B.若a>b>0，c<0，则<
C.若a>b，则（a＋c）2>（b＋c）2
D.若ab>0，则＋≥2
解析 对于A，当c＝0时不成立；对于B，由a>b>0，c<0，可知>；对于C，若a＝1，b＝－1，c＝0，则（a＋c）2>（b＋c）2显然不成立；由基本不等式可知D正确.
答案 D
4.
（2016·沈阳质量监测）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：
cm）可得这个几何体的体积是（ ）
A.cm3 B.cm3
C.3cm3 D.4cm3
解析 由三视图可得该几何体是一个四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为2，其体积为cm3，故选B.
答案 B
5.在空间直角坐标系O－xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，）.若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A.S1＝S2＝S3B.S2＝S1且S2≠S3
C.S3＝S1且S3≠S2D.S3＝S2且S3≠S1
解析
根据题目条件，在空间直角坐标系O－xyz中作出该三棱锥D－ABC，显然S1＝S△ABC＝×2×2＝2，S2＝S3＝×2×＝.
答案 D
6.在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A.B.C.D.2π
解析
过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.
答案 C
7.（2015·郑州质量预测）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.[－1，1）B.[0，2]C.[－2，2）D.[－1，2）
解析 由题意知g（x）＝因为g（x）有三个不同的零点，所以
2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2.由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1，2），所以选D.
答案 D
8.已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：
①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC＝.则其中的真命题是（ ）
A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③
解析 如图所示，易知∠AOC为二面角A－BD－C的平面角，即∠AOC＝60°，且AO＝OC，故△AOC为正三角形，即③正确；又BD⊥平面ACO，故BD⊥AC，即①正确；在△ADC中，知AD＝DC＝4，AC＝AO＝2，故利用余弦定理可解得cos∠ADC＝，故④正确.
答案 A
9.已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x＋1）＝－f（x），当－1≤x＜1时，f（x）＝x3，若函数g（x）＝f（x）－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A.∪（5，＋∞）B.∪
C.∪（5，7）D.∪[5，7）
解析 由f（x＋1）＝－f（x）得f（x＋1）＝－f（x＋2），因此f（x）＝f（x＋2），即函数f（x）是周期为2的周期函数.函数g（x）＝f（x）－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f（x）与h（x）＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论.若a＞1，则h（5）＝loga5＜1，即a＞5.
若0＜a＜1，则h（－5）＝loga5≥－1，即0＜a≤.
所以a的取值范围是∪（5，＋∞）.
答案 A
10.（2016·莱芜实验中学模拟）在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A.AD⊥平面PBC且三棱锥D－ABC的体积为
B.BD⊥平面PAC且三棱锥D－ABC的体积为
C.AD⊥平面PBC且三棱锥D－ABC的体积为
D.BD⊥平面PAC且三棱锥D－ABC的体积为
解析 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD，又由三视图可得，在△PAC中，PA＝AC＝4，D为PC的中点，所以AD⊥PC，又PC∩BC＝C，故AD⊥平面PBC.
又由三视图可知BC＝4，∠ADC＝90°，BC⊥平面PAC，
故VD－ABC＝VB－ADC＝××2×2×4＝.
答案 C
二、填空题
11.（2016·枣庄四校联考）已知向量a＝（sinθ，－2），b＝（cosθ，1），若a∥b，则tan2θ＝________.
解析 由a∥b得sinθ＝－2cosθ，所以tanθ＝－2，故tan2θ＝＝＝.
答案
12.（2016·唐山模拟）在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为________.
解析 过点G作EF∥AC交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB分别交AB，BC于点N，M，连接MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，∴＝，即EF＝MN＝2，＝＝，即FM＝EN＝2，∴截面的周长为2×4＝8.
答案 8
13.直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________.
解析 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∠ABC＝（180°－120°）＝30°，AM＝＝2，因此，R2＝22＋＝5.
所以球的表面积S＝4πR2＝20π.
答案 20π
14.（2016·太原模拟）已知在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h等于________.
解析 设正四棱锥P－ABCD的底面边长为a，因为PA＝2，所以＋h2＝12.即a2＝24－2h2，所以正四棱锥P－ABCD的体积V＝a2h＝8h－h3（h>0），V′＝8－2h2，令V′>0得02，所以当h＝2时，正四棱锥P－ABCD的体积取得最大值.
答案 2
三、解答题
15.（2016·烟台模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且函数f（x）＝2cosxsin（x－A）＋sinA在x＝处取得最大值.
（1）当x∈时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝7且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积.
解 ∵函数f（x）＝2cosxsin（x－A）＋sinA
＝2cosxsinxcosA－2cosxcosxsinA＋sinA
＝sin2xcosA－cos2xsinA＝sin（2x－A），
又函数f（x）在x＝处取得最大值.
∴2×－A＝2kπ＋，其中k∈Z.即A＝－2kπ，其中k∈Z.
（1）∵A∈（0，π），∴A＝，又x∈，∴2x－A∈，
∴－（2）由正弦定理得＝，则sinB＋sinC＝sinA，即＝×，∴b＋c＝13.
又a2＝b2＋c2－2bccosA＝（b＋c）2－2bc－2bccosA，
即49＝169－3bc，∴bc＝40.
故△ABC的面积S＝bcsinA＝×40×＝10.
16.（2016·浙江名校联考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，S5＝15，数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝bn.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记Tn为数列{bn}的前n项和，f（n）＝，试问f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
解
（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
解得a1＝1，d＝1，∴an＝n，由题意知＝，
∴数列是以＝为首项，为公比的等比数列，
∴＝，∴bn＝.
（2）由
（1）得Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋，
所以Tn＝2－，又Sn＝，
所以f（n）＝＝，
f（n＋1）－f（n）＝－＝，
当n≥3时，f（n＋1）－f（n）＜0，
当n＜3时，f（n＋1）－f（n）≥0，
又f
（1）＝1，f
（2）＝，f（3）＝，
∴f（n）存在最大值为.
17.
（2015·福建卷）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
（1）求证：
GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
（1）证明 如图①，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，
图①
所以GH∥AB，且GH＝AB.又F是CD的中点，
所以DF＝CD.由四边形ABCD是矩形，得
AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.
（2）解 如图②，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
图②
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）.
因为AB⊥平面BEC，
所以＝（0，0，2）为平面BEC的法向量.
设n＝（x，y，z）为平面AEF的法向量.
又＝（2，0，－2），＝（2，2，－1），
由得取z＝2，得n＝（2，－1，2）.
从而cos〈n，〉＝＝＝，
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
18.（2016·唐山质检）
如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
（1）求证：
AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.
（1）证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以AB∥平面PDE.
因为AB⊂平面ABF，
且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.
（2）解 因为PA⊥底面ABCDE，AB，AC⊂平面ABCDE，
所以PA⊥AB，PA⊥AE.
如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），F（0，1，1），＝（1，1，0）.
设平面ABF的法向量为n＝（x，y，z），则
即
令z＝1，则y＝－1.所以n＝（0，－1，1）.
设直线BC与平面ABF所成角为α，
则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.
设点H的坐标为（u，v，w）.因为点H在棱PC上，
所以可设＝λ（0＜λ＜1），
即（u，v，w－2）＝λ（2，1，－2），
所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.
因为n是平面ABF的法向量，所以n·＝0，
即（0，－1，1）·（2λ，λ，2－2λ）＝0.
解得λ＝，所以点H的坐标为.
所以PH＝＝2.
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