完整版历年概率论与数理统计试题分章整理.docx
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完整版历年概率论与数理统计试题分章整理
历年概率论与数理统计试题分章整理
、选择与填空
11级
1、设P（A）0.5，P（AB）=0.2，则P（BA）
1、设代B,C为随机事件，则下列选项中
正确的是
（A）
若P（A）0,则A为不可能事件
（B）
若A与B相互独立，则A与B互不相容
（C）
若A与B互不相容，则P（A）1P（B）
（D）
若P（AB）0,则P（BCA）P（BA）P（CBA）
10级
1.若A,B为两个随机事件，则下列选项中正确的是
（A）
（B）AUB
AUB
（C）
AUB
（D）
AUB
1.某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为
p（0p1），则此人第4次射
击恰好是第2次命中目标的概率为
3p2（1P）2—。
2.在［0,1］中随机取数
在［1,2］中随机取数y，则事件
的概率为
09级
1.10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为
16
45
4
2.在区间0,1中随机地取两个数，则事件｛两数之和大于-｝的概率为—
5
17
25
1.设代B为两个随机事件,
事件
A,B的概率满足01，且有等式
P（AB）=
P（AB）成立，则事件A,B
（A）
互斥
（B）对立
（C）
相互独立
（D）不独立
08级
1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号,
则拨号不超过三次而接通电话的概率
为_B
1
（A）10
（B）
10
（C）
10
1
（D）8
1、在区间［0,L］之间随机地投两点，则两点间距离小于
07级1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，贝U打不开门锁的概率为
25
2、在区间0,1之间随机地取两个数，则事件｛两数的最大值大于-｝发生的概率为—-
、计算与应用
11级
有两个盒子，第一个盒子装有
2个红球1个黑球，第二个盒子装有
2个红球2个黑球，现
从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球
（1）求这个球是红球的概率;
（2）重复上述过程10次，记X表示出现取出的球为红球的次数，求E（X2）
解答：
（1）令事件A
｛取得一个红球｝，事件
Bi
｛从第i个盒子中取得一个红球｝，i1,2，于
P®B2）
P（AB1B2）1
P®B2）
P（AB1B2）
P*）
（AB1B2）
P（ABB2）
由全概率公式有
P（A）P（B1B2）P（ABB2）
P（B1B2）P（ABB2）
P（BB2）P（AB1B2）
12
...4分
（2）X〜B（10,£）E（X）10
12
35
$D（X）10
175
1212
72
22
E（X）D（X）[E（X）]
875
24
.4分
10级
1.已知A,B为两个随机事件,
且P（A）
1
1，P（B）
3
-，P（BA）
5
-，求:
5
（1）P（AB）；
（2）P（AB）；
（3）P[B（A
B）]
解答:
（1）
P（AB）P（A）P（BA）
P（A
B）
P（A）P（B）
P（AB）
10
P（AB）P（A）P（AB）
10
25
方法1:
P[B（A
B）]1
P[B（A
B）]
2：
P[B（AB）]
P[（BA）
（BB）]
P（A
2
5
5
（2）
（3）
1
B）
方法
B）
P（B）
P（AB）
09级
1.设A,B为两个随机事件，且有
P（A）
0.4,P（B）0.4,P（BA）
0.5，计算:
（1）
P（A）；
（2）P（AB）；
（3）PB（AUB）.
解答:
（1）P（A）
1P（A）0.6；
（2）
P（BA）1
P（BA）1
P（AB）
P（A）
0.5
，故P（AB）0.3；
（3）P（B|（AUB））
P（B（AUB））
P（B（AUB））
P（AUB）
P（A）P（B）P（AB）7
08级
1、设代B为两个事件，P（A）0.3，P（B）0.4，P（AB）
（1）P（A）；
（2）P（AB）；（3）PB
（AB）.
