最新高三数学二轮专题复习教案函数名师优秀教案.docx
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最新高三数学二轮专题复习教案函数名师优秀教案
2009届高三数学二轮专题复习教案――函数
一、本章知识结构:
指数函对数函数数函数的表示法基本初等函数:
幂函数;二次函数函数的三要素映射函数指数函数;对数函数
函数的性质初等函数反函数
函数的应用
二、考点回顾
1.理解函数的概念,了解映射的概念.
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法,
并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.
4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.7、掌握函数零点的概念,用二分法求函数的近似解,会应用函数知识解决一些实际问题。
三、经典例题剖析
考点一:
函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的
深入理解上下功夫.
复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,
在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用
问题的过程中得以深化.具体要求是:
1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间
的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.
2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,
归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.
3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方
法解决问题的能力.
函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函
数图像要注意以下方面。
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题.
3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.例1、(2008广东汕头二模)设集合A={x|x<-1或x>1},B={x|log2x>0},则A?
B=()
A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x<-1或x>1}
【解析】:
由集合B得x>1,?
A?
B={x|x>1},故选(A)。
[点评]本题主要考查对数函数图象的性质,是函数与集合结合的试题,难度不大,属基础
题。
例2、(2008广东惠州一模)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:
领先的兔子看着慢慢爬行的
乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已
晚,乌龟还是先到达了终点„用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是()
【解析】:
选(B),在(B)中,乌龟到达终点时,兔子在同一时间的路程比乌龟短。
[点评]函数图象是近年高考的热点的试题,考查函数图象的实际应用,考查学生解决问题、ABCD分析问题的能力,在复习时应引起重视。
1,x例3、(2008年广东惠州一模)设fx,,,1,x,又记
fxfxfxffxk,,,,,1,2,,fx,,,,,,,,,,,,,11kk,2008则()
1,xx,11,xx1,xx,1A.;B.;C.;D.;
1,f11,x1fxfx,,,,,,,,,1211,,xfx1【解析】:
本题考查周期函数的运算。
,
1,f1,fx,13211,xfxfxx,,,,,,,,,34fxfx,,,,,,,,4142nn,,111,,,fxf231,xx,据此,,
x,1fxfxx,,,,,,,434nn,20084nCx,1,因为型,故选.
[点评]本题考查复合函数的求法,以及是函数周期性,考查学生观察问题的能力,通过观
察,关于总结、归纳,要有从特殊到一般的思想。
3fxxxxR()sin1(),,,,fa()2,fa(),例4、(2008福建文科高考试题)函数,若,则的值为()A.3B.0C.-1D.-2
3fxxx()1sin,,,fa()2,fa()11,,【解析】:
?
为奇函数,又
fa()11,,,,fa()0,,即.
[点评]本题考查函数的奇偶性,考查学生观察问题的能力,通过观察能够发现如何通过变
换式子与学过的知识相联系,使问题迎刃而解。
故
1,,x,1,1,xfx(),,
,,xx11,?
例5、(2008广东高考试题)设,k,R,函数,Fxfxkx()(),,Fx()x,R,,试讨论函数的单调性.
1,,,kx,1,2,1
(1),x,,,,kxx,1,Fx'(),,,1,xFxfxkx()(),,,1,,,,,kx,1,,,,,,,xkxx1,1,21x,【解析】,,
1Fxkxx()
(1),,,1,x对于,
Fx()(,1),,k,0当时,函数在上是增函数;
11(1,1),(,1),,,kFx()kk,0当时,函数在上是减函数,在上是增函数;
1Fxkx()
(1),,,,
21x,对于,
1,,,,,Fx()k,0当时,函数在上是减函数;
11,,,,1,1,1,,,,,,,,224k4kFx(),,,,k,0当时,函数在上是减函数,在上是增函数。
[点评]在处理函数单调性的证明时,可以充分利用基本函数的性质直接处理,但学习了导
数后,函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起,利用导数的性质来处理函数的单调进
性,显得更加简单、方便。
考点二:
二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方
程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了.学习二次函数,可以从两个方面入手:
一是解析式,二是图像特征.从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征
出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例6、设二次函数,方程的两个根满足
.当时,证明.【解析】:
在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出,,fx,xf(x)的表达式,从而得到函数的表达式.函数
f(x),x,a(x,x)(x,x)12证明:
由题意可知.
