最新高三数学二轮专题复习教案函数名师优秀教案.docx
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最新高三数学二轮专题复习教案函数名师优秀教案
2009届高三数学二轮专题复习教案――函数
一、本章知识结构：
指数函对数函数数函数的表示法基本初等函数：
幂函数；二次函数函数的三要素映射函数指数函数；对数函数
函数的性质初等函数反函数
函数的应用
二、考点回顾
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，
并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。
三、经典例题剖析
考点一：
函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的
深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，
在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用
问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间
的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，
归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方
法解决问题的能力．
函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函
数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A?
B=（）
A．{x|x>1}B．{x|x>0}C．{x|x<-1}D．{x|x<-1或x>1}
【解析】:
由集合B得x>1,？
A?
B={x|x>1}，故选（A）。
［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础
题。
例2、（2008广东惠州一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：
领先的兔子看着慢慢爬行的
乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已
晚，乌龟还是先到达了终点„用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）
【解析】：
选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。
［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、ABCD分析问题的能力，在复习时应引起重视。
1，x例3、（2008年广东惠州一模）设fx,，，1,x，又记
fxfxfxffxk,,,,,1,2,,fx,，，，，，，，，，，，，11kk，2008则（）
1，xx,11,xx1,xx，1A．；B．；C．；D．；
1，f11，x1fxfx,,,,,，，，，1211,,xfx1【解析】:
本题考查周期函数的运算。
，
1，f1，fx,13211，xfxfxx,,,,,，，，，34fxfx,,,,，，，，4142nn，，111,，,fxf231,xx，据此，，
x,1fxfxx,,,，，，，434nn，20084nCx，1，因为型，故选.
［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观
察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。
3fxxxxR（）sin1（）,，，,fa（）2,fa（）,例4、（2008福建文科高考试题）函数，若,则的值为（）A.3B.0C.-1D.-2
3fxxx（）1sin,,，fa（）2,fa（）11,,【解析】：
？
为奇函数，又
fa（）11,,,,fa（）0,,即.
［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变
换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。
故
1,，x,1,1,xfx（）,,
,,xx11，?
例5、（2008广东高考试题）设,k,R，函数，Fxfxkx（）（）,,Fx（）x,R，，试讨论函数的单调性．
1,,,kx,1,2,1
（1）,x,,,,kxx,1,Fx'（）,,,1,xFxfxkx（）（）,,,1,,,,,kx,1,,,,,,,xkxx1,1,21x,【解析】,,
1Fxkxx（）
（1）,,,1,x对于，
Fx（）（,1）,,k,0当时，函数在上是增函数；
11（1,1）,（,1）,,,kFx（）kk,0当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
1Fxkx（）
（1）,,,,
21x,对于，
1,，,，,Fx（）k,0当时，函数在上是减函数；
11，,，,1,1，1,，，,,,,,224k4kFx（），,，,k,0当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导
数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进
性，显得更加简单、方便。
考点二：
二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方
程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：
一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征
出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例6、设二次函数，方程的两个根满足
.当时，证明.【解析】：
在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出，，fx,xf（x）的表达式，从而得到函数的表达式.函数
f（x）,x,a（x,x）（x,x）12证明：
由题意可知.
1？
0,x,x,x,12a，
a（x,x）（x,x）,012?
，
f（x）,x?
当时，.
f（x）,x,a（x,x）（x,x），x,x,（x,x）（ax,ax，1）112112又，x,x,0,且ax,ax，1,1,ax,0,122
f（x）,x1?
，
综上可知，所给问题获证.
［点评］：
本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
，，，，y,ax,xx,x.12。
2fxxaxa（）,，，fxx（）0,,例7、（2007湖北文科高考试题）设二次函数，方程的两根
01,,,xxxx1212和满足．
a（I）求实数的取值范围；
1
fff（0）
（1）（0）,16与的大小．并说明理由．
2gxfxxxaxa（）（）
（1）,,,，,，【解析】法1：
（?
）令，（II）试比较
,0，,
1,a,01,,，,,a,0，2,,,g
（1）0,，,,,,11a，,,,g（0）0,，,,aa,,,，322322，或，则由题意可得,,,,,0322a．
（0322），,a故所求实数的取值范围是．
22fffgga（0）
（1）（0）（0）
（1）2,,,haa（）2,（II），令．
ha（）a,0当时，单调增加，
20（）（322）2（322）2（17122）,,,,,,,hah0322,,,a？
当时，111,,2fff（0）
（1）（0）,,1617122，16，即．
法2：
（I）同解法1．
2fffgga（0）
（1）（0）（0）
（1）2,,,0322,,,a（II），由（I）知，
4210a，,，?
