六年级上册思维体操.doc

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二、长方体和正方体

（一）表面积

【思维训练】

例1、有一种长方体塑料落水管，截面长是10厘米，宽是6厘米，一根这样的落水管长2米，做10根这样的落水横管至少需要多大面积的塑料?

（落水管厚度与接头忽略不计）

[思路点拨]

在实际生产和生活中，经常不需要计算长方体（或正方体）六个面的总面积，而是要根据实际情况，计算某几个面的面积。

例如计算做落水管所需材料的面积，只需要计算落水管的侧面积（即4个面的面积）。

[试一试]

一个游泳池长50米，宽25米，深2米。

这个游泳池占地多少平方米?

在游泳池的四壁和底面贴上每块面积是4平方分米的瓷砖，共需多少块?

例2、有两个棱长是3厘米的正方体，从第一个正方体的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，在第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体，求两个所得物体的表面积。

[思路点拨]

计算不规则的长方体或正方体的表面积，关键在于观察。

例如第一个正方体的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，挖去后形成的三个小正方形的面积正好可以填补从正方体表而上挖去的面积，求该不规则物体的表面积就是求正方体的表面积；第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体，如果把小正方体当作按钮按下去，则可以看到小正方体的上面正好可以填补大正方体上面被遮挡的面积，那么求这个组合体的表面积就是求大正方体的表面积与小正方体的侧面积之和。

[试一试]

有一个棱长足4厘米的正方体，从它一个而的中央挖去一个棱长是1厘米的小正方体，所得物体的表面积是多少?

如果每个面的中央都挖去这样一个小正方体，所得物体的表面积义是多少?

[想想做做]

1、一种火柴盒的长是4厘米，宽是3厘米，高是1.5厘米。

如果把内盒的长、宽、高看做与外盒的长、宽、高相同来计算，做这样一个火柴盒一共需要多少平方厘米的硬纸?

2、在棱长3厘米正方体的一条棱上挖去一个棱长1厘米的小正方体，所得物体的表面积是多少?

例3、两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米?

[思路点拨]

在解决长方体或正方体拼接或剪切的问题时，关键在于找准减少或增加的面。

两个相同的小正方体拼成一个长方体，减少的是两个小正方形的面积，可以先求出两个小正方体的表面积之和，再减去两个小正方形的面积；或者先求出长方体的长、宽和高，再求出长方体的表面积。

完全解答：

方法一：

方法二：

[试一试]

1、三个棱长是3厘米的小正方体可以拼成一个长方体，表面积减少多少平方厘米?

2、至少需要多少个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是4厘米，那么这个大正方体的表面积是多少平方厘米?

例4、下图表示用相同的小正方体摆成的立体图形。

请你仔细观察后回答问题。

（1）从上面看到的是（）；

（2）从正面看到的是（）；（3）从左侧面看到的是（）。

[思路点拨]

解决观察问题的关键在于找准观察点，即从哪个方向观察。

对于例题，我们可以分层观察，最底层为第一层，依次往上为第二层，第三层……注意从侧面观察一定要分清左右。

[试一试]

1、观察用棱长1厘米的正方体摆成的物体，从正面看到，从左侧面看到。

这堆小正方体最多有（）个，最少有（）个。

2、右图是用棱长1厘米的正方体摆成的立体图形。

（1）从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状?

试着画一画。

从上面看 从前面看 从左侧面看

（2）这个物体的表面积是多少平方厘米?

[想想做做]

1、学校会议室门前有9级台阶，每级台阶长9米，宽O.3米，高0.2米。

这9级台阶一共占地多少平方米?

如果给这些台阶铺上红地毯，至少需要多少平方米的红地毯?

2、如图，求这个正方体和长方体组合后的表面积。

3、把两个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大可能是多少平方厘米?

最少呢?

4、某种书长20厘米，宽12厘米，厚2.5厘米，现将4本这样的书，包装成一包，请你设计最节省包装纸的一种方案，算出至少需要多少平方厘米的包装纸?

5、下图是用棱长1厘米的正方体摆成的立体图形。

（1）这个物体（图①）的表面积是多少平方厘米?

（2）在这个物体上添加一个正方体（图②），它的表面积又是多少平方厘米?

（二）展开图

【知识概述】

正方体的展开图有各种各样的情况，总的来说正方体相对应的两个面展开后是不可能连接在一起的。

正方体展开图有以下几种情况：

【思维训练】

例1、右面是正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，B面与（）面相对，（）面与E面相对。

[思路点拨]

相列的面不相连，这是正方体或长方体展开图的一个特点。

在解决例题时，我们可以先确定C面为底面，固定不动，想象折起B面和D面，这样就可以很快找出相对面了。

[试一试]

1、下图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成立方体纸盒时，A点与（）点重合。

2、如图有一正方体房间，在房间内的一角A处有一只小虫，它想到房间的另一角B处去吃食物，它采取怎样的行走路线最近?

（画出来）一共有几条这样的路线?

例2、如图，无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计，单位分米），则盒子棱长总和是多少分米?