解答：
P（A）1P（A）0.7
P（AB）P（A）P（AB）0.70.5
0.2
P（B（AB））P（B（A3）
P（AB）
P（AB）P（A）P（B）P（AB）
0.21
P（B）
3
0.70.6
0.54
0.5，求:
07级
2、设代B,C为三个事件，且PA
PAB
AC
BC
8，求:
（1）
P（CA）;
（2）P（CB）;
（3）
代B,C至少有一个发生的概率
解答:
（1）P（CA）
P（AC）1
P（A）
（2）
P（CB）
P（CB）P（C）P（BC）
P（B）
1P（B）
16
（3）
P{A,B,C至少有一个发生}
P（A
BC）
P（A）P（B）P（C）P（AB）
P（AC）
P（BC）P（ABC）
17
24
、选择与填空
11级
2、设随机变
X服从正态分布N（,
），F（x）为其分布函数
则对任意实数a，有
F（
a）F（
a）
10级
3.设随机变量X与丫相互独立且服从同一分布:
P{Xk}P{Yk}
（k0,1），则概率
P{XY}的值为
08级
2、设相互独立的两个随机变量X，
Y的分布函数分别为Fx（x），F,y），则Zmax（X,Y）的分
布函数是_C
（A）Fz（z）max{Fx（z）,F/z）}
（B）Fz（z）max{FX⑵，Fy（z）}
（C）Fz（z）Fx（z）Fy（z）
（D）Fz（z）Fx（x）Fdy）
3、设随机变量X~N（1,4），Y~N（0,1），且X与丫相互独立，则
（C）
X2Y~N（1,2）
（D）X2Y~N（1,1）
07级
1、已知随机变量X服从参数n2,
1
3的二项分布,
F（x）为X的分布函数，则F（1.5）
1
（A）9
4
（B）9
（C）9
（D）
、计算与应用
11级
1、已知随机变量X的概率密度函数为
f（x）
、•-1
1,
0,
1.
求：
（1）X的分布函数
F（x）；
（2）概率P
解答:
（1）F（x）P{X
x}
f（t）dt
1时，F（x）
f（t）dt
0dt0
x1时，F（x）
f（t）dt
1t2
dt
1（arcsinx—）
2
■■■2分
1时，F（x）
f（t）dt
dt
0,
综上,
F（x）
1（arcsinx
2），
1,
（2）
FC〉
F（
1）
11
[arcsin（-）
2
2]
11
■[arcsin
（2）2]
■3分
2、设连续型随机变量X的概率密度函数为
f（x）
2x,0x1,
0,
其他■
求随机变量YX3的概率密度函数。
解法1：
由于YX3所以
h（y）3y，
fY（y）
fx（h（y））h（y）
3y
解法2：
Fy（Y）P{Y
y}p{x
y}
当y0时：
FY（y）0
3y
■■6分
当oy1时：
FY（y）
P{X3y}P{X37}
fx（x）dx
3y
2xdxy3….5分
当y1时：
FY（y）1
故fY（y）Fy（y）
0,
其他
10级
2.已知连续型随机变量
的概率密度函数f（x）
），求:
（1）常数
C;
（2）
X的分布函数Fx（x）；（3）
概率P{1X
3}
解答：
（1）
f（x）dx
Ce|x|dx
（2）当
0时,
F（x）
P{X
x}
^exdx
0时，F（x）
P{X
x}
’exdx
丄exdx
11e
故X的分布函数F（x）
_e
（3）P{1X3}F（3）
F
（1）
3.设随机变量X在区间［0,2］上服从均匀分布,
求随机变量Y
X2的概率密度函数fY（y）
答：
fX（X）
2'
0,
其他
方法1：
的反函数为
y，故
fY（y）
fxC、y）G.y）
fx（..y）（..y）,
0,
2「y
0,
其他
方法
2：
FyW）
P{Yy}
P{X
y}
0时：
FyW）
y4时:
Fy（v）P{X2y}
P{y
fx（x）dx
y1」
dx
当y4时:
FyW）
故fY（y）
Fy（v）
0,
其他
09级
2.设有三个盒子，第一个盒装有
4个红球，1个黑球;
第二个盒装有3个红球，2个黑球；第
个盒装有2个红球，3个黑球.若任取一盒，从中任取
3个球
（1）
（2）
以X表示所取到的红球数，求X的分布律;
（3）
亦尹，求丫的分布律.