411221702a,,,,．又于是
111222（321）（421）（421）0aaaa,,,,,，,161616，
11220a,,fff（0）
（1）（0）,,1616即，故．
2xaxa，,，,
（1）0fxx（）0,,,法3：
（I）方程，由韦达定理得
,0，,
xx，,0，12,,010,,,,,xxxx，1212,
12
（1）
（1）0,，,,xx，,12,,,,
（1）
（1）0xxxxa，,,1xxa,,1212，，于是
a,0，
,,a1，,
aa,,,，322322或,,,,,0322a．
（0322），,a故所求实数的取值范围是．
gxxxxx（）（）（）,,,01,,,xx1212（II）依题意可设，则由，得fffggxxxxxxxx（0）
（1）（0）（0）
（1）
（1）
（1）[
（1）][
（1）],,,,,,,,12121122
22xxxx，,，,111,,,,11122,,fff（0）
（1）（0）,,,,,,2216,,,,16，故．［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和
运算能力．
考点三：
指数函数与对数函数
指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数,高考中既考查双基,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.因此应做到能熟练掌握它们的图
象与性质并能进行一定的综合运用.
x例8、（2008山东文科高考试题）已知函数fxbaa（）log（21）（01）,，,,,，a的图象如
ab，图所示，则满足的关系是（）y
xO,1,101,,,ab01,,,baA．B．
1,1,,1101,,,ba01,,,abC．D．
1xyb,,,,,,01log0,？
,01;aa,1,a【解析】：
由图易得取特殊点
1,,,,,,1logloglog10,b,1aaa？
,,01aba.选A.［点评］：
本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
aa，2fxx（）log,,,aa,1例9、（2007全国?
高考试题）设，函数在区间上的最大值与最
1
2a,小值之差为，则（）
22224A．B．C．D．
fxx（）log,[,2]aaaa,1【解析】：
设，函数在区间上的最大值与最小值分别为
11log2,alog2,log1aa,2a,aa2，它们的差为，?
，4，选D。
13xeaxbxcx,,,,
（1）ln2lnln，，，，例10、（2008全国?
高考试题）若，则（）accaaccabbbbA．<1t,,,1ace,x,1,,1,lnx,0t,lnxb【解析】：
由2，令且取知<<考点四：
反函数
反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。
通常是求反函数或考察互为反函数
的两个函数的性质应用和图象关系。
主要利用方法为：
反函数的概念及求解步骤：
?
由方程y=,（x）中解出x=,（y）；即用y的代数式表示x.。
?
改写字母x和y，得出y=,-1（x）；?
求出或写出反函数的定义域，（亦即y=,（x）的值域）。
即反解,互换,求定义域
互为反函数的两个函数的图象之间的关系，
互为反函数的两个函数性质之间的关系：
注意：
在定义域内严格单调的函数必有反函数，但
1存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如y=。
x
x例11、（2007北京高考试题）函数fxx（）3（02）,,?
的反函数的定义域为（）（0），，,（19]，（01），[9），，,Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
xfxx（）3（02）,,?
【解析】：
函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为
（19]，，?
选B。
［点评］：
本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：
反函数的定义域为原函数
的值域。
1yfx,（）yfx,（）yxfx,,（）例12、（2008湖南高考试题）设函数存在反函数,且函数
1yfxx,,（）的图象过点（1,2）,则函数的图象一定过点.
yxfx,,（）f
（1）1,,,yfx,（）（1,1）,,【解析】由函数的图象过点（1,2）得:
即函数过点
1yfxx,,（）（1,1）,,（1,2）.,则其反函数过点所以函数的图象一定过点［点评］：
本题考查互为反函数的两个函数的图象之间的关系以及图象的平移。
考点五：
抽象函数
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函
数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部
分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式
作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能
考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以
利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层
面去分析研究抽象函数问题，
（一）函数性质法
函数的特征是通过其性质（如奇偶性，单调性周期性，特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能
转化，化难为易，常用的解题方法有:
1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.
（二）特殊化方法
1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等2、在求函数值时，可用特殊值代入
3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，
的解答提供思路和方法.
