第七章4重力势能必修2有解析.docx
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第七章4重力势能必修2有解析
[目标定位] 1.知道重力做功与路径无关的特点．理解重力势能的概念.2.理解重力做功与重力势能变化的关系.3.知道重力势能具有相对性，知道重力势能是物体和地球系统所共有的．
一、重力做功的特点
1．做功表达式：
WG＝mgh＝mgh1－mgh2，式中h指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度．
2．做功的正负：
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功．
3．做功的特点：
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．
深度思考
重力做功为什么与路径无关？
答案 由W＝Flcosα可知，WG＝mg·lcosα，其中lcosα为在重力G方向的位移，即高度差，也就是说重力做功的大小由重力大小和两点的高度差决定，与其他因素无关，所以只要起点和终点的位置相同，不论沿着什么路径由起点到终点，重力所做的功相同．
例1
某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图1所示，则下列说法正确的是（ ）
图1
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B重力做功mg（H＋h）
D．从A到B重力做功mgH
答案 D
解析 重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末状态物体的高度差有关，从A到B的高度是H，故从A到B重力做功mgH，D正确．
二、重力势能
1．定义：
物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．
2．大小：
Ep＝mgh；单位：
焦耳，符号：
J.
3．重力势能的三性：
（1）相对性：
Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．参考平面选择不同，则物体的高度h不同，重力势能的大小也就不同，所以确定某点的重力势能首先选择参考平面．
（2）系统性：
重力是地球与物体相互吸引产生的，所以重力势能是物体和地球组成的系统共有，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化说法．
（3）标矢性：
重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正负．重力势能正负的含义：
正值表示物体处于参考平面上方，负值表示处于参考平面的下方．
深度思考
如图2所示，幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯．
图2
（1）小朋友在滑梯最高点时的重力势能一定为正值吗？
在地面上时的重力势能一定为零吗？
（2）小朋友沿滑梯下滑时，重力势能怎么变化？
小朋友从最高点滑落到地面过程中重力势能的变化与参考平面的选取有关吗？
答案
（1）不一定，若选最高点为参考平面，则小朋友在最高点的重力势能为0，在地面上的重力势能为负．
（2）沿滑梯下滑，小朋友的重力势能减小，重力势能的变化与参考平面的选取无关．
例2
下列关于重力势能的说法正确的是（ ）
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5J变化到－3J，重力势能增加了
D．在地面上的物体具有的重力势能一定等于零
答案 C
解析 物体的重力势能与参考平面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能中的正、负号表示大小，－5J的重力势能小于－3J的重力势能，C选项对；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D错误．
（1）计算物体的重力势能，必须首先选定零势能面．
（2）零势能面以下的重力势能均为负值，“＋”、“－”号代表重力势能的大小，因此，比较大小时，一定要带着“＋”、“－”号进行比较．
例3
如图3所示，桌面距地面的高度为0.8m，一物体质量为2kg，放在桌面上方0.4m的支架上，g取10m/s2，求：
图3
（1）以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
（2）以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
（3）以上计算结果说明什么？
答案
（1）8J 24J
（2）24J 24J （3）见解析
解析
（1）以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1＝0.4m，因而物体具有重力势能
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4J＝8J.
物体落至地面时，物体重力势能
Ep2＝2×10×（－0.8）J＝－16J.
因此物体在此过程中重力势能减小量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8J－（－16）J＝24J.
（2）以地面为零势能参考平面，物体的高度h1′＝（0.4＋0.8）m＝1.2m．因而物体具有的重力势能Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2J＝24J.
物体落至地面时重力势能Ep2′＝0.
在此过程中物体重力势能减小量ΔE′＝Ep1′－Ep2′＝24J－0＝24J.
（3）通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关．
重力势能是相对的，但重力势能的变化是绝对的．物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关．
三、重力做功与重力势能变化的关系
1．重力做功是重力势能变化的原因，且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
（1）当物体从高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减少．
（2）当物体从低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加．
2．重力做的功与重力势能的变化量均与参考平面的选择无（填“有”或“无”）关．
3．重力势能的变化只取决于物体重力做功的情况，与物体除重力外是否还受其他力作用以及其他力是否做功等因素均无关．
例4
质量是100g的球从1.8m的高处落到水平板上，又弹回到1.25m的高度，在整个过程中重力对球所做的功为多少？
球的重力势能变化了多少？
（g＝10m/s2）
答案 0.55J 减少0.55J
解析 由重力做功的特点可知，此时重力所做的功为：
WG＝mgH＝mg（h1－h2）＝0.1×10×（1.8－1.25）J＝0.55J.