解答：
（1）
设Bi
“取第i箱”（i1,2,3），A
“取出的3个球中有2个红球”，则
P（A
P（BJP（ABi）
P（BiA）
P（B^）P（Bi）P（AB）2
P（A）
P（A）
（2）
ic3
3Cf
30，
1c3
c；
C；C3
C；
C53
10，
已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率;
P（A）
因此,
的分布律为
（3）
6'
10
因此,
丫的分布律为
丫
1
0
1
P
1
8
3
6
15
10
15
3.设连续型随机变量X的分布函数为
0,
0,
Fx（X）
1,
1,
1.
（1）求系数a,b的值及X的概率密度函数
（2）若随机变量YX2，求Y的概率密度函数fY（y）.
解答：
（1）由于连续型随机变量的分布函数F（x）是连续函数，因此:
limF（x）F（0），
0
limF（x）F
（1），即得
a0,b1，
fx（x）Fx（x）
2x,0x1,
X
0
1
2
3
P
1
3
1
1
30
10
2
6
（2）（方法1）对任意实数y，随机变量丫的分布函数为:
0时：
FY（y）0,
0时：
Fy（v）Pfy
于是,
FY（y）P{Y
.y}Fx（J）
y}P{x
y}
y1时：
FY（y）
1时：
FY（y）1
Fx（,y），
fY（y）Fy（v）
1,
1,
0,
（方法2）
fY（y）
fxG,y）（Jy）
fx（
..y）（Jy）,
1,
0,
其他.
J2-y
0,
1,
1,0
0,
0,
0,
其他.
08级
2、已知连续型随机变量
x的分布函数为
0,
F（x）
cx,
1,
求:
（1）
常数c；
（2）x的概率密度函数;
（3）
概率P{1
解答:
（1）
连续型随机变量的分布函数为连续函数,
（2）
f（x）
F（x）
3x2,0x1
0,
其他
（3）
P{1
11
x-}F（mf
（1）
3、设随机变量x服从标准正态分布
N（0,1），求随机变量
x2的概率密度函数fY（y）
解答:
fx（X）
x2
的反函数为
fY（y）
fxy）G.y）
fx（
y）（■,y）,
0,
0,
0,
2、已知连续型随机变量x的分布函数为
F（x）
abaresinx,
1,
求
（1）
常数a和b;
（2）X的概率密度f（x）；（3）概率P{2X0}
解答：
（1）
由于连续型随机变量的分布函数
F（x）是连续函数，将1和1代入F（x），得到关于a和
b的方程:
0F
（1）a
2b，0F
（1）
解得:
（2）
F（x）对x求导，得X的概率密度为
f（x）
2,x
0,
（3）
P{2X0}=F（0）F
（2）
3、设随机变量X在区间（1,2）上服从均匀分布，求
2X
的概率密度fY（y）
解答：
（解法一）由题设知,
X的概率密度为fx（X）
其他
对任意实数y，随机变量丫的分布函数为:
FY（y）
p{yy}
2X
P{e
y}
时：
Fy（v）P{Yy}P{e2X
y}
e4时
Fy（v）P{e2X
1
y}P{X严
llny
2
fx（x）dx
!
|ny
2
dx
2X
时：
Fy（v）P{Yy}P{e
y}
0,
于是,
（解法二）
fY（y）
0,
FY（y）
1ln
1,
1,
fY（y）FY（y）
2y'
0,
其他
11fx（?
