研究性课题多面体欧拉定理的发现.docx
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研究性课题多面体欧拉定理的发现
研究性课题：
多面体欧拉定理的发现
第一课时 欧拉定理
（一）
教学目标：
（一）教学知识点
1.简单多面体的V、E、F关系的发现.
2.欧拉公式的猜想.
3.欧拉公式的证明.
（二）能力训练要求
1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.
2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.
3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.
4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.
5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.
（三）德育渗透目标
1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.
2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.
教学重点 欧拉公式的发现.
教学难点 使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.
教学方法 指导学生自学法
首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.
以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.
教学过程
情境设置
欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。
种种磨难，并没有把欧拉搞垮。
大火以后他立即投入到新的创作之中。
资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。
他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。
他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。
数学方面：
他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式
、欧拉方程、欧拉常数
、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式
将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目
物理方面：
他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学，在光学上也有杰出的贡献，古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师，他研究了天文学，并与达朗贝尔、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，流体力学的创始人。
其它方面：
欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献。
如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度。
另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。
他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析，他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。
今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.
探索研究
问题1：
下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1
正多面体
顶点数V
面数F
棱数E
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
.20
12
30
正二十面体
12
20
30
观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。
教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。
表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？
不一定.
请举例说明.
如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.
此时棱的数目呢？
棱数都是一样的.
所以我们得到：
棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.
大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.
当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.
上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.
（积极验证，得出）
V+F－E=2
以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？
请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.
（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.
（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）
一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.
好，同学们现在想象，例如：
n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？
能证明吗？
所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n个，因2n+（2+n）－3n=2,故满足V+F－E=2这个关系式.
请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V＋F－E＝2
S
正多面体
顶点数
面 数
棱 数
五棱锥
四棱柱
五棱柱
四棱锥
六棱锥
八面体
七面体
十面体
（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）
观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？
其中哪些图形
符合？
一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？
问题1中的
（1）~（5）和问题2中的
（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.
请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？
问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面
像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.
请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？
棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.
简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F－E=2.
我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？
请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.
（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）
在欧拉公式中，令f（p）＝V＋F－E。
f（p）叫做欧拉示性数。
简单多面体的欧拉示性数
反思应用
例1用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.
解：
在三棱柱中：
V=6，F=5，E=9
∵6+5－9=2，∴V+F－E=2
在四棱锥中：
V=5，F=5，E=8
∵5+5－8=2，∴V+F－E=2
例2 一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，求这个简单多面体的面数.
解：
因为一个面都有3条边，每两条边合为1条棱.
所以它的面数F和棱数E之间有关系E=3F/2.又由欧拉公式V+F－E=2，且顶点数V=6.
∴F=E+2－V=E+2－6=3F/2－4
∴F=8
例3 证明：
没有棱数为7的简单多面体.
证明：
设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V，那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9.
又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4,
∴只能有两种情况：
（1）F=4，V=5或
（2）F=5，V=4
当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，故
（1）不可能；
当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面，故
（2）不可能.
∴没有棱数为7的简单多面体.
例4 已知一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
解：
∵F=12，V=8，
∴E=V+F－2=18
∵两个顶点处各有6条棱
∴余6条棱，6个顶点
而这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱应该各有4条.
注意：
本题也可以作为一个数学模型帮助我们去验证上述结果，即作一个六边形，在它所在面的两侧各取一个点，共8个顶点、12个面.从中体会构建数学模型对于解决问题的方便与直观.
例5 证明：
四面体的任何两个顶点的连线都是棱，而其他凸多面体都不具有这一
性质.
证明：
设多面体的顶点数V=n,则它们互相连接成的棱数E=n（n－1）/2
每一条棱是两个面的边界，每个面至少有3条棱作边界.
∴F≤
（n－1）=
（n－1）
∵V+F=E+2
∴n+
（n－1）≥
·（n－1）+2,
∴6n+2n（n－1）≥3n（n－1）+12,
∴n2－7n+12≤0,（n－3）（n－4）≤0.
∵n≥4,∴n=4.
例6 正n（n=4,8,20）面体的棱长为a,求它们表面积共同公式.
解：
∵正n（n=4,8,20）面体的面都是边长为a的正三角形.
∴S△=
a2
∴它们表面积的共同公式为
S全=n·
na2（其中n=4,8,20）
归纳总结
本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V+F－E=2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.
作业
（一）P69 习题9.10 1、2
1、已知，凸多面体的各面都是四边形，求证：
F=V－2
证明：
∵这个凸多面体每个面都是四边形，
∴每个面都是四条边.
