三角形内角和定理教案教案.docx
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三角形内角和定理教案教案
7.5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
1.理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程;(重点)
2.能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明.(难点)
一、情境导入
星期天,小明和几位同学一起做作业时,其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了.小明将两个角和剩余的一个角放在一起,发现这三个角之和是一个平角.我们知道一个平角是180°,即这个三角形的三个内角之和为180°,那其他的三角形也是这样吗?
如何证明呢?
下面让我们一起进入本节的学习,一起探究如何证明三角形的内角和等于180°.
二、合作探究
探究点一:
三角形内角和定理
在△ABC中,如果∠A=
∠B=
∠C,求∠A、∠B、∠C分别等于多少度?
解析:
这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题,由已知得∠B=∠C=2∠A.因此可以先求∠A,再求∠B、∠C.
解:
∵∠A=
∠B=
∠C(已知),∴∠B=∠C=2∠A(等式的性质).∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A+2∠A+2∠A=180°(等量代换).∴∠A=36°,∠B=72°,∠C=72°.
方法总结:
求三角形内角度数时,要充分利用各角之间的关系,用其中一个角表示另外两个角,再借助三角形的内角和定理构建方程.
探究点二:
三角形内角和定理的证明
已知:
如图,在△ABC中.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°.
解析:
要证明三角形的内角和是180°,需要从涉及180°角的知识去考虑,涉及180°角的知识有:
①平角;②邻补角;③两直线平行下的同旁内角.可从这三个方面分别考虑,添加辅助线.
证明:
证法1:
(如图①)过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).
证法2:
(如图②)过点C作CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B+∠BCE=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠BCE=∠BCA+∠1,∴∠B+∠BCA+∠1=180°(等量代换),∴∠B+∠BAC+∠A=180°(等量代换).
证法3:
(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC,RP∥AB,交AB于Q,交AC于R,则∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,同位角相等).∠A=∠BQP=∠QPR(两直线平行,同位角相等,内错角相等).∵∠1+∠2+∠QPR=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
方法总结:
三角形内角和定理的证明方法很多,但指导思想都是通过添加辅助线,利用平行线的性质,把三角形三个内角集中起来.
探究点三:
三角形内角和定理的应用
如图,已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗?
你能运用三角形的内角和定理证明吗?
解析:
我们可以通过先添加辅助线将五边形分割成几个三角形,再利用三角形的内角和定理进行证明.
解:
五边形的内角和等于540°.证明如下:
如图,连接AC,AD.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠B=180°,∠3+∠4+∠5=180°,∠6+∠7+∠E=180°,∴∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠E=540°.又∵∠1+∠5+∠7=∠BAE,∠2+∠3=∠BCD,∠4+∠6=∠CDE,∴∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°.∴五边形的内角和等于540°.
方法总结:
求多边形的内角和时,通常利用一个顶角与其他顶角的连线将其分割成几个三角形,转化为三角形的内角和来解决.
三、板书设计
三角形内,角和定理)
通过自主探究与合作交流的学习方式,使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力;用多种方法证明三角形内角和定理,培养学生一题多解的能力;对比过去撕纸等探索过程,体会几何证明的严密性和数学的严谨性,培养学生的逻辑推理能力.
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?
学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:
由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:
利用正比例函数的定义确定表达式:
自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:
先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:
设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:
根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:
设正比例函数的表达式为y1=k1x,一次函数的表达式为y2=k2x+b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k1,3=4k2+b.∴k1=
,即正比例函数的表达式为y=
x.∵OA=
=5,且OA=2OB,∴OB=
.∵点B在y轴的负半轴上,∴B点的坐标为(0,-
).又∵点B在一次函数y2=k2x+b的图象上,∴-
=b,代入3=4k2+b中,得k2=
.∴一次函数的表达式为y2=
x-
.
方法总结:
根据图象确定一次函数的表达式的方法:
从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
解析:
从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:
由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:
解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
2.2 平方根
第1课时 算术平方根
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根;(重点)
2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;(重点)
3.了解算术平方根的性质.(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过:
由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大正方形,那么有a2=2,a=________,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫做x的平方,反过来x叫做a的什么呢?
二、合作探究
探究点一:
算术平方根的概念
【类型一】求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根:
(1)64;
(2)2
;(3)0.36;(4)
.
解析:
根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根,只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可.
解:
(1)∵82=64,∴64的算术平方根是8;
(2)∵(
)2=
=2
,∴2
的算术平方根是
;
(3)∵0.62=0.36,∴0.36的算术平方根是0.6;
(4)∵
=
,又92=81,∴
=9,而32=9,∴
的算术平方根是3.
方法总结:
(1)求一个数的算术平方根时,首先要弄清是求哪个数的算术平方根,分清求
与81的算术平方根的不同意义,不要被表面现象迷惑.
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算,因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.
【类型二】利用算术平方根的定义求值
3+a的算术平方根是5,求a的值.
解析:
先根据算术平方根的定义,求出3+a的值,再求a.
解:
因为52=25,所以25的算术平方根是5,即3+a=25,所以a=22.
方法总结:
已知一个数的算术平方根,可以根据平方运算来解题.
探究点二:
算术平方根的性质
【类型一】含算术平方根式子的运算
计算:
+
-
.
解析:
首先根据算术平方根的定义进行开方运算,再进行加减运算.
解:
+
-
=7+5-15=-3.
方法总结:
解题时容易出现如
=
+
的错误.
【类型二】算术平方根的非负性
已知x,y为有理数,且
+3(y-2)2=0,求x-y的值.
解析:
算术平方根和完全平方式都具有非负性,即
≥0,a2≥0,由几个非负数相加和为0,可得每一个非负数都为0,由此可求出x和y的值,进而求得答案.
解:
由题意可得x-1=0,y-2=0,所以x=1,y=2.所以x-y=1-2=-1.
方法总结:
算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性,即
≥0,|a|≥0,a2≥0,当几个非负数的和为0时,各数均为0.
三、板书设计
算术平方根
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教学过程中要做到:
讲清概念,加强训练,逐步深化.
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?
学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:
由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:
利用正比例函数的定义确定表达式:
自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:
先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:
设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:
根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:
设正比例函数的表达式为y1=k1x,一次函数的表达式为y2=k2x+b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k1,3=4k2+b.∴k1=
,即正比例函数的表达式为y=
x.∵OA=
=5,且OA=2OB,∴OB=
.∵点B在y轴的负半轴上,∴B点的坐标为(0,-
).又∵点B在一次函数y2=k2x+b的图象上,∴-
=b,代入3=4k2+b中,得k2=
.∴一次函数的表达式为y2=
x-
.
方法总结:
根据图象确定一次函数的表达式的方法:
从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
解析:
从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:
由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:
解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.