1?
0,x,x,x,12a,
a(x,x)(x,x),012?
,
f(x),x?
当时,.
f(x),x,a(x,x)(x,x),x,x,(x,x)(ax,ax,1)112112又,x,x,0,且ax,ax,1,1,ax,0,122
f(x),x1?
,
综上可知,所给问题获证.
[点评]:
本题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式
,,,,y,ax,xx,x.12。
2fxxaxa(),,,fxx()0,,例7、(2007湖北文科高考试题)设二次函数,方程的两根
01,,,xxxx1212和满足.
a(I)求实数的取值范围;
1
fff(0)
(1)(0),16与的大小.并说明理由.
2gxfxxxaxa()()
(1),,,,,,【解析】法1:
(?
)令,(II)试比较
,0,,
1,a,01,,,,,a,0,2,,,g
(1)0,,,,,,11a,,,,g(0)0,,,,aa,,,,322322,或,则由题意可得,,,,,0322a.
(0322),,a故所求实数的取值范围是.
22fffgga(0)
(1)(0)(0)
(1)2,,,haa()2,(II),令.
ha()a,0当时,单调增加,
20()(322)2(322)2(17122),,,,,,,hah0322,,,a?
当时,111,,2fff(0)
(1)(0),,1617122,16,即.
法2:
(I)同解法1.
2fffgga(0)
(1)(0)(0)
(1)2,,,0322,,,a(II),由(I)知,
4210a,,,?
411221702a,,,,.又于是
111222(321)(421)(421)0aaaa,,,,,,,161616,
11220a,,fff(0)
(1)(0),,1616即,故.
2xaxa,,,,
(1)0fxx()0,,,法3:
(I)方程,由韦达定理得
,0,,
xx,,0,12,,010,,,,,xxxx,1212,
12
(1)
(1)0,,,,xx,,12,,,,
(1)
(1)0xxxxa,,,1xxa,,1212,,于是
a,0,
,,a1,,
aa,,,,322322或,,,,,0322a.
(0322),,a故所求实数的取值范围是.
gxxxxx()()(),,,01,,,xx1212(II)依题意可设,则由,得fffggxxxxxxxx(0)
(1)(0)(0)
(1)
(1)
(1)[
(1)][
(1)],,,,,,,,12121122
22xxxx,,,,111,,,,11122,,fff(0)
(1)(0),,,,,,2216,,,,16,故.[点评]本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理和
运算能力.
考点三:
指数函数与对数函数
指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数,高考中既考查双基,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.因此应做到能熟练掌握它们的图
象与性质并能进行一定的综合运用.
x例8、(2008山东文科高考试题)已知函数fxbaa()log(21)(01),,,,,,a的图象如
ab,图所示,则满足的关系是()y
xO,1,101,,,ab01,,,baA.B.
1,1,,1101,,,ba01,,,abC.D.
1xyb,,,,,,01log0,?
,01;aa,1,a【解析】:
由图易得取特殊点
1,,,,,,1logloglog10,b,1aaa?
,,01aba.选A.[点评]:
本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
aa,2fxx()log,,,aa,1例9、(2007全国?
高考试题)设,函数在区间上的最大值与最
1
2a,小值之差为,则()
22224A.B.C.D.
fxx()log,[,2]aaaa,1【解析】:
设,函数在区间上的最大值与最小值分别为
11log2,alog2,log1aa,2a,aa2,它们的差为,?
,4,选D。
13xeaxbxcx,,,,
(1)ln2lnln,,,,例10、(2008全国?
