初中数学乘法公式.docx
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初中数学乘法公式
乘法公式
概念总汇
1、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即
（a+b）（a-b）=a2-b2
a
（1）几何解释平方差公式b
-b-
如右图所示：
边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
第一种：
用正方形的面积公式计算：
a2-b2;
第二种：
将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a+b）,宽为（a-b）,
它的面积是：
（a+b）（a-b）
结论：
第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：
a2—b2=（a+b）（a—b）。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只
有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公
式。
平方差公式的a和b,可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方
差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算
2、完全平方公式
完全平方公式：
两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两
倍，即
（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2
这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式
说明：
（1）几何解释完全平方（和）公式
如图用多种形式计算右图的面积
第一种：
把图形当做一个正方形来看，所以
它的面积就是：
（a+b）2
第二种：
把图形分割成由2个正方形和2个相同的
长方形来看，其中大正方形的的边长是a,小正方形
的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以
它的面积就是：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
结论：
第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积
所以：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）几何解释完全平方（差）公式
如图用多种形式计算阴影部分的面积
第一种：
把阴影部分当做一个正方形来看，所以
它的面积就是：
（a-b）2
第二种：
把图形分割成由2个正方形和2个相同的
ab->
长方形来看，S阴影=5大正方形-S小正方形-21方形
其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是（a-b）,宽是b,所以
它的面积就是：
a2-b2-2,a-bb=a2-2ab,b2
结论：
第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积
所以：
（a-b2=a2-2ab+b2
（3）在进行运算时，防止出现以下错误：
（a+b）2=a2+b2,（a-b）2=a2-b2。
要注意符
号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。
完全平方公
式的a和b,可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而
可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平
方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用
方法引导
1、乘法公式的基本计算
例1利用平方差公式计算：
（1）（3x+5y）（3x—5y）;
（2）（0.5b+a）（-0.5b+a）
（3）（-m+n）（-m—n）
^二__A
解：
（1）（3x+5y）（3x—5y）=（3x）2—（5y）2=9x2—25y2
JJJJ
（a+b）（a—b）=a2—b2
（2）（0.5b+a）（-0.5b+a）=（a+0.5b）（a—0.5b）=a2—0.25b2
JJJJ
（a+b）（a—b）=a2—b2
（3）（—m+n）（—m—n）=（—m）2—n2=m2—n2
（a+b）（a—b）=a2—b2
【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式
的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果
【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a,
不同项就是b和-b,所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式
【搭配练习】
用平方差公式计算
（1）（—0.25x—y）（—0.25x+y）
（2）（―2x+3y）（-2x-3y）
（3）（2x—5）（2x+5）—（2x+1）（2x—1）
例2利用完全平方公式计算
（1）（2a+3）2
（2）（0.5m—0.2n）2
（3）（-2x—3y）2（4）（1—3x）（3x-1）
难度等级：
A
解：
（1）（2a+32=（2a2+22a3+32=4a2+12a+9
JJJJ
（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）
0.5m-0.2n25m2-20.5m0,2n0,2n2=0.25m2-0.2mn0.04n2
JJJJ
（a-b2=a2-2ab+b2
（3）第一种解法：
-2x-3y2=-2x2-2-2x3y3y2=4x212xy9y2
JJJJ
（a—b2=a2—2ab+b2
第二种解法：
-2x-3y2-L2x3y2=2x3y2=2x222x3y3y2=4x212xy9y2
JJJJ
（a+b）2=a2+2ab+b2
（4）（1-3xpx-1）=-（3x-1px-1）
=-3x-12--13x2-23x112L-9x2-6x1L-9x26x-1
JJJJ
（a-b2=a2-2ab+b2
【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。
第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。
【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为
相反数的哥可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，
第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。
第四题表面上看
上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他
都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完
全平方式，但有一点还要注意的是
-（3x-12中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负
【搭配练习】
2、简便计算
例3利用平方差公式简便计算
（1）103X97⑵59.8>€0.2
难度等级;..…A
解：
（1）103X97=（100+3）（100—3）=1002—32=10000—9=9991
（2）59.8>60.2=（60—0.2）（60+0.2）=602-0.22=3600-0.04=3599.96
【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同
的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。
【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那么（103+97）及得到的就是第一个数，即公式中的a,（103-97）攵得到的就是第二个数,
即公式中的b
【搭配练习】
利用平方差公式简便计算
（1）899X901+1
（2）982
17
（3）14-x13-
88
例4利用乘法公式简便计算
（1）9972
（2）10092（3）942-101x99
难源等尊二A
解：
（1）
9972=1000-32=10002-21000332=1000000-60009=994009
（2）
10092=100092=1000221000981=10000001800081=1018081
（3）942-101^99=（100-62-（100+11100-1）
=1002-2100662-1002-12
2_2
=100-120036-1001
=-1200361
=-1163
【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差
乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式
【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平
方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种
【搭配练习】
利用乘法公式简便计算
9972-1001X999
例题讲解
（一）题型分类全析
例1:
下列计算正确的是（）
A.：
-4x•2x23x-1=一8x3-12x2-4xB.xyx2y2=x3y3
C.（-4a-114a—1）=1—16a2D.（x_2yf=x2-2xy+4y2
妈篁纹:
__A
【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）（2x2+3x-1）=-8x3-12x2+4x,所以
A错；利用多项式乘法法则，计算（x+y）（x2+y2）,得x3+xy2+x2y+y3,所以B也不对；利用平方差公式，有（-4a-1）（4a-1）=（-1-4a）（-1+4a）=（-1）2-（4a）2=1-16a2,所以C是正确的；由完全平方公式，得（x-2y）2=x2-4y+4y2,所以D错.因此，选C.
