高中生学习排列组合的认知困难精品.docx

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高中生学习排列组合的认知困难精品

摘要

排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。

产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。

笔者每每教此内容，都特别上心，生怕产生的学习困难会减弱学生的兴趣，有损学生的自信。

本研究在文献研究的基础上，通过对333名高二学生的测试与33名学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。

本文中，笔者对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4和11个小类，希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。

通过对测试结果的分析，笔者将学生常见的错误归为三种类型：

题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。

在这四大类错误中包含的具体错误情况共有11种。

对于每种错误，笔者都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。

通过访谈，笔者还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。

针对学生普遍存在的困难和常见错误，笔者给教师提出如下教学建议：

（1）帮助学生认识学习目的；

（2）多采用直观图示的方法；（3）重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否有遗漏和重复；（4）利用学生错误，开展有意义的学习；（5）适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；（6）引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。

关键词：

排列组合，常见错误，高中生，数学学习

Abstract

Permutationandcombinationisarelativelyindependentpartinthemathematicsteachinginseniorhighschool.Owingtoitshighrequirementsofstudents’abilitytoanalyzeandsolvetheproblems,teachersandstudentshavedifficultyinteachingandlearningit.Therearealotofcausesthatleadtothesedifficulties,suchasthewidevarietyoftheexercises,thecomplexstructureofthequestions.Moreover,itiseasytomakemistakesintheprocessofthinkinganditisalwayshardtofindaconciseandcomprehensivewaytoclassifythequestions.Withthevariouswaysofthinkingandflexiblesolutions,checkingtheanswerisnotaneasyjob.Itisdifficultforteachersandstudentstoreallyunderstandeachother'sideasonlybywrittencommunication,nottomentionthecorrectionofthemistakes.IpayspecialattentiontothisparteverytimeIteachitincasestudentslosetheirinterestsbecauseofthedifficultiestheface,whichmayhaveanegativeinfluenceonstudents’self-confidence.

Onthebasisofdocumentresearch,throughthetestof333studentsandtheinterviewof33studentsinsenior2,thisresearchaimsatrevealingthecommoncognitivemistakeshighschoolstudentsmakewhenlearningpermutationandcombination,analyzingthecausesofthemistakesandprovidingspecificsuggestionsfortheimprovementoftheteachingofpermutationandcombinationbasedonthestudyofexamples.

Inthepaper,Ireclassifiedtheproblemsofpermutationandcombination.Firstly,Iputtheproblemsinto2categories,namelytheselectionofthemodelandtheallocationofthemodel.Then,these2categoriesaredividedinto4and11basictypesrespectively.Studentsareexpectedtocombtypeofproblemmoreclearlyandfindthesolutiontotheproblemsmoreeasilythroughthenewclassification.

Throughtheanalysisoftheresultofthetest,thecommonmistakesstudentsmakearedividedinto3types:

themisunderstandingofthequestions,thewrongchoicemadewhenchoosingthemodelandtechnicalerroroperation.The3typesofmistakesinclude11specificmistakes.Intermofeverymistake,thecausesareanalyzedaccordingtorecordsofthestudents’interviewsandliteratureresearch.Throughtheinterviews,Ifindthatstudentshavewidespreaddifficultyinsolvingthestrangeproblemsandtheproblemswhichhavemanyconstraintconditionsandmanystudentsdon’tknowhowtochecktheansweryouself.

Asforthecommonmistakesandwidespreaddifficultiesstudentshave,theteachingsuggestionsareputforwardasfollows:

（1）helpstudentshaveaclearpictureofthepurposeoflearning;

（2）adoptthegraphicalteachingmethod;（3）payattentiontotheprocessofreadingtheinstructions,thinkoverthecharacteristicsoftheproblems,writedowntheformulaandthenreadtheinstructionsagain,checkwhetherthereareomissionsorrepetitions;（4）carryoutmeaningfullearningaccordingtostudents’mistakes;（5）maketheappropriatechangessuchaschangingandincreasingtheconstraintconditionssoastoimprovestudents'understanding;（6）guidethestudenttoavailable“toreducethedata”and“morethanaproblemsolution”thecorrectnessofthemethodofinspectionexposed.