[思路点拨]

先补出折痕，如图，通过观察，可以知道5分米表示长与宽的和，3分米表示宽与高的和，而宽是2分米，高是1分米，进而可以求出盒子的棱长总和。

完全解答：

[试一试]

1、下面是一个长方体的展开图，计算它的体积和表面积。

（单位：

厘米）

2、一张长20厘米，宽15厘米的硬纸板，在它的四个角各剪去一个正方形，把它做成一个无盖的长方体纸盒，请你设汁一个方案，并算出纸盒的容积。

（接头处与纸的厚度忽略不计）

1、一个长方体展开后有两个面的形状如下图。

请你继续画出其他的4个面，并求出这个长方体的表面积和体积。

2、一个底面是正方形的长方体纸箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长为20厘米的正方形。

这个纸箱的表面积是多少平方厘米?

（三）体积

【思维训练】

例1、把一根2米长的方木截成三段（截面是正方形），表面积增加100平方厘米，求这根方木的体积。

[思路点拨]

计算长方体或正方体的体积，还可以用底面积乘高或截面积乘长的方法。

例题中的方木被截成三段后，增加4个截面，每个截面的面积是100÷4=25（平方厘米），进而可以求出方木的体积，注意计量单位的统一。

完全解答：

[试一试]

1、一个底面积是25平方厘米的长方体容器，高10厘米，水深6厘米，这个容器还可以倒入多少立方厘米的水?

2、如图，长方体的横截面是正方形，且正方形的对角线长3分米，求这个长方体的体积。

例2、某乡要挖一条200米长的水渠，水渠截面是梯形（如图），渠口宽2米，渠底宽1.5米，渠深1米。

共需挖土多少立方米?

[思路点拨]

我们可以用截面积乘长的方法计算所需挖土的体积。

先算出梯形的面积，再乘以长就行了。

完全解答：

[试一试]

1、你能求出下面立体图形的体积吗?

2、一件工具如下图，它的体积是多少?

例3、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，水面上升多少厘米?

[思路点拨]

“万变不离其宗”，这个“宗”就是指不变的量。

在例题中，上升的水的体积就是铁块的体积，而上升的水的形状是一个长15分米，宽12分米的长方体，求水面上升多少厘米，就用上升的水的体积（即铁块体积）除以水箱底面积。

完全解答：

[试一试]

1、学校把10.5立方米黄沙铺在一个长6米、宽3.5米的长方体沙坑里，可以铺多厚?

2、如图，A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。

现在把A处的土堆到B处，使A、B两处同样高，这时B处比原来升高多少米?

例4、一个长方体高增加2厘米后就成为正方体，其表面积增加24平方厘米，求原来长方体的体积。

[思路点拨]

这个题目关键是要先求出长方体的底面边长，根据高增加2厘米，可以得出增加的实际上是一个2厘米高的长方体，这个长方体的侧面积就是增加的24平方厘米的表面积。

将这个侧面展开成长方形，根据24平方厘米与高2厘米（长方形的宽）这两个条件可以得出长方体的底面边长。

完全解答：

[试一试]

1、一个长方体，如果高减少2厘米，就成为一个正方体，而且表面积减少56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少?

2、一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是素数，这个长方体的体积是多少?

（答案不唯一）

[想想做做]

1、把6升橙汁倒入一个长方体容器，已知这个容器的底面积是250平方厘米，那么橙汁深多少厘米?

2、一个长方体，如果长减少3厘米，体积减少60立方厘米；如果宽减少2厘米，体积减少48立方厘米。

已知高是5厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米?

3、把一块棱长是12厘米的正方体冰块放入一个长20厘米，宽15厘米，深10厘米的长方体容器中融化，待冰完全融化后水的高度是多少厘米?

（已知冰融化成水后体积减少）

4、人们常用“V”来表示胜利的喜悦。

你知道吗，“V”是英语单词“victory”的第一个字母，这个单词的意思就是胜利。

请你求出下面这个“V”的表面积和体积。

（阴影部分为正方形，“V”左右相同。

）

练习二

1、求下面长方体和正方体的表面积。

2、一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

3、下图表示用相同的小正方体摆成的物体。

（1）从上面看到的是（），

（2）从正面看到的是（），

（3）从左侧面看到的是（）。

4、一个正方体木块，表面积是96平方厘米，最少可以把它锯成体积相等的多少个正方休小木块?

每个小木块的表面积是多少?

5、把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成27块大小相同的小正方体（如图）。

（1）三三面涂色的小正方体有多少块?

（2）两面涂色的小正方体有多少块?

（3）一面涂色的小正方体有多少块?

6、求下面长方体和正方体的体积。

7、一个底而是正方形的长方体，侧面积是72平方分米，高6分米，求长方体的体积和表面积。

8、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长为60厘米的正方体铁块，现在水深多少分米?

9、一个长方体，如果高减少2厘米，就成为一个正方体，而且体积减少50立方厘米，原来这个长方体的表面积是多少?

10、下图表示用棱长1厘米的正方体摆成的物体。

（1）从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状?

试着画一画。

（2）这个物体的体积和表面积有什么变化?

11、3.05立方米=（）立方分米 450平方厘米=（）平方分米

0.8升=（）立方厘米 7000平方米=（）公顷

12、有两个棱长是6厘米的正方体，从第一个正方体的一个顶点处挖去一个榜长是2厘米的小正方体,在第二个正方体的上面中央粘