九年级数学专题复习代几综合问题.docx

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九年级数学专题复习代几综合问题

中考冲刺：

代几综合问题

【中考展望】

代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．

题型一般分为：

（1）方程与几何综合的问题；

（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.

题型特点：

一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.

【方法点拨】

方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：

求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．

函数型综合题主要有：

几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．

函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．

几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．

1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．

2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．

3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．

4．解几何综合题应注意以下几点：

（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；

（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；

（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；

（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．

【典型例题】

类型一、方程与几何综合的问题

例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；

（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的

？

若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？

（直接写出结果）

举一反三：

【变式】如图1，在菱形ABCD中，AB=6

，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：

BE=DF；

（2）当t=　　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　　；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

类型二、函数与几何综合问题

例2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．

⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；

⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？

若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

类型三、动态几何中的函数问题

例3.如图，在平面直角坐标系

中，已知二次函数

的图象与

轴交于

，与

轴交于A、B两点，点B的坐标为

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:

2的两部分，求出此时点

的坐标；

（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：

点P在何处时△

的面积最大？

最大面积是多少？

并求出此时点P的坐标.

举一反三：

【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线

＝－

＋

交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与

的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

类型四、直角坐标系中的几何问题

例4.如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？

如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题

例5.如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA

，再以等腰直角三角形ABA

的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A

BB

，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝________（n为正整数）．

举一反三：

【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．

求3+32+33+…+3100的值．

解：

令S=3+32+33+…+3100

（1），

将等式两边提示乘以3得到：

3S=32+33+34+…+3101

（2），

（2）-

（1）得到：

2S=3101-3

∴S=

∴3+32+33+…+3100=

问题：

（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）

（2）求4+12+36+…+4×350的值；

（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．

【巩固练习】

一、选择题

1.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

2.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x

的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）

二、填空题

3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，10），点C在y轴上，且△ABC

是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．

4.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是　　．

三、解答题

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．

（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？

请说明理由；

（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？

（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．

（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？

（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？

若有最小值，最小值是多少？

7.条件：

如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：

在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　　；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．

（1）求N点、M点的坐标；

（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；

（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；

②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？

若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=

．

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）探索：

在

（2）的条件下：

①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是

；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？

若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为

，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．