高考试题)若,则()accaaccabbbbA.<
1t,,,1ace,x,1,,1,lnx,0t,lnxb【解析】:
由2,令且取知<<考点四:
反函数
反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题,难度不大。
通常是求反函数或考察互为反函数
的两个函数的性质应用和图象关系。
主要利用方法为:
反函数的概念及求解步骤:
?
由方程y=,(x)中解出x=,(y);即用y的代数式表示x.。
?
改写字母x和y,得出y=,-1(x);?
求出或写出反函数的定义域,(亦即y=,(x)的值域)。
即反解,互换,求定义域
互为反函数的两个函数的图象之间的关系,
互为反函数的两个函数性质之间的关系:
注意:
在定义域内严格单调的函数必有反函数,但
1存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调,如y=。
x
x例11、(2007北京高考试题)函数fxx()3(02),,?
的反函数的定义域为()(0),,,(19],(01),[9),,,A.B.C.D.
xfxx()3(02),,?
【解析】:
函数的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为
(19],,?
选B。
[点评]:
本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系,即:
反函数的定义域为原函数
的值域。
1yfx,()yfx,()yxfx,,()例12、(2008湖南高考试题)设函数存在反函数,且函数
1yfxx,,()的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点.
yxfx,,()f
(1)1,,,yfx,()(1,1),,【解析】由函数的图象过点(1,2)得:
即函数过点
1yfxx,,()(1,1),,(1,2).,则其反函数过点所以函数的图象一定过点[点评]:
本题考查互为反函数的两个函数的图象之间的关系以及图象的平移。
考点五:
抽象函数
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函
数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部
分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式
作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能
考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以
利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层
面去分析研究抽象函数问题,
(一)函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能
转化,化难为易,常用的解题方法有:
1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.
(二)特殊化方法
1、在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x等2、在求函数值时,可用特殊值代入
3、研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,
的解答提供思路和方法.
总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析
与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,
柳暗花明又一村的快感.fx()fxyfxfyxy()()()2,,,,R上的函数满足
例13、(2008陕西文)定义在xy,,Rf)21(,f
(2),(),,则等于()
A.2B.3C.6D.9
xyf,,,,0(0)0xyff,,,,,,1
(2)2
(1)26解:
令,令;xy,,,2,20(22)
(2)
(2)8
(2)8
(2)862,,,,,,,,,,,,,fffff令得
考点六:
函数的综合应用
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描述了自然界中
量的依存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画,用联系和变化的观点
提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系.因此,运动变化、相互联系、相互制约是
函数思想的精髓,掌握有关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法研究
函数的能力,树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键.
例14、(2008广东高考试题)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造
一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。
经测算,如果将楼房建为x(x,10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:
元)。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,
该楼房应建为多少层?
购地总费用
建筑总面积(注:
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)
y【解析】:
设楼房每平方米的平均综合费为元,依题意得
21601000010800,*yxxxxN,,,,,,,,(56048)56048(10,)2000xx
1080010800,y,,48480,,22,y,0x,15xx,令,即,解得
,y,0y,0x,15015,,x当时,;当时,,则
y,2000yminx,15因此,当时,取得最小值,元.
答:
为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。
[点评]:
这是一题应用题,利用函数与导数的知识来解决问题。
利用导数,求函数的单调
性、求函数值域或最值是一种常用的方法.
例15、(2007湖北文科高考试题)某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432
件.如果降低价格,销售量可以增加,
且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x030?
?
x(单位:
元,)的平方成正比.
已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
x(I)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;
(II)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能
力.
2【解析】:
(?
)设商品降价xkx元,则多卖的商品数为,若记商品在一个星期的获利为fx(),
22fxxkxxkx()(309)(432)(21)(432),,,,,,,则依题意有,
2242,k?
k,6又由已知条件,,于是有,
32fxxxxx()61264329072[030],,,,,,,,所以.
2,fxxxxx()1825243218
(2)(12),,,,,,,,(?
