中考数学一轮复习第3章一元一次方程.docx
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中考数学一轮复习第3章一元一次方程
2014年中考数学一轮复习
第三章一元一次方程
本章小结
小结1本章内容概览
本章的主要内容包括：
一元一次方程及其相关的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题．其课标要求是：
了解一元一次方程及其相关的概念和性质，掌握一元一次方程的解法和一般步骤，初步认识方程与现实生活的联系，建立列方程解决实际问题的数学模型，感受方程的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
小结2本章重点、难点：
本章重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题．难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程．
小结3本章学法点津
1．学好本章的关键在于正确理解方程及方程的解的概念和等式的两个性质，了解算术和代数的主导思想的区别及找准问题中的等量关系．
2．在学习本章时，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示数量关系，找到数量之间的等量关系就可列方程，即建立数学模型．“建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”是本章渗透的主要数学思想．另外，要加强练习，巩固好基础知识和基本技能．因为一元一次方程是最基本的代数方程，学好它对于后续学习（其他的方程以及不等式、函数等）具有重要的作用．
知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一灵活解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是：
（1）去分母；
（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．
例1解方程：
．
分析：
此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号．
解法1：
去中括号，得
．
去小括号，得
．
去分母，得2x－x＋1=4x－2．移项，得2x－x－4x＝－2－1．
合并同类项，得－3x＝－3．系数化为1，得x＝1．
解法2：
方程两边同乘6，得
．
去中括号，得2x－（x－1）=4（x－
）．去小括号，得2x－x＋1=4x－2．
移项，得2x－x－4x=－2－1．合并同类项，得－3x＝－3．系数化为1，得x＝1．
点拨
若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外（或由外向内）去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误.
例2解方程：
．
分析：
本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把
拆成
，把
拆成
来解．
解：
原方程可写成
=1.
约分，移项，得
合并同类项，得－x＝
.系数化为1，得x＝－
.
评注
本题采用的是“拆项法”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用．
题型二方程的解的应用
例3关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是（）
A．10B．－8C．－10D．8
解析：
解方程2x－4=3m，得x=
．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解相同，得
＝m－2，解得m＝－8．
答案：
B
例4已知y＝3是6＋
（m－y）＝2y的解，那么关于x的方程2m（x－1）＝（m＋1）（3x－4）的解是多少?
分析：
把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．
解：
y＝3代入方程6＋
（m－y）＝2y，得6＋
（m－3）＝6．解得m＝3．
将m＝3代入2m（x－1）＝（m＋1）（3x－4），得
2×3（x－1）＝（3＋1）（3x－4）．解得x＝
.
方法
先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．
题型三一元一次方程的应用
例5一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．
分析：
如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为60
千米；当每小时走50千米时，则路程为50
千米．这时可用路程相等列出方程．
解：
设规定时间为x小时，根据题意，得60
=50
．
解得
．所以路程为6
=60×
＝95千米．
答：
路程为95千米．
例6某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：
“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：
“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?
分析：
（1）问分别用含x的式子表示y甲、y乙.
（2）问是当y甲=y乙时求x.
解：
（1）因为全票价为240元，所以半票价为120元，
这样甲旅行社收费为y甲＝120x＋240．
又因为全票价为240元，所以全票价的60％为240×
=144（元），
这样乙旅行社收费为y乙＝144x＋144．
（2）因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，
所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x＋240＝144x＋144．
解这个方程，得x＝4．
答：
当学生数为4时，两家旅行社收费一样．
例7某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?
分析：
假设每台彩电原价是x元，则提高40％后为（1＋40％）x元，八折为（1＋40％）x·80％元，也就是现售价为（1＋40％）x·80％元．
解：
设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得
x（1＋40％）·80％－x＝270，解得x＝2250．
答：
每台彩电原价是2250元．
例8某中学租用两辆汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是5千米／时（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．
分析：
本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论．
解：
（1）
×3=
（时）=45（分）．
因为45＞42，所以不能在限定时间内到达考场．
（2）方案：
先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．
先将4人用车送到考场所需时间为
＝
（时）＝15（分）．
时另外4人步行了1．25千米，
此时他们与考场的距离为15－1．25＝13．75（千米）．
设汽车返回t（时）后与步行的4人相遇，则有5t＋60t=13．75，解得t=
．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是
小时．
所以用这一方案送这8人到考场共需15＋2×
×60≈40．4（分）＜42（分）．
所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到．
题型四图表类应用题
例9
（1）七年级
（1）班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?
若设有
人挑土，填写下表：
挑土
抬土
人数／人
扁担／根
即可知两个等量关系：
挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．
根据等量关系，列方程，解得x＝，因此挑土人数为，抬土人数为．
你能用其他方法计算这道题吗?
（2）如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗?
为什么?
