全国版高考数学文一轮复习必刷题第二单元函数的概念与基本性质.docx

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全国版高考数学文一轮复习必刷题第二单元函数的概念与基本性质

第二单元　函数的概念与基本性质

考点一

函数的概念

1.（2015年浙江卷）存在函数f（x）满足:

对于任意x∈R都有（　　）.

　　A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

【解析】选项A中,x分别取0,,可得f（0）对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A错误;

选项B中,x分别取0,π,可得f（0）对应的值为0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B错误;

选项C中,x分别取1,-1,可得f

（2）对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C错误;

选项D中,取f（x）=,则对于任意x∈R都有f（x2+2x）==|x+1|,所以选项D正确.

综上可知,本题选D.

【答案】D

2.（2014年上海卷）设f（x）=若f（0）是f（x）的最小值,则a的取值范围为（　　）.

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]

【解析】∵当x≤0时,f（x）=（x-a）2,f（0）是f（x）的最小值,∴a≥0.

当x>0时,f（x）=x++a≥2+a,当且仅当x=1时等号成立.

要满足f（0）是f（x）的最小值,需2+a≥f（0）=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.

∴a的取值范围为[0,2].故选D.

【答案】D

3.（2015年全国Ⅱ卷）设函数f（x）=则f（-2）+f（log212）=（　　）.

A.3B.6C.9D.12

　　【解析】∵-2<1,

∴f（-2）=1+log2（2+2）=1+log24=1+2=3.

∵log212>1,∴f（log212）===6.

∴f（-2）+f（log212）=3+6=9.故选C.

【答案】C

4.（2016年江苏卷）函数y=的定义域是　　　　. 

【解析】要使函数有意义,需3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,得（x-1）（x+3）≤0,即-3≤x≤1,故所求函数的定义域是[-3,1].

【答案】[-3,1]

考点二

函数的奇偶性

5.（2014年全国Ⅰ卷）设函数f（x）,g（x）的定义域都为R,且f（x）是奇函数,g（x）是偶函数,则下列结论中正确的是（　　）.

A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数

C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数

【解析】令h1（x）=f（x）g（x）,则h1（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h1（x）,∴h1（x）是奇函数,A错误.

令h2（x）=|f（x）|g（x）,则h2（-x）=|f（-x）|g（-x）=|-f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）=h2（x）,∴h2（x）是偶函数,B错误.

令h3（x）=f（x）|g（x）|,则h3（-x）=f（-x）|g（-x）|=-f（x）|g（x）|=-h3（x）,∴h3（x）是奇函数,C正确.

令h4（x）=|f（x）g（x）|,则h4（-x）=|f（-x）g（-x）|=|-f（x）g（x）|=|f（x）g（x）|=h4（x）,∴h4（x）是偶函数,D错误.

【答案】C

6.（2015年广东卷）下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（　　）.

A.y=B.y=x+

C.y=2x+D.y=x+ex

【解析】A选项中的函数的定义域为R,因为=,所以该函数是偶函数.B选项中的函数的定义域为{x|x≠0},因为-x-=-,所以该函数是奇函数.C选项中的函数的定义域为R,因为2-x+=+2x,所以该函数是偶函数.D选项中的函数的定义域为R,因为-x+e-x=-x,所以该函数是非奇非偶函数.

【答案】D

7.（2017年北京卷）已知函数f（x）=3x-,则f（x）（　　）.

A.是奇函数,且在R上是增函数

B.是偶函数,且在R上是增函数

C.是奇函数,且在R上是减函数

D.是偶函数,且在R上是减函数

【解析】∵函数f（x）的定义域为R,

f（-x）=3-x-=-3x=-f（x）,

∴函数f（x）是奇函数.

∵函数y=在R上是减函数,

∴函数y=-在R上是增函数.

又∵y=3x在R上是增函数,

∴函数f（x）=3x-在R上是增函数.

故选A.

【答案】A

8.（2015年全国Ⅰ卷）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数,则a=　　　　. 

【解析】∵f（x）为偶函数,∴f（-x）-f（x）=0恒成立,

∴-xln（-x+）-xln（x+）=0恒成立,

∴xlna=0恒成立,

∴lna=0,即a=1.

【答案】1

考点三

函数的单调性及其综合应用

9.（2017年全国Ⅰ卷）函数f（x）在（-∞,+∞）上单调递减,且为奇函数.若f

（1）=-1,则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是（　　）.

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【解析】∵f（x）为奇函数,∴f（-x）=-f（x）.

∵f

（1）=-1,∴f（-1）=-f

（1）=1.

由-1≤f（x-2）≤1,得f

（1）≤f（x-2）≤f（-1）.

　　又∵f（x）在（-∞,+∞）上单调递减,∴-1≤x-2≤1,

∴1≤x≤3.故选D.

【答案】D

10.（2016年天津卷）已知f（x）是定义在R上的偶函数,且在区间（-∞,0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）>f（-）,则a的取值范围是　　　　. 