解：
C
【阅读笔记】整式的乘法包括哥的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。
【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。
在做题时可以每道
都做一遍，验证正确或错误的选项。
【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就
是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。
【搭配练习】
1、下列关系式中，正确的是（）
A.（a—b）2=a2-b2B.（a+b）（a-b）=a2-b2
C.（a+b）2=a2+b2D.（a+b）2=a2-2ab+b2
2、下列计算正确的是（）
A.（a+3b）（a-3b）=a2-3b2B.（-a+3b）（a-3b尸-a2-9b2
C.（-a-3b）（a-3b尸-a2+9b2D.（-a-3b）（a+3b）=a2-9b2
例2：
多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）B：
B
【思维直现】根据完全平方公式（am）2=a2±2ab+b2的特点，若4x2+1表示了a2+b2
的话，则有a=2x,b=1,所以，缺少的一项为±2ab==t2（2x）1=±4x,此时，4x2+1%x=（2x±1）2;如果认为4x2+1表示了2ab+b2的话，则有a=2x2,b=1,所以，缺少的一项为a2=（2x）2=4x4,此时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2,从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到4x2=（2x）2,1=12,
所以，保留二项式4x2+1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1或者-4x2,此时有4x2+1-1=4x2=（2x）2,或者4x2+1-4x2=12.综上分析，可知所加上的单项式可以是.
解：
±4x、4x4、-1或-4x2
【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有
可能是单项式的完全平方。
因为整式是单项式和多项式的统称。
虽然经常见到的多项式形式
的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的
【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。
如果
能把所有的情况都想清楚，当然更好。
【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。
【搭配练习】
若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=（）
A.9b2B.i3b2C.3bD.±3b
例3计算：
11Y21丫1）
（1）a——ia+—ia+—i
<2人4人2J
（2）（x+y-zj[x-y+z）-（x+y+z（x-y-z）
（3）（a-3b+2c2
难度等级；.…B.
【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。
在使用之前，要
运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形
a2-1a21二a4」
4.416
（2）
xy—zx-yzli：
xyzx-y—z
=X,y-zkT.y-zLk,yz"xT'y-z1
=X2_（y_zjLX2_（y+zf]
=x2-（y-z2-x2+（y+zj
二（y+z2Ty-z2
（3）（a-3b+2c2=U-3b计2cy=（a-3bf+24a-3b>2c+（2cf
=a2-6ab9b24ac-12bc4c2
222__
=a9b4c-6ab4ac-12bc
或者a-3b2c2-a-3b-2c2=a2-2a3b-2c3b-2c2
=a2-6ab4ac9b2-12bc4c2
22.2
=a9b4c-6ab4ac-12bc
【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式
和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，
可能还会需要第二次展开，层层递进。
【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；
题2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用
完全平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式
【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求
出最后结果
【搭配练习】
计算：
（1）（c—2b+3a）（2b+c—3a）
、，1、，1、，c1c、
（2）（ab）（2a+—b）（3a2db2）;
6312
（3）（2a-3b+D2
例4请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助
线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是.
