx）
ReQm（x）e（
i）x
（其中Qm（x）
Pl（x）
iPs（x）是m
max{l,s}次的复系数多项式）.
对于方程
y
（n）
1
（n1）
L
p
n1
y
n
y
Qm（x）e（
i）x
py
p
可设其特解
Y
xkZm（x）e（
i）x，
（Zm（x）是m次待定复系数多项式，k等于
i
为特征根的
重数），将Y
xkZm（x）e（
i）x代入方程
y（n）
p1y（n
1）
L
pn
1y
pny
Qm（x）e（
i）x
中，可定出Zm（x），于是Y
xkZm（x）e（
i）x，从而原方程的特解
yReY.
3o特例
当f（x）exPl（x）cosx或f（x）exPl（x）sinx时,设YZl（x）e（i）x,将其代入
y（n）p1y（n1）Lpn1ypnyPl（x）e（i）x,
６/19
求得Y,则原方程的一个特解yReY或yImY.
6.Euler方程的解法
（1）形如
xny（n）p1xn1y（n1）pn1xypnyf（x）
的线性变系数微分方程称为Euler方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.
（2）解法
只需作变换xet,即tlnx,即可将其化为常系数线性微分
方程.
若引入微分算子Dd,则
dt
xyDy,x2yD（D1）y,,xny（n）D（D1）（Dn1）y,
于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.
7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤
（1）在适当的坐标系下,设出未知函数yy（x）,据已知条件写出相关的量;
（2）根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;
（3）提出定解条件;
（4）求定解问题的解;
（5）分析解的性质，用实践检验解的正确性.
７/19
二.课堂练习（除补充题外,均选自复习题12）
1.填空题
22
（1）已知y1ex及y2xex是方程y4xy（4x22）y0的解,
2
则其通解为ex（C1C2x）.
222
解:
因y1ex,y2xex都是解,且线性无关,故ex（C1C2x）是通
解.
（2）设一质量为m的物体,在空气中由静止开始下落.若空气阻力
为
Rk
v
则其下落的距离
s
所满足的微分方程是s
k
s
g,
m
初始条件是
s（0）
0,s（0）0.
解
:
因为F
ma而F
mg
k
v
v
s
a
s
故得方程
O
s（0）
mgk
s
ms
化简得s
k
s
g;
s（t）
m
在如图所示的坐标系下,初始条件为s（0）
0,s（0）0
.
s
（3）微分方程y
2y
y
6xex
的特解y
的形式为
x2（ax
b）ex
.
解:
因为特征方程为r2
2r
1
0,r1
r2
1
而
1是二重特征
根,故应设y
x2（ax
b）ex.
（4）若y1
x2,y2
x2
e2x,y3
x2
e2x
e5x都是线性非齐次微
分方程y
p（x）y
q（x）y
f（x）
的解,则其通解为
C1e2xC2e5xx2.
解:
由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可
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知,Y1y2y1e2x,Y2y3y2e5x都是对应的齐次方程的解,
且线性无关,故对应的齐次方程的通解为
YC1Y1
C2Y2C1e2x
C2e5x;由非齐次方程解的结构得其通解
yYy1
C1e2x
C2e5x
x2.
（5）（补充）已知f（x）满足xf（x）
1
x
2f（t）dt,则f（x）
x2
t
1e2.
0
x
解:
两边对x求导得f（x）
xf
（x）
x2f（x）,整理得
f
（x）
x
1f（x）,
x
x2
lnc,即f（x）
x2
分离变量后积分得lnf（x）
lnx
ce2,x
0;
2
x
x1时
（1）
1
1
t2
1
（e
1
1
1
又当
f
2ce2d
t
c
21）
即ce
2
1ce
2
c
t
t
0
1,所以f（x）
x2
故c
1e2.
x
（6）（补充）设f（x）
有连续导数,且f（0）
1.若曲线积分
L
yf（x）dx
[f（x）
x2]dy与路径无关,则f（x）
3ex
2x
2.
解:
记P
yf（x）,Q
f（x）
x2
.因为积分与路径无关,故有
P
Q
亦即
.它的通解为
y
x,即
f（x）
f（x）2x
f（x）
f（x）
2x
f（x）
dx
dx
c]
ex[
2xexdx
c]
2x
2
cex.
e
[2xe
dx
由f（0）
1
得c
3,于是f（x）
3ex
2x
2.
９/19
（7）（补充）已知y
y（x）在任意点x处的增量y
yx
其中
=o（x），
2
1
x
π
y（0）π,则y
（1）
πe4
.
解：
由题设知，dy
y
.
dx
1x2
分离变量得dy
dx
，积分得lny
arctanxC1,即yCearctanx.
y
1x2
π
由y（0）π得Cπ,故y
（1）πe4.
2.选择题
（1）函数yc1e2xc2（c1,c2为任意常数）是微分方程yy2y0
的
（A）通解.（B）特解.
（C）不是解.（D）解,但不是通解,也不是特解.
答（D）
解:
因为yc1e2xc2ce2x,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.
（2）微分方程y
2y
2sin2
2x,其特解形式为y
（A）A
Bcos4x
Csin4x.
（B）A
Bxcos4x
Cxsin4x.
（C）Ax
Bcos4x
Csin4x.
（D）Ax
Bxcos4x
Cxsin4x.
答（C）
解
:
y2y
2sin2
2x
1cos4x
特解为
y
y1y2.
因为
r
2
2
r
0
r
1
0,r
2
2而
0
是特征方程的单根
故应
设y1Ax;
而i
4i
不是特征方程根,故应设
y2
Bcos4x
Csin4x,因此y
y1y2
Ax
Bcos4xCsin4x.
（3）微分方程（2x
y）dy（5x
4y）dx是
（A）一阶线性齐次方程.（B）一阶线性非齐次方程.
（C）齐次方程.（D）可分离变量方程.
１０/19
答（C）
解:
原方程可化为dy
5x
4y
5
4
y
x.
dx
2x
y
y
2
x
（4）（补充）具有特解y1
ex,y2
2xex,y3
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