Keywords:

permutationandcombination,commonmistakes,seniorhighschoolstudents,mathematicslearning

目录

摘要i

ABSTRACTii

第一章　引言1

1.1研究背景1

1.2研究问题3

1.3研究意义4

第二章　文献综述5

2.1关于排列组合问题模型5

2.2课程中的排列组合知识及其要求7

2.3关于排列组合常见错误类型及其成因11

2.4关于排列组合教学13

第三章　研究的设计和实施15

3.1研究对象15

3.2测试题的设计15

3.3研究的实施与数据编码20

第四章　数据整理与研究结果分析22

4.1测试结果汇总分析22

4.2“选取模型”测试题分析23

4.3“分配模型”测试题分析37

第五章　研究结论和建议65

5.1主要结论65

5.2教学建议68

5.3研究的局限性和可继续研究的问题69

附录一：

学生测试卷70

附录二：

学生访谈提纲72

参考文献73

致　谢76

第一章引言

1.1研究背景

我国《普通高中数学课程标准》中指出：

“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具”（第62页）。

“计数原理”的教学要求是“通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”（第63页）。

它要求教师“引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。

同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。

”（第64页）。

《上海市中小学数学课程标准》指出“计数问题，与中学所讨论的其他数学问题有不同的特点，要重视对具体问题的分析，重视数学思维品质的培养”（第80页）。

“排列组合”的教学要求是“通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单”，“排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。

解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。

会利用计算器求排列数和组合数”（第80页）。

以上是全国课程标准与上海课程标准对排列组合的课程教学要求，总的来说，既承认这部分内容对提高学生思维品质有帮助，又强调要严格控制课程难度。

“排列组合”是高中教材中相对独立的一个章节，很多学生（包括教师）觉得它和其他章节联系不大，在高考中所占分值很少，对其不重视。

其实，当今排列组合的应用已经超越了历史上的自然数计数范畴，与计算机算法结合，在计算机科学、编码和密码学等学科有着广泛的应用。

无论是从历史文化角度看，还是从对培养人们逻辑思维的影响看，它都有着重要的教育价值。

上海高三年级的《数学》教材中有介绍排列组合的历史，中国周代初期（公元前1035—公元前879）的《周易》中有“四象”和“八卦”，宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中讨论了围棋可能摆出的棋局数是“以一为基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3连乘361次”，即

（围棋每格可有白子、黑子或空格三种可能，棋盘共有361个位置），而他也提到计算数值太大，无法表达。

在西方，罗马时代有人曾讨论过从

个东西中任意取两个的组合数；12世纪印度数学家婆什迦罗已经知道从

个东西中任意取

个东西的组合数；法国数学家帕斯卡作为排列组合公式的发明者之一，在1321年用数学归纳法证明了

，

并指出这些组合数可以是二项式展开式的各对应项的系数（参见上海教育出版社2008年版的《数学高中三年级第一学期（试用本）》第82页）。

当今社会，排列组合也有其重要的应用。

在生产调度中，排列组合可用于计算各种可能的调度方案的数目；在科学实验中，可用于计算各种配置方式的数目；在交通问题中，可用于计算可能路径的数目。

而组合数学更是涉及计算机科学、生物学、化学、心理学以及基因工程等前沿学科中的最新应用，例如在基因工程中，每组基因密码都是从四个碱基：

腺嘌呤（A），乌漂呤（G）,胞嘧啶（C）和胸腺嘧啶（T）中可重复选取三个进行排列而成，而人类疾病的发生往往就是某些碱基的组合而形成的，所以碱基的组合研究在基因工程研究中是不能缺少的。

当今高中数学课程中的排列组合看似独立，其实，它涉及集合、函数、方程、数列、几何等多个领域，例如在数列中，对原数列每一项进行不同组合都会产生一个新的数列，产生新的性质；在立体几何中，可以用排列组合方法来统计某些立体图形内的顶点数、边数、面数、异面直线对数、正交线面对数等等，比直接数数要便利，尤其是在很难画清图形的情况下；排列组合也为概率统计学习如二项分布、古典概率计算等提供了必要的基础。

