届山东省临沂市蒙阴县实验中学高三上学期第二次月考数学文试题.docx

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届山东省临沂市蒙阴县实验中学高三上学期第二次月考数学文试题

2018-2019学年山东省蒙阴县实验中学高三第二次月考

数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知复数z满足（1﹣i）z=i（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）

A．﹣B．C．﹣iD．i

2．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若λ﹣与垂直，则λ等于（　　）

A．﹣2B．2C．﹣1D．1

3．集合A={x|log2x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B等于（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（3，4）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，4）

C．（1，4）D．（3，4）

4．对于一组数据1，2，3，4，5，如果将它们改变为11，12，13，14，15，则下列结论正确的是（　　）

A．平均数不变，方差变

B．平均数与方差均发生变化

C．平均数与方差均不变

D．平均数变，方差保持不变

5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为96、36，则输出的i为（　　）

A．4B．5C．6D．7

6．下列有关命题的说法正确的是（　　）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：

“若x2=1，则x≠1”

B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：

“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”

D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

7．设a=20.3，b=0.32，c=logx（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a

8．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]

C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）

9．一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（　　）

A．B．C．6πD．

10．若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0）使ax0+y0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1B．a≤﹣1C．a≥1D．a≥﹣1

11．函数在上的图象为（　　）

A．B．

C．D．

12．设A，B为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（　　）

A．2或B．3或C．D．3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设函数f（x）=，则函数f（log26）的值为　　．

14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，若sinα=，则cos（α+β）=　　．

15．已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=　　

16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，且b1=6，b2=9，则的最小值为　　．

三、解答题

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．

18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，∠ABC=90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．

（1）求证：

AB1⊥平面A1BC；

（2）若AC=5，BC=3，∠A1AB=60°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

19．（12分）在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：

分）与物理偏差y（单位：

分）之间的关系进行偏差分析，决定从全班40位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

数学偏差x

20

15

13

3

2

﹣5

﹣10

﹣18

物理偏差y

6.5

3.5

3.5

1.5

0.5

﹣0.5

﹣2.5

﹣3.5

（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）若这次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为92分，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．

参考公式：

，，

参考数据：

，．

20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：

以BD为直径的圆与直线PF恒相切．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣lnx，m，n∈R．

（1）若函数f（x）在（2，f

（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，求实数n的值；

（2）试讨论函数f（x）在区间[1，+∞）上最大值；

（3）若n=1时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：

x1+x2＞2．

选考题：

22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的普通方程；

（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

数学试卷（文科）答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．解：

由（1﹣i）z=i，得z=，

∴z的虚部为．故选：

B．

2．解：

平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），

∴λ﹣=（λ﹣4，﹣3λ+2），

又λ﹣与垂直，

∴（λ﹣）•=0，

∴（λ﹣4）﹣3（﹣3λ+2）=0，解得λ=1．故选：

D．

3．解：

∵集合A={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，

B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，

∴A∩B={x|3＜x＜4}=（3，4）．故选：

D．

4．解：

对于一组数据1，2，3，4，5，

平均数=（1+2+3+4+5）=3，

方差S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，

将它们改变为11，12，13，14，15，

平均数变为：

10+=13，

方差没变，还是2．故选：

D．

5．解：

由程序框图可知：

当a=96，b=36时，满足a＞b，则a=96﹣36=60，i=1

由a＞b，则a=60﹣36=24，i=2

由a＜b，则b=36﹣24=12，i=3

由a＞b，则a=24﹣12=12，i=4

由a=b=12，输出i=4．故选：

A．

6．解：

对于A：

命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：

“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．

对于B：

“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．

对于C：

命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：

“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．

因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．

由排除法得到D正确．故选：

D．

7．解：

∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，

∴1＜a＜2，

又∵b=0.32＜0.30=1，

∵x＞1，∴c=logx（x2+0.3）＞logxx2=2，

∴c＞a＞b．故选：

B．

8．解：

根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，

又由函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，

由f（m+2）≥f（x﹣1）可得|（m+2）﹣1|≤|（x﹣1）﹣1|，

即|m+1|≤|x﹣2|恒成立，

又由x∈[﹣1，0]，则2≤|x﹣2|≤3，

则有：

|m+1|≤2，

解可得﹣3≤m≤1；即m的取值范围为[﹣3，1]；故选：

A．

9．解：

几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，

其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，

故圆锥的母线长为，

所以几何体的表面积S=π×12+2π×2+π×1×=（5+）π．故选：

D．

10．解：

由题意作平面区域如下，

，

易知直线ax+y+2=0恒过点C（0，﹣2），

化简可得y=﹣ax﹣2，

结合图象可求得B（5，3），

故直线BC的斜率k==1，

故﹣a≥1，

故a≤﹣1，

故选：

B．

11．解：

函数的解析式满足f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数，排除C、D选项，

由可知：

|f（x）|≤1，排除A选项．

故选：

B．

12．解：

∵，则在y轴上的射影长为﹣1

而|AB|=3，因此A、B点所在的渐近线与y轴的夹角的余弦值为，正切值为2．

∴渐近线的斜率k=，

故当λ＞0时．，e=．

当λ＜0时，，e=．

故选：

B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．解：

∵函数f（x）=，

∴函数f（log26）=f（log26+1）=

=6×2=12．故答案为：

12．

14．解：

∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，且sinα=，

∴sinβ=，

若α为第一象限角，则cosα=，cosβ=，

此时cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=；

若α为第二象限角，则cosα=﹣，cosβ=，

此时cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=．

∴cos（α+β）=．

故答案为：

．

15．解：

根据题意，f（x）=alnx+x，则f（a）=alna+a，

又由f（x）=alnx+x，则f′（x）=+1，则有f′（a）=+1=2，

则曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线为y﹣（alna+a）=2（x﹣a），

又由曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，

则有﹣alna﹣a=﹣2a，解得a=e．故答案为：

e．

16．解：

设等差数列{an}的公差为d，

∵bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，

∴b1=a1+a2+a3=6，b2=a4+a5+a6=9，

∴b2﹣b1=3d+3d+3d=9﹣6，解得d=，

∴a1+a1++a1+=6，解得a1=，

∴Sn=na1+d=n+n（n﹣1）=，

∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+（3n﹣2﹣1）×++（3n﹣1﹣1）×++（3n﹣1）×=3n+3=3（n+1），

∴====（n++10）

≥（10+2）=8，当且仅当n=3时取等号，

故答案为：

8

三、17．解：

（Ⅰ）由已知得，

即有，

因为sinA≠0，

∴．

又cosB≠0，

∴．

又0＜B＜π，

∴，

∴．

（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2acosB．

因为，

有．

又0＜a＜1，

于是有，即有．

18．

（1）证明：

∵在平行四边形AA1B1B中，AA1=AB，

∴四边形A1ABB1是菱形，

∴AB1⊥A1B，

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，

平面A1ABB1∩平面ABC=AB，AB⊥BC，

∴BC⊥平面ABB1A1，又AB1⊂平面ABB1A1，

∴BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，

∴AB1⊥平面A1BC．

（2）解：

在Rt△ABC中，∵BC=3，AC=5，∴AB=4．

又AA1=AB=4，∠A1AB=60°，

∴△