由重力做功与重力势能的变化之间的关系可知，此时重力做正功，重力势能应减少，ΔEp＝－WG＝－0.55J，即减少0.55J.
（1）判断重力做功正负的方法：
若物体向上运动或有竖直向上的分位移，重力做负功；若物体向下运动或有竖直向下的分位移，重力做正功．
（2）重力势能的变化仅与重力做功有关，与是否受其他力及其他力是否做功无关．
针对训练 大型拱桥的拱高为h，弧长为L，如图4所示，质量为m的汽车在以不变的速率v由A点运动到B点的过程中，以下说法正确的是（ ）
图4
A．由A到B的过程中，汽车的重力势能始终不变，重力始终不做功
B．汽车的重力势能先减小后增加，总的变化量为0，重力先做负功，后做正功，总功为零
C．汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为0，重力先做正功，后做负功，总功为零
D．汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为0，重力先做负功，后做正功，总功为零
答案 D
解析 前半阶段，汽车向高处运动，重力势能增加．重力做负功；后半阶段，汽车向低处运动，重力势能减小，重力做正功，选项D正确．
1．（重力做功的特点）如图5所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则（ ）
图5
A．沿轨道1滑下重力做的功多
B．沿轨道2滑下重力做的功多
C．沿轨道3滑下重力做的功多
D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多
答案 D
解析 重力做功只与初、末位置的高度差有关，与路径无关，D选项正确．
2．（重力势能及其变化）质量为20kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5m．已知g＝10m/s2，则这块铁板相对二楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为______J；将铁板提高1m，若以二楼地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了______J.
答案 0 103 200 200
解析 根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面：
Ep＝0.
以楼外地面为参考平面：
Ep＝mgh＝20×10×5J＝103J.
以二楼地面为参考平面：
ΔEp＝Ep2－Ep1＝mgh1－0＝20×10×1J＝200J.
以楼外地面为参考平面：
ΔEp＝Ep2－Ep1＝mg（h＋h1）－mgh＝mgh1＝20×10×1J＝200J.
3．（重力势能及其变化）质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有
的长度悬在桌边缘，如图
6所示，松手后，链条滑离桌面（未着地），问：
从开始到链条刚好滑离桌面过程中重力势能变化了多少？
图6
答案 减小
mgL
解析 设桌面为参考平面，开始时重力势能
Ep1＝－
mg×
＝－
.
末态时重力势能Ep2＝－mg×
＝－
.
故重力势能变化ΔEp＝Ep2－Ep1＝－
mgL.
4．（重力做功与重力势能变化的关系）在离地80m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200g，不计空气阻力，g取10m/s2，取最高点所在水平面为零势能参考平面．求：
（1）在第2s末小球的重力势能；
（2）3s内重力所做的功及重力势能的变化．
答案
（1）－40J
（2）90J 减少了90J
解析
（1）在第2s末小球下落的高度为：
h＝
gt2＝
×10×22m＝20m
重力势能为：
Ep＝－mgh＝－0.2×10×20J＝－40J.
（2）在3s内小球下落的高度为
h′＝
gt′2＝
×10×32m＝45m.
3s内重力做功为：
WG＝mgh′＝0.2×10×45J＝90J
WG>0，所以小球的重力势能减少，且减少了90J.
题组一 重力做功的理解与计算
1．将一个物体由A移至B，重力做功（ ）
A．与运动过程中是否存在阻力有关
B．与物体沿直线或曲线运动有关
C．与物体是做加速、减速或匀速运动有关
D．只与物体初、末位置高度差有关
答案 D
解析 将物体由A移至B，重力做功只与物体初、末位置高度差有关，A、B、C错，D对．
2.如图1所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达
的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为（ ）
图1
A.
B.
C．mghD．0
答案 B
解析 根据重力做功的公式，W＝mg（h1－h2）＝
.故答案为B.