难度笠Sk_A
【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x2,两个小正方形
的面积分别是y2与（x-y）2,利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下乘法公式：
（x-y）
2=x2-2xy+y2；
解：
（X-y）2=x2-2xy+y2
【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公
式，是“数形结合思想”的具体体现。
【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。
【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式
例5.计算：
（1+3（1+3）（1+4）（1+4）+工2222428215
1，e-
（1--）,如果能通
2
难度等级：
C
【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式
1,
过恒等变形构造一个因式（1--）,则运用平方差公式就会迎刃而解。
2
15
=2：
i1」111121A14
222224282
『1十）〕
28J215
=21-2
216215
1
215215
【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。
【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。
当题目有可能转化成所熟悉的式子时,
要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。
【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。
【搭配练习】
计算
1、（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1
八一1、一1、一1、一1、一1、
2、（1——2）（1——2）（1—―2-）…（1——2）（1——2）
22324292102
1
例6：
已知a+b=3,ab=一，求：
2
（1）a2+b2
（2）a2+ab+b2（3）a4+b4
^二―A
【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式
相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，题
（1）就是在（a+bf的基础上减去了2ab；
题
（2）可以看做（a+b2的基础上减去了ab,或是在题
（1）的基础上加上了ab；题（3）就是在题
（1）结论的基础上，把（a2+b2评方后减去2Ma2Mb2,而2r2—2即是2M（a^b2。
一，、•八.1
解：
（1）a+b=3,ab=一2
（a+b2=a2+2ab+b2
2212
即32=a2.2b2
2
2,2-2
•-ab=3-1=8
1
（2）a+b=3>ab=—2
（a+bf=a2+2ab+b2
222
3=aababb
221
9二aabb一
2
2211
••aabb=9--=8—
22
12.2
（3）「a+b=3,ab=-,a+b=8
2
（a2+b2）=（a22+2>（a2+b22=a4+2x（a=即82=a42-b4
2
2
442f1-11
a+b=8—2x—i=64_—=63—山22
【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比较简单，右边是个三项式，所以在此基础上可
以演化出许多其他的式子，可把三项式的其中两项作为一个多项式来看，如a2+b2,那就
可以用原来公式中左边的式子减去或加上2ab。
无论式子怎样变化，a2+b2的关系是不会
变的
【题评解说】本题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比较高。
必须要在熟悉公式
的基础下，还要灵活运用，逆向思维比较强。
【建议】一开始可以在公式的基础上进行变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比较好。
【搭配练习】
已知a2+b2=5,ab=6,求（a+bf,a4+b4的值.
（二）思维重点突破
例7观察下列各式（X—1）（X+1）=X2—1,（X-1）（X2+X+1）=X3—l.（X—l）
（x3+x2+x+l）=X4-1,根据前面各式的规律可得（x-1）（Xn+Xn-1+•••+x+1）
难度等级：
C
【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以X为底数的哥与1的差，并且这个哥
的指数比第二个括号中X的最高次哥的指数大1,所以（x—1）（xn+xn-1+…+X+1）=xn+1-1.
解：
（x—1）（xn+xn-1+•••+x+1）=xn+1-1
【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式，
但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出
了。
【题评解说】此题主要考查用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。
此类题目要求综合能力比较高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。
【建议】可以把式子进行对比，每一次的变化只会是式子的部分变化，式子从左到右，
发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。
【搭配练习】
观察下列各式：
21=1
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256……
通过观察，用你发现的规律写出89的末位数字是。
例8.甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%,而乙超市的销售额平均每月减少x%。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
（2）如果a=150,x=2,那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
难度等a：
c
【思维直现】列表分析
3月份
4月份
5月份
甲超市销售额
a
a（1+x%）
a（1+x%）x（1+x%）=a（1+
x%）2
乙超市销售额
a
a（1一
x%）
a（1—x%）x（1—x%）=a（1—
x%）2
解：
（1）a（1+x%2-a（1-x%f
=al2x%-x%2La1-2x%x%21
=a+2ax%+a（x%2-a-2ax%+a（x%21
=a+2ax%+a（x%2-a+2ax%-a（x%2
=4ax%
（2）当a=150,x=2时
a（1+x%2-a（1-x%2
44ax%
口41502%
二12
题目中的文字都
【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰,用表格和式子来进行表示。
能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了
【题评解说】本题要求在理解清楚题目意思的前提下，列出式子，并且还需要化简求值。
列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。
【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量关系表示出来，再结合题目，给出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合
【搭配练习】
如图，点M是AB的中点，点P在MB上分别以AP,PB为边，作正方形APCD和
正方形PBEF,设AB=4a,MP=b,正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为
（1）用a,b的代数表示So
（2）当a=4、b=1/2时，S的值是多少？
当a=S,b=1/4时呢？
课后作业
A类作业：
一、填空题
1、（2a—b）（）=b2—4a2.
2、（a—b）2=（a+b）2+.
c-21/、,、
3、20—X19—=（）•（）=.
33
二、选择
1、若a加，下列各式中不
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