分析：
有x人挑土，则用扁担x根，剩余的（43－x）人抬土，需用扁担数为
（43－x）根，可列方程为x＋
（43－x）＝30，解得x＝17，即有挑土人数为17，抬土人数为43－17=26．还可以利用“挑土人数＋抬土人数＝43人”列方程．
解：
（1）列表如下：
挑土
抬土
人数／人
x
43－x
扁担／根
x
（43－x）
x＋
（43－x）=30；17；17；26．
能．设挑土用x根扁担，则抬土用（30－x）根扁担，挑土用x人，抬土用2（30－x）人．
根据题意，得x＋2（30－x）＝43．解得x=17．
因此，挑土人数为17，抬土人数为2（30－17）＝26．
（2）不可以，因为若20根扁担用于挑土，则需20人＜43人；若20根扁担用于抬土，则需40人＜43人，因此，人员有剩余．所以参加劳动的人数不变，扁担数为20根不可以．
点拨
此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程．由生活常识可知，挑土1人用l根扁担，抬土2人用l根扁担．
例10下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．
甲商场商品进货单
电脑
供货单位
乙单位
品名
P4200
商品代码
DN—63DT
商品所属
电脑专柜
标价
5850元
折扣
八折
利润
210元
分析：
本题应先读懂图表所提供的信息，明确题目的条件和所求，此题等量关系为：
售价－进价=利润．
解：
设这台电脑的进价为x元．
根据题意，得5850×0．8－x＝210．解得x＝4470．
答：
这台电脑的进价为4470元．
注意
商品打八折后的售价等于标价×0．8．
思想方法归纳
方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：
1．转化思想
本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等．
例1已知方程3x2－9x＋m＝0的一个解是1，则m的值为．
分析：
根据方程解的定义，把方程的解x＝1代入方程成立，然后解关于m的方程即可．
解：
把x=1代入原方程，得3×12－9×1＋m＝0，解得m=6．答案：
6
方法
解题依据是方程的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程．
例2如果4x2＋3x－5＝kx2－20x＋20k是关于x的一元一次方程，那么k=，方程的解是．
解析：
要判断一个方程是不是一元一次方程，首先应先化为最简形式，原方程化为一般形式得（4－k）x2＋23x－5－20k＝0．由一元一次方程的定义知4－x＝0，解得k＝4．把k＝4代入方程得23x－85＝0，解得x＝
．答案：
4；x＝
技巧
判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义来判断．
2．方程思想
本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题．
解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．
例3某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人?
解：
设开学时甲班有x人，则乙班有（90－x）人，根据题意，得
x－4=（90－x＋4）×80％，5x－20＝360－4x＋16，即x＝44，90－x＝46．
答：
开学时甲班有44人，乙班有46人．
点拨
调配问题是：
一方增多，另一方要减少，注意变化前后的关系是列方程的关键．
例4如图3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积为（）
A．1280cm3B．2560cm3
C．3200cm3D．4000cm3
解析：
设甲容器的高度为xcm，则乙容器中水的高度为（x－8）cm．根据两容器中水的体积不变可得80x=100（x－8）．解得x＝40．所以甲容器的容积为80×40＝3200（cm3）．故选C．
答案：
C
点拨
在等积问题中，物体的形状改变了，但体积不变，根据体积相等列方程求解．
中考热点聚焦
考点1一元一次方程的解
考点突破：
在中考中对一元一次方程的解的考查，一般以填空题的形式出现．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解决此类问题的思路是：
将解代入一元一次方程，转化成关于未知字母的方程，从而求解．
例1（2010·江苏宿迁中考）已知5是关于x的方程3x－2a＝7的解，则a的值为．
解析：
因为5是关于x的方程3x－2a＝7的解，所以3×5－2a＝7．所以a＝4．
答案：
4
例2（20l0·湖南怀化中考）已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是．
解析：
把x＝m代入3x－2m＝4，得3m－2m＝4，所以m＝4．答案：
4
考点2解一元一次方程
考点突破：
一元一次方程是初中数学方程与方程组的基础，是中考命题的重点，解一元一次方程一般难度不大，只要牢记解一元一次方程的步骤，就能求出正确的解．
例3（2010·福建泉州中考）方程2x＋8＝0的解是．
解析：
由2x＋8＝0，2x＝－8，得x＝－4．答案：
x＝－4
考点3一元一次方程的应用
考点突破：
一元一次方程在生活中应用广泛，一元一次方程的应用在中考中时常出现，解一元一次方程的应用题，要明确已知量与未知量，找出题目中的相等关系，就能列出元一次方程，进而求解．
一、选择题
1.（2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）
A．54盏B．55盏C．56盏D．57盏
考点：
一元一次方程的应用。
专题：
优选方案问题。
分析：
可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：
两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．
解答：
解：
设需更换的新型节能灯有x盏，则
70（x+1）=36×（106+1）
70x=3782，
x≈55
则需更换的新型节能灯有55盏．
故选B．
点评：
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意根据实际问题采取进1的近似数．
2.（2011山西，10，2分）“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：
一元一次方程
专题：
一元一次方程
分析：
成本价提高30%后标价为
，打8折后的售价为
．根据题意，列方程得
，故选A．
解答：
A
点评：
找出题中的等量关系，是列一元一次方程的关键．
3.（2011•柳州）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：
物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ）
A、17人B、21人
C、25人D、37人
考点：
一元一次方程的应用。
分析：
设这两种实验都做对的有x人，根据九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：
物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人可列方程求解．
解答：
解：
设这两种实验都做对的有x人，
（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，
x=21．
故都做对的有21人．
故选B．
点评：
本题考查理解题意的能力，关键是以人数做为等量关系列方程求解．
4.（2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是（）
A.