lny）qiny）,y
1丄1ny2
2
其他
2y
0,
其他
、选择与填空
11级
3、设随机变量X与丫相互独立,
X在区间
0,3上服从均匀分布，丫服从参数为2的指数分布,
则概率Pmin（X,Y）1
3e2
2、设随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且
X与丫不相关，fx（x）、fY（y）分别为X、丫的概率
密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度fX|Y（xy）为
（A）fx（x）
（B）
fY（y）
（C）fx（x）fY（y）
（D）
fx（X）
fY（y）
10级
3.设随机变量X与丫相互独立且都服从参数为
0）的指数分布，则min（X,Y）服从__B
（A）参数为的指数分布
（B）
参数为2的指数分布
（C）参数为-的指数分布
（D）
（0,）上的均匀分布
、计算与应用
11级
3、设二维随机变量
X
1
0
1
1
0
0
0
Z
0
打
1
0
0
（X,Y）的联合分布律为
（1）求概率PX
（2）求X与丫的相关系数
并讨论X与丫的相关性，独立性。
解答：
（1）PX
（2）EX0,EY0,E（XY）
XY
1,Y0
PX1,Y0
0，故cov（X,Y）0,
0，故X与丫不相关。
XY
2….3分
由联合分布律显然RjRgPgj，所以X与丫不独立
Axy,0yx1,
f（x,y）
1、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
其他.
求:
（1）
常数A；
（2）
（X,Y）的边缘概率密度函数fY（y）；
（3）
在丫y的条件下，X的条件概率密度函数fX|Y（xy）;
21
条件概率P{X-Y-}
32
dx0Axydy1
...2分
（2）
fY（y）
f（x,y）dx
8xydx
2
4y（1y）,0y
0,
其他
2x
（3）
当0y1时,
fxY（xy）=
f（x,y）
（4）
P{X2丫1}
32
2x
10级
fY（y）
2dxy
0,
其他
■23
1.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
f（x,y）
27
..2分
求:
（1）
常数A；
（2）
（X,Y）的边缘概率密度函数fy（y）；
（3）
（4）
Ax2y,
0,
在丫y的条件下，X的条件概率密度函数
条件概率P{X0Y
其他
fx|Y（xy）；
解答：
（1）
f（x,y）dxdy
dx
x2
Ax2
ydxdy1
21
（2）
fY（y）
f（x,y）dx
再彳x2ydx
y4
0,
其他
（3）
1时，fxY（xy）=
f（x,y）
（4）
P{X
0Y丄}
2
09级
fY（y）
0,
，_^x2y2dxy2y
22、2dx
1.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
f（x,y）
其他
0,y0,
其它.
（1）求关于X的边缘密度函数fx（x）；
（2）试判断X与丫是否相互独立?
（3）计算
解答：
（1）
fx（X）=
f（x,y）dy
exydy,x0,
0
e
x,x0,；
4分
0,x0.
0,
x0.
ey
（2）与
（1）类似，易知f,y）,
y
0，满足f（x,y）
fx（x）fY（y），因此X与丫相互独
0,
y
0
立；
….4分
11xxy
（3）P{XY1}=0dx0exydy1
2e
1
2分
某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩
X（百分制）近似服从正态分布X~N（72,2），并且分
数在60分至84分之间的考生人数占考生总数的68.2%，试求考生的外语成绩在96分以上的概率.
X
0
1.0
2.0
3.0
（x）
0.500
0.841
0.977
0.999
解答：
根据题意有,
P{60X84}
（咚）
1212
（）2（）
1=68.2%，
0.841，因此
12，
P{X96}1
（给
（2）0.023.
