图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式完整.docx
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图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式完整
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
一、球体面积
球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。
设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。
根据定义：
线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。
在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。
即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。
即S=长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：
S=1/4周长×周长（见图六）
例1：
已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长）
S=（3.14159÷4）×3.14159=2.4674㎡
二、球体体积
设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分无限分割成N个半圆楔形体。
见图七、图八。
球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：
与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：
V=πR平方×周长的1/4 或：
V=D（直径的三次方）×0.616849233
例2：
已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V=πR平方×周长的1/4
=3.14159×0.25×0.7853975
=0.616849233
三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误
1、球体面积
如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。
如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。
图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。
计算过程：
S=（1.570795×0.7853975）=1.2336㎡
公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。
计算过程：
S=1×3.14159÷2=1.570795㎡
2、球体体积
如何检验球体体积计算的正确，最好的方法就是用溢水法进行检验。
根据公知的容积单位：
每立方米的水为1000升，每立方厘米的水为1毫升。
因此我们可以将同直径的球体分别用两种不同的公式计算，将计算结果再与用溢水法实际测量的结果进行对比。
在大量的实验中我们的确发现了公知公式的问题，下表是实验中两种公式计算结果与实际测量的数据对比（球体体积）：
上表数据对比清楚的表明，用量筒实际测量的结果与新公式计算的结果最为接近，可以证明球体体积新公式是正确可靠的。
第十一册 刷油、防腐蚀、绝热工程
（一）工程量计算公式
1、除锈、刷油工程。
（1）设备筒体、管道表面积计算公式：
S＝π×D×L
式中π——圆周率；
D——设备或管道直径；
L——设备筒体高或管道延长米。
（2）计算设备筒体、管道表面积时已包括各种管件、阀门、法兰、人孔、管口凹凸部分，不再另外计算。
2、防腐蚀工程。
（1）设备筒体、管道表面积计算公式同
（1）。
（2）阀门表面积计算式：
（图一）
S＝π×D×2.5D×K×N
图一
式中D——直径；
K——1.05；
N——阀门个数。
（3）弯头表面积计算式：
（图二）
图二
S＝π×D×1.5D×K×2π×N／B
式中D——直径；
K——1.05；
N——弯头个数；
B值取定为:
90°弯头B＝4；45°弯头B＝8。
（4）法兰表面积计算式：
（图三）
S＝π×D×1.5D×K×N
图三
式中D——直径；
K——1.05；
N——法兰个数。
（5）设备和管道法兰翻边防腐蚀工程量计算式：
（图四）
图4
S＝π×（D＋A）×A
式中D——直径；
A——法兰翻边宽。
（6）带封头的设备防腐（或刷油）工程量计算式：
（图五）
图五
S＝L×π×D+（D[]22）×π×1.5×N
式中N——封头个数；
1.5——系数值。
3、绝热工程量。
（1）设备筒体或管道绝热、防潮和保护层计算公式：
V＝π×（D＋1.033δ）×1.033δ
S＝π×（D＋2.1δ＋0.0082）×L图五
式中D——直径
1.033、2.1——调整系数；
δ——绝热层厚度；
L——设备筒体或管道长；
0.0082——捆扎线直径或钢带厚。
（2）伴热管道绝热工程量计算式：
①单管伴热或双管伴热（管径相同，夹角小于90°时）。
D′＝D1＋D2＋（10～20mm）
式中D′——伴热管道综合值；
D1——主管道直径；
D2——伴热管道直径；
（10～20mm）——主管道与伴热管道之间的间隙。
②双管伴热（管径相同，夹角大于90°时）。
D′＝D1＋1.5D2＋（10～20mm）
③双管伴热（管径不同，夹角小于90°时）。
D′＝D1＋D伴大＋（10～20mm）
式中D′——伴热管道综合值；
D1——主管道直径。
将上述D′计算结果分别代入相应公式计算出伴热管道的绝热层、防潮层和保护层工程量。
（3）设备封头绝热、防潮和保护层工程量计算式。
V＝\[（D＋1.033δ）／2\]2π×1.033δ×1.5×N
S＝\[（D＋2.1δ）／2\]2×π×1.5×N
（4）阀门绝热、防潮和保护层计算公式。
V＝π（D＋1.033δ）×2.5D×1.033δ×1.05×N
S＝π（D＋2.1δ）×2.5D×1.05×N
（5）法兰绝热、防潮和保护层计算公式。
V＝π（D＋1.033δ）×1.5D×1.033δ×1.05×N
S＝π×（D＋2.1δ）×1.5D×1.05×N
（6）弯头绝热、防潮和保护层计算公式。
V＝π（D＋1.033δ）×1.5D×2π×1.033δ×N／B
S＝π×（D＋2.1δ）×1.5D×2π×N／B
（7）拱顶罐封头绝热、防潮和保护层计算公式。
V＝2πr×（h＋1.033δ）×1.033δ
S＝2πr×（h＋2.1δ）
（二）计量单位
1、刷油工程和防腐蚀工程中设备、管道以“m2”为计量单位。
一般金属结构和管廊钢结构以“kg”为计量单位；Ｈ型钢制结构（包括大于400mm以上的型钢）以“m2”为计量单位。
2、绝热工程中绝热层以“m3”为计量单位，防潮层、保护层以“m2”为计量单位。
3、计算设备、管道内壁防腐蚀工程量时，当壁厚≥10mm时，按其内径计算；当壁厚＜10mm时，按其外径计算。
（三）除锈工程
1、喷射除锈按Sa2.5级标准确定。
若变更级别标准，如Sa3级按人工、材料、机械乘以系数1.1、Sa2级或Sa1级乘以系数0.9计算。
2、本章不包括除微锈（标准：
氧化皮完全紧附，仅有少量锈点），发生时按轻锈项目乘以系数0.2。
3、因施工需要发生的二次除锈，其工程量另行计算。
（四）刷油工程
1、本章估价表按安装地点就地刷（喷）油漆考虑，如安装前管道集中刷油，人工乘以系数0.7（暖气片除外）。
2、标志色环等零星刷油，执行本章估价表相应项目，其人工乘以系数2.0。
3、本章估价表主材与稀干料可换算，但人工与材料量不变。
（五）防腐蚀涂料工程
1、本章估价表不包括热固化内容，应按相应项目另行计算。
2、涂料配比与实际设计配合比不同时，应根据设计要求进行换算，但人工、机械不变。
3、本章估价表过氯乙烯涂料是按喷涂施工方法考虑的，其他涂料均按刷涂考虑。
若发生喷涂施工时，其人工乘以系数0.3，材料乘以系数1.16，增加喷涂机械台班耗量。
（六）手工糊衬玻璃钢工程
1、如因设计要求或施工条件不同，所用胶液配合比、材料品种与本章估价表不同时，应按本章各种胶液中树脂用量为基数进行换算。
2、玻璃钢聚合固化方法与估价表不同时，按施工方案另行计算。
3、本章估价表是按手工糊衬方法考虑的，不适用于手工糊制或机械成型的玻璃钢制品工程。
（七）橡胶板及塑料板衬里工程
1、本章热硫化橡胶板衬里的硫化方法，按间接硫化处理考虑，需要直接硫化处理时，其人工乘以系数1.25，其他按施工方案另行计算。
2、本章估价表中塑料板衬里工程，搭接缝均按胶接考虑，若采用焊接时，其人工乘以系数1.80，胶浆用量乘以系数0.5。
（八）衬铅及搪铅工程
1、设备衬铅是按安装在滚动器上施工考虑的，若设备安装后进行挂衬铅板施工时，其人工乘以系数1.39，材料、机械不变。
2、本章估价表衬铅铅板厚度按3mm考虑，若铅板厚度大于3mm时，人工乘以系数1.29，材料、机械另行计算。
（九）耐酸砖、板衬里工程
1、采用勾缝方法施工时，勾缝材料按相应项目树脂胶泥用量的10％计算，人工按相应项目人工的10％计算。