所以，排列组合的学习不应当是孤立的，在培养数学优秀生时应当重视其在思维训练中的重要价值。

排列组合问题内容抽象、类型繁多、解法灵活，所以历来是教师教学中比较困难的部分，也是广大学生极易犯错，却很难纠正的一个学习主题。

总结一下，最常被提到的有以下几个难点：

（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；

（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；

（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；

（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力，采用缩小数据和一题多解等方法加以检验。

基于此，在学完基本的原理与公式后，更需要学生自我探究与感悟，达到真正的理解。

同时，教师也要倾听学生的想法，以便及时了解和帮助学生学习。

荷兰数学家弗赖登塔尔认为（张奠宙，李士锜，李俊，2003，第39页）：

（1）数学起源于现实,数学教育必须基于学生的“数学现实”，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。

数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。

（2）学生学习数学是一个“再创造”的过程。

学生不是被动地接受知识，而是在创造，把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍。

弗赖登塔尔“数学现实”的基本出发点是“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并应用于现实”。

他所说的“数学现实”是客观现实与人的数学认识的统一体，而且每个人都应该有自己的“数学现实”。

所以每个学生在做排列组合题时都会有自己的问题，而发展“数学现实”就是应该从了解学生的错误出发，找到其原因，让其在这条道路上顺畅地走下去。

而教师的另一作用是启发学生自己想出更多的途径，达到主动探究，主动学习。

这样，学生才能在比较中选择最为合理的方法，实现对数学的“再创造”过程。

由此看来，排列组合无论是其历史渊源、当今社会地位及高中数学教育中的作用都是不容小觑的，但教师难教、学生易错也确实是我们面临的难题，对排列组合学习中学生的错误及成因研究是很有必要的。

1.2研究问题

鉴于排列组合在高中数学及现实世界中的重要性，以及师生在这一章节的教与学均存在一定困难，所以笔者决定以高二学生对排列组合的认知错误为研究主题。

具体来说，主要采取问卷测试和访谈的方法，深入了解学生在解排列组合题时的常见错误及主要原因。

笔者主要关注以下两个方面：

1.高中学生在学习排列组合时有哪些常见错误？

2.导致高中生发生错误的主要原因有哪些？

1.3研究意义

解排列组合综合题常常需要学生具备良好的语言理解能力、扎实的数学知识功底、过硬的计算能力等，因为计数结果庞大，学生往往无法检查答案的正确性，思考时也容易出现错误，降低了学生做题的兴趣。

这不仅让很多学生惧怕排列组合题，也给教师的教学带来了很多阻碍。

排列组合问题对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，同一个答案可以有多种思考途径到达，除了结论的对错外，很难有其他严格证明的方式去验证。

教师自己解答题目不一定有困难，但是要发现学生思考中的问题却是一个不小的挑战。

因此，对排列组合的教和学生的学进行深入研究并提出改进建议是很有必要的。

虽然中外文献中涉及排列组合知识和教学的为数不少，很多期刊论文也分析了学生常见的错误，但是国内文章很少是基于实证研究的。

本文希望能结合文献研究与对学生的测试调查来找出学生在求解排列组合问题中的常见错误表现，确认、修改和补充已有文献关于学生在排列组合学习中的主要困难，让我们更加了解学生的“数学现实”。

这是笔者想要了解的第一方面。

通过测试和访谈的方式了解学生的真实想法是什么？

到底是什么原因让学生出现这些错误？

学生希望教师做何教学改进？

这是笔者想要了解的第二方面。

最后，在上述研究的基础上，笔者将对本主题的教学提出具体的有针对性的建议，以促进教师改进教学。

第二章

文献综述

本章主要从四个方面着手，对相关文献进行综述。

第一个方面是“关于排列组合问题模型”；第二个方面是“课程中的排列组合知识及其要求”；第三个方面是“常见的错误类型及其成因”；最后一个方面是“关于排列组合教学”。

2.1关于排列组合问题模型

由于排列组合问题常常是文字描述相近但却可能分属于完全不同的类型，因此教学中一般都采用分类讲模型的办法，所以，应该对文献中的问题归类作一个梳理。

指导求解排列组合问题的文章较多。

国内常见的排列组合题型归类主要有以下几种：

特殊元素与特殊位置问题、相邻问题、相离问题、定序问题、分组分配问题、配对问题、多排问题（对象站成多排进行排队）、环排问题、相同元素排列问题（参与排列的部分元素完全相同）等等，每种问题都有相应的解题策略。