08级
1、
设二维随机变量（X，丫）的联合概率密度函数为
f（x,y）
0,
其他
求:
（1）
（X，丫）的边缘概率密度函数fx（x）和条件概率密度
fY|x（yx）；
概率P{YX}；
1、
（3）
随机变量Z
解答：
（1）
fx（X）=
1时:
（2）
P{Y
X}
f（x,
（3）
X2Y2的概率密度函数fZ（z）
f（x,y）dy
f（x,y）
fx（X）
y）dxdy
Fz（z）P{Zz}PrX
Y2
0,
2/
0,
z}
0时:
Fz（z）0；
1时：
FZ（z）
f（x,y）dxdy
^dy,
其他
其他
1
dxdy
0,
其他
y2
y2
1时：
Fz（z）1
因此，fz（Z）Fz（Z）
0,
其他
07级
1、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
f（x,y）
Ax,0
其它
求
（1）
常数A;
（2）
（3）
概率P{XY
1}
1.解答:
（1）
由于
f（x,y）dxdy
dx
Axdy1，
推得A3
（2）fY（y）=
f（x,y）dx
3xdx,
y2）,
0,
其他
0,
其他
2x
1时:
fx|Y（xy）
f（x,y）
fY（y）
0,
其他
（3）P{XY
1}=
dy
3xdx
（X，丫）的边缘概率密度函数fY（y）和条件概率密度函数fX|Y（xy）；
、选择与填空
11级
3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷
n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次
数，则X和丫的相关系数为
（B）
（A）1
（C）0
（D）0.5
10级
2.设随机变量X服从参数为（
0）的泊松分布，且P{X1}
P{X2}，则D（X1）的值为
（A）
（B）3
（C）
（D）
09级
2.设X
和Y为独立同分布的随机变量,
X的分布律为PX
3
-，令随机
4
变量Z
max（X,Y），则数学期望E（Z）
（D严
16
08级
2、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X
2
E（X）}
2e
0,E（X2）E（Y2）2，则E[（XY）2]6
3、设随机变量X和丫的相关系数为0.5,E（X）E（Y）
07级
2、下面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是_B_。
1
（A）X服从正态分布N（5,?
）（B）Y服从均匀分布U（5,7）
1
（C）Z服从参数为-指数分布（D）T服从参数为3的泊松分布
6
3、若二维随机变量（X,Y）的相关系数xy0,贝U以下结论正确的是Bo
（A）X与Y相互独立（B）D（XY）D（X）D（Y）
（C）X与丫互不相容（D）D（XY）D（X）D（Y）
1
3、设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X.DX}=-—o
_e
二、计算与应用
10级
将2封信随机地投入2个邮筒，设随机变量X,Y分别表示投入第1个和第2个邮筒的信的数目，试求：
（1）（X,Y）的联合分布；
（2）X的数学期望E（X）及方差D（X）;
（3）（X,Y）的相关系数;（4）判断X,Y是否不相关.是否相互独立。
解答：
（1）
Y'〜一■-X
0
1
2
0
0
0
1/4
1
0
1/2
0
2
1/4
0
0
4分
（2）X与丫同分布，且X的分布为：
X
0
1
2
P
1/4
1/2
14
31
因此E（X）1，E（X2）-，D（X）-2分
22
111
（3）方法1:
E（Y）1，D（Y）-，E（XY）-，cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）-
222
故COV（X,Y）1………2分
*DXJDY
方法2:
由于XY2，即丫X2，X与丫存在线性关系，因此1o
2分
（4）相关，不独立2分
09级
4.设随机变量X与Y的相关系数1/4，D（X）D（Y）1，令UXY，VXaY，且U与V不相关，求常数a.
方法1）cov（U,V）cov（XY,XaY）
D（X）aD（Y）（a1）cov（X,Y）
1a（a1）.D（X）；D（Yy5（a1）
4
由于U与V不相关，因此cov（U,V）0，……4分
于是a1.……2分
（方法2）E（UV）E[（XY）（XaY）]
（a1）[4E（X）E（Y）]a{1[E（Y）]2}
4
1）E（X）E（Y）a[E（Y）]
E（U）E（V）E（XY）E（XaY）[E（X）]2（a
5
则cov（U,V）E（UV）E（U）E（V）（a1）
4
由于U与V不相关，因此cov（U,V）0,于是a
08级
X1
1
0
1
P
1
1
1
4
2
4
2、设随机变量Xi和X的分布律为
并且P{X1X
0}
1
O
2
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