又∵多面体相邻两面的两条边合为一条棱
∴E=
=2F，
将代入欧拉公式V+F－E=2中，得F=V－2
注意：
数学中可启发学生考虑：
各面是三角形或五边形的情况.
2、一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有F=2V－4的关系.
解：
∵V+F－E=2
又∵E=
，∴V+F－
=0，∴F=2V－4
（二）预习提纲
（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.
（2）如何用欧拉公式解决“有没有棱数是7的简单多面体？
”
（3）为什么正多面体只有五种呢？
第二课时 多面体欧拉公式的发现
（二）
教学目标
（一）教学知识点
1.欧拉公式的证明.
2.欧拉公式的应用.
（二）能力训练要求
1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.
2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.
（三）德育渗透目标
继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.
教学重点 欧拉公式的应用.
教学难点 欧拉公式的证明思路.
教学方法 学导式
本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.
教学过程
情境设置
上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.
探索研究
上节课我们已对课本P65的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？
将立体图形转化为平面图形.
下面我们运用拓扑变换的手段，将空间图形转化为平面图形进行证明
证法一：
（1）假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1，于是即证在网络中V－E+F=1.
（2）在网络中的多边形边数若大于3，由于每增加一条对角线，则E、F各加上1，V－E+F不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络.
（3）边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则V不变，E、F各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F、V各减少1，E减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉（如图）.
（4）最后剩下一个三角形，显然满足V－E+F=1，从而在凸多面体中，V－E+F=2.
证法二：
设F个面分别为n1,n2,…,nF边形，则所有面角总和
∑a=（n1－2）π+（n2－2）π+…+（nF－2）π=（n1+n2+…+nF）π－2Fπ
=2Eπ－2Fπ①
如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n边形，可得到一个由n边形围成的网络，内部有V－n个点.
则∑a=（n－2）π+（n－2）π+（V－n）2π=（n－2）2π+（V－n）2π②
由①、②易得我们所得到的式子.
欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：
顶点数+面数－棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.
反思应用
例1 1996年的诺贝尔奖授于对发现C60有重大贡献的三位科学家。
如图，C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能算出C60中有多少个五边形和六边形吗？
解：
设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个.
多面体的顶点数V=60，面数F=x+y,棱数E=
（3×60），根据欧拉公式，可得
60+（x+y）－
（3×60）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
（5x+6y）=
（3×60）
由以上两方程可解得
x=12,y=20
答：
C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.
小结：
解决上述的关键就是找等量关系，即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系.
再思考应用了数学的什么重要思想？
方程思想.
对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想.
对于解决
（2）的关键又是什么呢？
例2 已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：
V=2F－4.
欲求出V与F的关系，需结合已知条件寻找V与E的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？
因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V=2E即E=
V.又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以V+F－
V=2，
即2V+2F－3V=4.
故得V=2F－4.
以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.
下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类.
每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种：
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
对于“为什么只有五种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了.
例3 证明：
正多面体只有四种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.
解决这个问题，应从什么地方入手考虑？
从正多面体的定义考虑.
同学们翻开课本P65欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.
（学生自学，教师查看，解决学生疑难问题）
巩固训练
1、C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C70分子中五边形和六边形的个数.
答案：
设有x个五边形和y个六边形
∴F=x+y,∵E=
=105
∵V=70,E=
（5x+6y）
①
②
∵
解之得x=12,y=25
答：
C70分子中五边形为12个，六边形为25个.
2、设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为（V－2）·
360°.
证明：
设这一凸多面体的各面分别为n1,n2,…,nF边形，则各面多边形内角和是
（n1－2）·180°+（n2－2）·180°+…+（nF－2）·180°=（n1+n2+…+nF）·180°－2F·180°=（n1+n2+…+nF－2F）·180°
∵n1+n2+…+nF=2E， ∴原式=（E－F）·360°
∵V+F－E=2，∴E－F=V－2，∴原式=（V－2）·360°
3、简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数.
解：
设面数为F，顶点数为V，棱数为E.
∵每个面上有5条边，每两边合为一条棱
∴E=
，
又∵每个顶点处有3条棱，每2个顶点间只有1条棱.
∴E=
，V=
F.
又由欧拉公式V+F－E=2得
F+F－
=2
∴F=12，V=20，E=30.
归纳总结
本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.
作业 P69 习题9.10 3、4
3、求证：
如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.
证明：
设简单多面体的面数为F，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F个奇数的和.
即
.当把F个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则
棱数E=
因为E必须为整数，所以（偶数+F）能被2整除，又因为（偶数+F）中偶数能被2整除，所以F必须被2整除，即F必须为偶数.
.预习提纲
（1）怎样给球定义呢？
（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念.
（3）尝试归纳并证明球的性质.
（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度.
（5）你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？
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