B.
C.289（1-2x）=256D.256（1-2x）=289
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【解答】解：
根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选答A．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答题案错看成B．
5.（2011•山西10，2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A、x（1+30%）×80%=2080B、x•30%•80%=2080
C、2080×30%×80%=xD、x•30%=2080×80%
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程。
分析：
设该电器的成本价为x元，根据按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元可列出方程．
解答：
解：
设该电器的成本价为x元，
x（1+30%）×80%=2080．
故选A．
点评：
本题考查理解题意的能力，以售价作为等量关系列方程求解．
6.（2011•铜仁地区4,3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？
设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程。
专题：
探究型。
分析：
先设他家到学校的路程是xkm，再把10分钟、5分钟化为小时的形式，根据题意列出方程，选出符合条件的正确选项即可．
解答：
解：
设他家到学校的路程是xkm，
∵10分钟=
小时5分钟=
小时，
∴
．
故选A．
点评：
本题考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，解答此题的关键是把10分钟、5分钟化为小时的形式，这是此题的易错点．
7.（2011广东深圳，6，3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）
A、100元B、105元C、108元D、118元
考点：
一元一次方程的应用．
专题：
方程思想．
分析：
根据题意，找出相等关系为，进价的（1+20%）等于标价200元的60%，设未知数列方程求解．
解答：
解：
设这件服装的进价为x元，依题意得：
（1+20%）x=200×60%，解得：
x=100，
故选：
A．
点评：
此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找出相等关系，进价的（1+20%）等于标价200元的60%．
二、填空题
1.（2011年湖南省湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为8x+38=50．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
专题：
应用题．
分析：
等量关系为：
买8个莲蓬的钱数+38=50，依此列方程求解即可．
解答：
解：
设每个莲蓬的价格为x元，根据题意得
8x+38=50．
故答案为：
8x+38=50．
点评：
考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据单价，数量，总价之间的关系列出方程是解题的关键．
2.（2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 24 ．
考点：
一元一次方程的应用；截一个几何体．
专题：
分类讨论；方程思想．
分析：
从三种情况进行分析：
（1）只有棱长为1的正方体；
（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体．
解答：
解：
棱长为4的正方体的体积为64，
如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；
如果有一个3×3×3的立方体（体积27），就只能有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；
所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体．
则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，
解方程：
x+8×（29﹣x）=64，
解得：
x=24．
所以小明分割的立方体应为：
棱长为1的24个，棱长为2的5个．
故答案为：
24．
点评：
本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解．
3.（2011陕西，14，3分）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售．若这款羊毛衫每件按原销售价的8折（即按原销售价的80％）销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为元．
考点：
一元一次方程的应用。
专题：
销售问题；方程思想。
分析：
此题的相等关系为，原价的80%等于销售价，依次列方程求解．
解答：
解：
设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得：
80%x=120，
解得：
x=150，
故答案为：
150元．
点评：
此题考查的是一元一次方程的应用，关键是确定相等关系列方程求解．
4.（2011重庆市，15，4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量
的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交
电费56元,则a=度.
考点：
一元一次方程的应用．
分析：
根据题中所给的关系，找到等量关系，由于共交电费56元，可列出方程求出a．
答案：
解：
由题意，得
0.5a+（100-a）×0.5×120%=56，
解得a=40．
故答案为：
40．
点评：
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．此题的关键是要知道每月用电量超过a度时，电费的计算方法为0.5×（1+20%）．
5.（2011黑龙江大庆，15，3分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价降低m元后，又降低20%，此时售价为n元，则该手机原价为
n+m 元．
考点：
一元一次方程的应用。
专题：
方程思想。
分析：
第一次降价后的价格为原价﹣m，第二次降价后的价格为第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分数），把相关数值代入即可．
解答：
解：
∵第一次降价后的价格为x﹣m，
∴第二次降价后的价格为（x﹣m）（1﹣20%），
∴根据第二次降价后的价格为n元可列方程为（x﹣m）（1﹣20%）=n，
∴x=
n+m．故答案为：
n+m．
点评：
考查列一元一次方程；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．
6.（2011黑龙江牡丹江，5，3分）某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%，这种商品每件标价是 240 元．
考点：
一元一次方程的应用。
分析：
设这种商品的标价是x元，根据某种商品每件的进价为180元
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