【解析】∵f（x）是偶函数,且在（-∞,0）上单调递增,

∴f（x）在（0,+∞）上单调递减,f（-）=f（）,

∴f（2|a-1|）>f（）,∴2|a-1|<=,

∴|a-1|<,即-

【答案】

11.（2017年全国Ⅲ卷）设函数f（x）=则满足f（x）+f>1的x的取值范围是　　　　. 

【解析】由题意知,可对不等式分x≤0,0三段讨论.

当x≤0时,原不等式为x+1+x+>1,解得x>-,

∴-

当01,显然成立.

当x>时,原不等式为2x+>1,显然成立.

综上可知,x>-.

【答案】

　　高频考点:

求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.

命题特点:

1.求函数的定义域一般根据限制条件,列出不等式求解,此类问题难度不大.

2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式,再代入运算,此类问题难度不大.

3.函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式,再利用单调性分析或求解.

§2.1　函数的概念及其表示

一

函数的概念

　　给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,使对于集合A中的　　　　一个数x,在集合B中都存在　　　　确定的数f（x）与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的　　　　,记作　　　　　　.此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的　　　　　,集合{f（x）|x∈A}叫作函数的　　　　. 

二

函数的表示法

　　函数的表示法:

　　　　、　　　　、　　　　. 

三

分段函数

　　若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式的函数叫作　　　　. 

☞左学右考

判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.

（1）f（x）=与g（x）=x是同一个函数.（　　）

（2）f（x）=|x|与g（x）=是同一个函数.（　　）

（3）函数f（x）=+1的值域是{y|y≥1}.（　　）

（4）若函数f（x）的定义域为{x|1≤x<3},则函数f（2x-1）的定义域为{x|1≤x<3}.（　　）

知识清单

一、任何　唯一　函数　f:

A→B,或y=f（x）,x∈A　定义域

值域

二、解析法　列表法　图象法

三、分段函数

基础训练

【解析】

（1）错误,因为f（x）=的定义域是{x|x≠0},而g（x）=x的定义域是R,所以它们的定义域不相同,因此它们不是同一个函数.

（2）正确,因为f（x）=|x|与g（x）=的定义域和对应法则完全相同,所以它们是同一个函数.

（3）错误,因为x2≥0,所以x2+3≥3,所以函数f（x）=+1的值域是{y|y≥+1}.

（4）错误,因为f（x）的定义域为{x|1≤x<3},所以1≤2x-1<3,解得1≤x<2,故函数f（2x-1）的定义域为{x|1≤x<2}.

【答案】

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

题型一

求函数的定义域

　　【例1】

（1）y=-log2（4-x2）的定义域是（　　）.

　　A.（-2,0）∪（1,2）B.（-2,0]∪（1,2）

C.（-2,0）∪[1,2）D.[-2,0]∪[1,2]

（2）若函数y=f（x）的定义域是[1,20],则函数g（x）=的定义域是　　　　. 

【解析】

（1）要使函数有意义,必须有

∴x∈（-2,0）∪[1,2）,故选C.

（2）由已知函数f（x）的定义域为[1,20],可知1≤x+1≤20,解得0≤x≤19,故函数f（x+1）的定义域为[0,19].∴使函数g（x）有意义的条件是解得0≤x<1或1

【答案】

（1）C　

（2）[0,1）∪（1,19]

（1）已知函数的解析式:

构建使解析式有意义的不等式（组）求解.

（2）抽象函数:

①若已知函数f（x）的定义域为[a,b],则复合函数f（g（x））的定义域由a≤g（x）≤b求出;②若已知函数f（g（x））的定义域为[a,b],则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a,b]时的值域.（3）实际问题:

既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.

【变式训练1】

（1）函数f（x）=+log2（6-x）的定义域是　　　　. 

（2）若函数f（x2+1）的定义域为[-1,1],则f（lgx）的定义域为（　　）.

A.[-1,1]B.[1,2]

C.[10,100]D.[0,lg2]

【解析】

（1）要使函数有意义,应满足解得-3≤x<6.

（2）因为f（x2+1）的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,所以f（x）的定义域为[1,2],所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100,所以函数f（lgx）的定义域为[10,100].

【答案】

（1）[-3,6）　

（2）C

题型二

求函数的解析式

　　【例2】

（1）已知f=lgx,则f（x）=　　　　. 

（2）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根,且f'（x）=2x+2,则f（x）的解析式为　　　　. 

【解析】

（1）令t=+1（t>1）,则x=,

∴f（t）=lg,即f（x）=lg（x>1）.

（2）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）,则f'（x）=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,∴f（x）=x2+2x+c.又∵方程f（x）=0有两个相等的实根,∴Δ=4-4c=0,得c=1.故f（x）=x2+2x+1.

　　【答案】

（1）lg（x>1）　

（2）f（x）=x2+2x+1

　　求函数解析式常用的方法有待定系数法、换元法、配凑法、转化法、构造方程组法.

【变式训练2】

（1）已知f（+1）=x+2,则f（x）=　　　　. 

（2）已知函数f（x）的定义域为（0,+∞）,且f（x）=2f·