这种教法因为问题之间缺乏联系，类型多而且要仔细地根据问题的特征来判断，不容易准确记忆，学生普遍感觉难学。

于是课程标准通过限制问题中最多只能出现两个约束条件和不讨论重复排列问题的办法降低课程难度，而上述归类中的多排问题、环排问题和相同元素排列问题都不在现行课标范围内。

相对国内的分类，笔者发现Dubois（1984）的分法比较清晰。

Dubois首先将排列组合问题分为三大类：

选取模型（selectionmodel），分配模型（distributionmodel）和分割模型（partitionmodel），再将选取模型分为4个小类，分配模型分为6个小类，下面作具体介绍。

选取模型借用了抽样概念，它是指“从一个有m个元素的集合中选取n个元素”的问题。

在选取模型下，分别对应以下几种可能性：

表2-1选取模型的四种可能性

样本有序

样本无序

放回

不放回

其中

表示从m个元素中有放回地取n个元素的排列，

表示从m个元素中取n个元素的排列，

表示从m个元素中有放回地取n个元素的组合，

表示从m个元素中取n个元素的组合。

分配模型则是借用映射的概念，它是指“将集合中的n个元素分配进m个容器”。

在分配模型下Dubois（1984）提出6种基本模型：

（1）不同元素在不同容器间的有序分配；

（2）不同元素在相同容器间的有序分配；

（3）不同元素在不同容器间的无序分配；

（4）不同元素在相同容器间的无序分配；

（5）相同元素在不同容器间的分配；（因为元素相同，顺序可忽略）

（6）相同元素在相同容器间的分配。

（顺序可忽略）

分割模型是指将一个有n个元素的集合分割为m个子集。

其与分配模型有相似之处，属于“不同元素在不同容器间的无序分配”,不同之处在于更强调每个容器内的元素个数，可以有容器内无元素，即空集，可以是各个容器内元素个数平均或不平均。

笔者发现，上述模型的叙述还有一个不足，既然选取模型的m个元素来自同一个集合，所以是不同的m个元素，这样就可以像我们教材中那样明确指出是“m个不同元素”，但是，分配模型若要包括（5）、（6）两种情况的话，就不能说“将集合中的n个相同元素”进行分配，否则会与集合的“互异性”有冲突。

因此，在模型的叙述上还需要作修改，应去掉集合的限制。

胡海霞（2006）在访谈4位在读教育硕士时发现，教师们并不知晓上述Dubois的三种模型，他们有自己的归类，如：

简单组合、简单排列、全排列、均匀分组、有序均匀分组、有重复元素的排列等等。

这样的分类也是“经验性的，缺乏理论指导，比较凌乱”（胡海霞，2006）。

我国20世纪80年代对排列组合的教学要求比较高，教学中常会出现有两个限制条件的问题，这两个限制条件还存在三种类型（胡兰田，1985）：

按照两个限制条件，所有元素被分成两个子集，若这两个子集是“相离”关系时，两个子集元素可独立选取，互不干扰；是“包含”关系时，可从里到外先后从各自的集合中选元素；是“相交”关系时，可任意从某一子集开始选，但需分为两类来选元素，一类为不属于

的元素，另一类为

中的元素。

例如：

问3000-8000之间有多少个没有重复数字的奇数。

这里千位可用数字3,4,5,6,7，个位可选数1,3,5,7,9，它们有交集

，所以两个限制条件是“相交”关系，要对个位数字分“选用3,5,7”和“选用1,9”这两种情况。

不过，我国现行教材中已经不讲这种高难度的问题了。

这是基于两个限制条件对排列组合问题作的进一步分类，对解决两个限制条件的问题很有指导意义。

2.2课程中的排列组合知识及其要求

2.2.1课程标准及考纲要求

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》和《2018年上海高考数学考纲》中对排列组合的要求总结如表2-2。

表2-2课程标准和考纲要求

学习内容

考纲要求

课程标准要求

乘法原理

掌握乘法原理

通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单。

说明：

排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。

解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。

会利用计算器求排列数和组合数

排列与排列数

掌握排列的概念及其计算。

会用常见方法（包括枚举法）解排列的问题。

会利用计算器求排列数

组合与组合数

掌握组合的概念及其计算。

会用常见方法（包括枚举法）解组合的