总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析
与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，
柳暗花明又一村的快感.fx（）fxyfxfyxy（）（）（）2，,，，R上的函数满足
例13、（2008陕西文）定义在xy，,Rf）21（,f
（2）,（），，则等于（）
A．2B．3C．6D．9
xyf,,,,0（0）0xyff,,,,，,1
（2）2
（1）26解：
令，令；xy,,,2,20（22）
（2）
（2）8
（2）8
（2）862,,,，,,,,,,,,,fffff令得
考点六：
函数的综合应用
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中
量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点
提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是
函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究
函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
例14、（2008广东高考试题）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造
一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为x（x,10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：
元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，
该楼房应建为多少层？
购地总费用
建筑总面积（注：
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
y【解析】：
设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得
21601000010800，*yxxxxN,，，,，，,,（56048）56048（10,）2000xx
1080010800,y,,48480,,22,y,0x,15xx，令，即，解得
,y,0y,0x,15015,,x当时，；当时，，则
y,2000yminx,15因此，当时，取得最小值，元.
答：
为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
［点评］：
这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。
利用导数，求函数的单调
性、求函数值域或最值是一种常用的方法.
例15、（2007湖北文科高考试题）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432
件.如果降低价格，销售量可以增加，
且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x030?
?
x（单位：
元，）的平方成正比.
已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
x（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能
力．
2【解析】：
（?
）设商品降价xkx元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为fx（），
22fxxkxxkx（）（309）（432）（21）（432）,,,，,,，则依题意有，
2242,k?
k,6又由已知条件，，于是有，
32fxxxxx（）61264329072[030],,，,，,，，所以．
2,fxxxxx（）1825243218
（2）（12）,,，,,,,,（?
）根据（?
），我们有．
x（212），02，1230，，，,,122
,,fx（），00
fx（）极小极大
fx（）f（0）9072,f（12）11264,x,12故时，达到极大值．因为，，
301218,,所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．
［点评］：
本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实
际问题的能力．1f（x）,lgx,考点七、函数的零点x的零点所在的区间是）
，，,,0,110,100（100,，,）A．例16、（2008山东荷泽模拟题）函数B．（1，10）C．D．
1
10解：
因为f
（1）＝0－1＜0，f（10）＝1－＞0，即f
（1）•f（10）＜0，所以函数f（x）在区间（1,10）之间有零点。
［点评］：
如果函数f（x）在区间［a，b］上连续，且f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。
2fxaxxa（）223,，,,yfx,（）例17、（2007广东高考题）已知a是实数，函数，如果函数在
区间[-1，1]上有零点，
求实数a的取值范围。
3
【解析】当a=0时，函数为f（x）=2x-3，其零点x=2不在区间[-1，1]上。
当a?
0时，函数f（x）在区间[-1，1]分为两种情况：
?
函数在区间[?
1，1]上只有一个零点，此时
,4,8a（,3,a）,0,
f（,1）f
（1）,（a,5）（a,1）,0,
,4,8a（,3,a）,0,,,1,1,,,1,或2a,
3,7
2解得1?
a?
5或a=
?
函数在区间[?
1，1]上有两个零点，此时
a,0a,0,,
,22,,，，,82440aa,,，，,82440aa,,
,11,,,,11,,,,11,,2a2a,,
f10,f10,,,，，，，
,f,,10f,,10，，，，,,或
3,7
2解得a,5或a<
综上所述，如果函数在区间[?
1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为
3,7（-?
]?
[1,+?
）
2
四、方法总结与2009年高考预测
（一）思想方法总结
1.数形结合
2.分类讨论
3.函数与方程
（二）2009年高考预测
1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象
函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.
2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、
伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解
题的能力.
3.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的
性质为依托，结合运算推理来解决.
4加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.5、注意与导数结合考查函数的性质.
6、函数的应用，是与实际生活结合的试题，应加强重视。
五、复习建议
基本函数：
一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，
判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单
一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，
特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强
2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。
的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应
（6）二次函数的图象：
是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。
（开口方向和大小由a来决定）用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.
①弦和直径：
弦：
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：
经过圆心的弦叫做直径。
特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d直线L和⊙O相交.不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习函数时要注意：
30o45o60o1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基
本关系能相互转化.
1、20以内退位减法。
2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方
程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有
9.直角三角形变焦关系：
关问题.
描述性定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条
本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。
旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式
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