3．质量为50kg、高为1.8m的跳高运动员，背越式跳过2m高的横杆而平落在高50cm的垫子上，整个过程中重力对人做的功大约为（ ）
A．1000JB．750J
C．650JD．200J
答案 D
解析 要考虑运动员重心的变化高度，起跳时站立，离地面0.9m，平落在50cm的垫子上，重心下落了约0.4m，重力做功WG＝mgh＝200J.
4．（多选）在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是（不计空气阻力）（ ）
A．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等
B．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功都是正功
C．从抛出到刚着地，重力对两球做功的平均功率相等
D．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等
答案 ABD
解析 重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关．由W＝mgh得出重力做功的大小只由重
力和高度的变化决定，故A、B项正确；由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P＝
，知P上＜P下，故C项错误；由运动学公式得出落地时速度相同，重力的瞬时功率P＝mgv，则相同，故D项正确．
题组二 对重力势能的理解
5．下面说法中正确的是（ ）
A．地面上的物体重力势能一定为零
B．质量大的物体重力势能一定大
C．不同的物体离地面最高的物体其重力势能最大
D．离地面有一定高度的物体其重力势能可能为零
答案 D
解析 重力势能的大小与参考平面的选取有关．在参考平面处，任何物体的重力势能均为零．
6．（多选）如图2所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点．以下表述正确的是（ ）
图2
A．若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大
B．若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小
C．若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零
D．无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大
答案 AD
7.如图3所示，在离地面高为H处，将质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，取抛出位置所在水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处重力势能分别为（ ）
图3
A．mg
，0
B.
mv
，－mgH
C.
mv
，mgH
D.
mv
，mgH＋
mv
答案 B
解析 小球能上升到的最高点与抛出点相距h＝
，所以在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh＝
mv
.落地时小球的位置在参考平面下方H处，所以落地时小球具有的重力势能Ep2＝－mgH.故B正确．
题组三 重力做功与重力势能变化的关系
8．如图4所示，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
图4
A．物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少
B．物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多
C．以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH
D．以地面为参考平面，物体重力势能减少mg（H＋h）
答案 C
解析 重力做功与路径无关，所以无论沿哪条轨道下落，重力做功相同，重力做功W＝mgH，再由W＝－ΔEp，所以ΔEp＝－mgH，即物体重力势能减少mgH，故C正确，A、B、D错误．
9．（多选）物体在某一运动过程中，重力对它做了40J的负功，下列说法中正确的是（ ）
A．物体的高度一定升高了
B．物体的重力势能一定减少了40J
C．物体重力势能的改变量不一定等于40J
D．物体克服重力做了40J的功
答案 AD
解析 重力做负功，物体位移的方向与重力方向之间的夹角一定大于90°，所以物体的高度一定升高了，A正确；由于WG＝－ΔEp，故ΔEp＝－WG＝40J，所以物体的重力势能增加了40J，B、C错误；重力做负功又可以说成是物体克服重力做功，D正确．
10．升降机中有一质量为m的物体，当升降机以加速度a匀加速上升高度h时，物体增加的重力势能为（ ）
A．mghB．mgh＋mah
C．mahD．mgh－mah
答案 A
解析 重力势能的改变量只与物体重力做功有关，而与其他力的功无关．物体上升h过程中，物体克服重力做功mgh，故重力势能增加mgh，选A.
11．盘在地面上的一根不均匀的金属链重30N，长1m，从甲端缓慢提至乙端恰好离地时需克服重力做功10J．如果改从乙端缓慢提至甲端恰好离地要克服重力做多少功？
重力势能变化了多少？
（取g＝10m/s2）
答案 20J 重力势能增加20J
解析 设金属链的重心离乙端距离为x，则当乙端刚离开地面时克服重力做功mgx＝10J，可得：
x＝
m.则金属链的重心离甲端为
m，可知从乙端缓慢提至甲端恰好离地要克服重力做功W＝mg·
m＝20J．重力势能增加了20J.
12．如图5所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝
l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能减少了多少？
重力做功为多少？
图5
答案
mgl
mgl
解析 从A点运动到C点，小球下落的高度为h＝
l，
故重力做功WG＝mgh＝
mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－
mgl
负号表示小球的重力势能减少了．
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