)根据(?
),我们有.
x(212),02,1230,,,,,122
,,fx(),00
fx()极小极大
fx()f(0)9072,f(12)11264,x,12故时,达到极大值.因为,,
301218,,所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大.
[点评]:
本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实
际问题的能力.1f(x),lgx,考点七、函数的零点x的零点所在的区间是)
,,,,0,110,100(100,,,)A.例16、(2008山东荷泽模拟题)函数B.(1,10)C.D.
1
10解:
因为f
(1)=0-1<0,f(10)=1->0,即f
(1)•f(10)<0,所以函数f(x)在区间(1,10)之间有零点。
[点评]:
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)•f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有零点,函数的零点,二分法,函数的应用都是函数的重点内容。
2fxaxxa()223,,,,yfx,()例17、(2007广东高考题)已知a是实数,函数,如果函数在
区间[-1,1]上有零点,
求实数a的取值范围。
3
【解析】当a=0时,函数为f(x)=2x-3,其零点x=2不在区间[-1,1]上。
当a?
0时,函数f(x)在区间[-1,1]分为两种情况:
?
函数在区间[?
1,1]上只有一个零点,此时
,4,8a(,3,a),0,
f(,1)f
(1),(a,5)(a,1),0,
,4,8a(,3,a),0,,,1,1,,,1,或2a,
3,7
2解得1?
a?
5或a=
?
函数在区间[?
1,1]上有两个零点,此时
a,0a,0,,
,22,,,,,82440aa,,,,,82440aa,,
,11,,,,11,,,,11,,2a2a,,
f10,f10,,,,,,,
,f,,10f,,10,,,,,,或
3,7
2解得a,5或a<
综上所述,如果函数在区间[?
1,1]上有零点,那么实数a的取值范围为
3,7(-?
]?
[1,+?
)
2
四、方法总结与2009年高考预测
(一)思想方法总结
1.数形结合
2.分类讨论
3.函数与方程
(二)2009年高考预测
1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题,从试题上看,抽象函数和具体函数都有,有向抽象
函数发展的趋势,另外试题注重对转化思想的考查,且都综合地考查单调性与奇偶性.
2.考查与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变换、
伸缩变换、对称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结合思想来解
题的能力.
3.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查,大多以基本函数的
性质为依托,结合运算推理来解决.
4加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题,引进变量建立函数,运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识,发展能力.5、注意与导数结合考查函数的性质.
6、函数的应用,是与实际生活结合的试题,应加强重视。
五、复习建议
基本函数:
一次函数、二次函数、指数函数与对数函数,它们的图象与性质是函数的基石,
判断、证明与应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点,有单
一考查,也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点,应用函数知识解其他问题,
特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力,这类问题在高考中具有较强
2、在教师的组织和指导下,通过自己的主动探索获得数学知识,初步发展创新意识和实践能力。
的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等,这些方法构成了函数这一章应
(6)二次函数的图象:
是以直线x=h为对称轴,顶点坐标为(h,k)的抛物线。
(开口方向和大小由a来决定)用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性,这均符合高考试题改革的发展趋势.
①弦和直径:
弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径:
经过圆心的弦叫做直径。
特别在“函数”这一章中,数形结合的思想比比皆是,深刻理解和灵活运用这一思想方法,
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;①d直线L和⊙O相交.不仅会给解题带来方便,而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习函数时要注意:
30o45o60o1.深刻理解一些基本函数,如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质,对数与形的基
本关系能相互转化.
1、20以内退位减法。
2.掌握函数图象的基本变换,如平移、翻转、对称等.3.二次函数是初中、高中的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方
程、二次不等式有着密切的联系,要沟通这些知识之间的内在联系,灵活运用它们去解决有
9.直角三角形变焦关系:
关问题.
描述性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点,复习时应适当加强这方面的训练,做到条
本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动,即“分扣子”和“填数游戏”。
旨在综合运用所学的知识,从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类,发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式