2、衬砌砖、板按规范进行自然养护考虑，若采用其他方法养护，按施工方案另行计算。
3、胶泥搅拌是按机械搅拌考虑的，若采用其他方法时不得调整。
（十）绝热工程
1、依据规范要求，保温厚度大于100mm、保冷厚度大于80mm时应分层安装，工程量应分层计算，采用相应厚度项目。
2、保护层镀锌铁皮厚度是按0.8mm以下综合考虑的，若采用厚度大于0.8mm时，其人工乘以系数1.2；卧式设备保护层安装，其人工乘以系数1.05。
3、设备和管道绝热均按现场安装后绝热施工考虑，若先绝热后安装时，其人工乘以系数0.9。
4、采用不锈钢薄板保护层安装时，其人工乘以系数1.25，计价材料乘以系数1.3，机械台班乘以系数1.15。
表面积与体积练习和答案
专题简析：
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
例1.从一个棱长为10里面的正方体上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
【思路导航】这是一道开放题，方法有多种：
1）沿一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
2）在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
3）挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
练习1.
1.把一个长为12分米、宽为6分米、高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？
2.在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面机会发生怎样的变化？
例2.把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
【思路导航】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形。
练习2：
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米？
3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。
每个小正方体的表面积是多少平方厘米？
例3.把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同的长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？
【思路导航】把两个相同长方体拼成一个大长方体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的边面积就是减少了两个拼合面的面积。
要是大长方体的表面积最小，就必须使两个品河面的面积最大，即减少两个9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
=508—126
=382（平方厘米）
答：
这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3：
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。
求大长方体的表面积是多少。
3、用6块（如图所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？
例题4：
一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。
我们知道：
体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。
而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。
即
40÷2=20（平方厘米）；90÷3=30（平方厘米）；96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）
答：
原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4：
1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米？
2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。
原来厂房体的体积是多少立方厘米？
3、有一个厂房体，它的正面和上面的面积之和是209。
如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？
例题5：
如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。
实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。
这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：
这个物体的表面积是32.97平方米。
练习5：
1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。
求这个零件的表面积。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：
厘米），需用铁皮多少平方厘米？
3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（∏取3.14）。
答案：
练1
切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。
4×4×6－2×2×2＝92平方厘米
中心挖去的洞的体积是：
12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：
33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：
（32+3）×6＝72平方厘米。
练2
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米
（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米
因为64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方体的表面积是：
384÷16＝24平方厘米
练3
将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30÷6＝15平方厘米，所以大长方体的表面积是30+30+6＝35平方厘米。
要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。
表面积最小的拼法有如图答27－2两种：
表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。
设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x2平方分米。
其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：
8x2+8×2x2＝600x＝5
大长方体的体积是：
5×5×2×5＝250立方分米
练4
1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米
2、减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。
把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。
圆长方体的体积是：
6×6×（6+3+2）＝396立方厘米
3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高），209＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2＝374
练5
402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米
用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。
3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米
3、立方体的表面积和是：
6×102－42×4－2×3.14×（
）2＝510.88平方厘米
打洞后增加的面积是：
3.14×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+42×2－3.14×（
）2×2＝274.24平方厘米
表面积是：
510.88+274.24＝785.12平方厘米
体积是：
103－42×10×2+43－3.14×（
）2×（10－4）＝668.64平方厘米
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