线性方程组的解法讨论与应用.docx
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线性方程组的解法讨论与应用
线性方程组的解法讨论与应用
朱全民
线性方程组形式如下:
常记为矩阵形式
其中
一、高斯消元法
高斯(Gauss)消元法的基本思想是:
通过一系列的加减消元运算,也就是代数中的加减消去法,将方程组化为上三角矩阵;然后,再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下:
(一)消元过程
第一步:
将
(1)/3使x1的系数化为1得
再将
(2)、(3)式中x1的系数都化为零,即由
(2)-2×
(1)
(1)得
由(3)-4×
(1)
(1)得
第二步:
将
(2)
(1)除以2/3,使x2系数化为1,得
再将(3)
(1)式中x2系数化为零,即
由(3)
(1)-(-14/3)*
(2)
(2),得
第三步:
将(3)
(2)除以18/3,使x3系数化为1,得
经消元后,得到如下三角代数方程组:
(二)回代过程
由(3)(3)得x3=1,
将x3代入
(2)
(2)得x2=-2,
将x2、x3代入
(1)
(1)得x2=1
所以,本题解为[x]=[1,2,-1]T
(三)、用矩阵演示进行消元过程
第一步:
先将方程写成增广矩阵的形式
第二步:
然后对矩阵进行初等行变换
初等行变换包含如下操作
(1)将某行同乘或同除一个非零实数
(2)将某行加入到另一行
(3)将任意两行互换
第三步:
将增广矩阵变换成上三角矩阵,即主对角线全为1,左下三角矩阵全为0,形式如下:
示例:
(四)高斯消元的公式
综合以上讨论,不难看出,高斯消元法解方程组的公式为
1.消元
(1)令
aij
(1)=aij,(i,j=1,2,3,…,n)
bi
(1)=bi,(i=1,2,3,…,n)
(2)对k=1到n-1,若akk(k)≠0,进行
lik=aik(k)/akk(k),(i=k+1,k+2,…,n)
aij(k+1)=aij(k)-lik*akj(k),(i,j=k+1,k+2,…,n)
bi(k+1)=bi(k)-lik*bk(k),(i=k+1,k+2,…,n)
2.回代
若ann(n)≠0
xn=bn(n)/ann(n)
xi=(bi(i)–sgm(aij(i)*xj)/-aii(i),(i=n-1,n-2,…,1),(j=i+1,i+2,…,n)
(五)高斯消元法的条件
消元过程要求aii(i)≠0(i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求ann(n)≠0,但就方程组Ax=b讲,aii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
注意A的顺序主子式Di(i=1,2,…,n),在消元的过程中不变,这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。
若高斯消元法的过程进行了k-1步(aii(i)≠0,iD1=a11
(1)
D2=a11
(1)a22
(2)
……
Dk=a11
(1)a22
(2)…ak,k(k)
有递推公式
D1=a11
(1)
Di=Di-1aii(i)(i=2,3,…,n)
所以有
定理:
高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵A的1到n-1阶的顺序主子式不为0。
(六)选主消元
因为在高斯消元的过程中,要做乘法和除法运算,因此会产生误差。
当|akk(k)|<<1,此时用它作除数。
会导致其他元素数量级严重增加,带来误差扩散,使结果严重失真。
例如:
0.00001x1+x2=1.00001
2x1+x2=3
解:
代入得到x1=0,x2=1。
显然,严重失真
换主元,将两行交换,如下,
代入得到x1=1,x2=1,答案正确。
总结:
在消元的过程中,如果出现主元相差比较大的情况,应选择如下图方框中的最大数作为主元。
甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元,但此时需要做列变换,要记住个分量的顺序。
(六)解的判断
设方程组的增广矩阵记为
,则
经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序):
其中cii0(i=1,2,…,r).于是可知:
(1).当dr+1=0,且r=n时,原方程组有唯一解.
(2).当dr+1=0,且r(3).当dr+10,原方程组无解.
二、LU分解法
求解线性代数方程组除了高斯消元法外,还常用LU分解法(三角形分解法)。
LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变,仅仅是方程组右端列向量改变,即外加激励信号变化时,能够方便地求解方程组。
设n阶线性方程组Ax=b
假设能将方程组左端系数矩阵A,分解成两个三角阵的乘积,即A=LU,式中,L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵,且主对角线元素均为1的上三角矩阵;U为主对角线以下的元素均为零。
所以有,LUx=b
令Ux=y
则Ly=b
由A=LU,由矩阵的乘法公式:
a1j=u1j,j=1,2,…,n
ai1=li1u11,i=1,2,…,n
推出
u1j=a1j,j=1,2,…,n
li1=ai1/u11,i=1,2,…,n
这样就定出了U的第一行元素和L的第一列元素。
设已定出了U的前k-1行和L的前k-1列,现在确定U的第k行和L的第k列。
由矩阵乘法:
当r>k时,lkr=0,且lkk=1,因为
所以,
同理可推出计算L的第k列的公式:
因此得到如下算法——杜利特(Doolittle)算法:
(1)将矩阵分解为A=LU,对k=1,2,…,n
(2)
解Ly=b
(3)
解Ux=y
例:
求解方程组
解:
由公式1得出
于是化为两个方程组
利用公式2,3可解y=(9,5,3,-1)T,x=(0.5,2,3,-1)T
三、应用
问题1:
维他命的配方
维他命是一种好的药品,人们都需要摄入一定量的各种维生素,现在有若干种维他命,问能否利用这些维他命配制出适合人需求的各种维生素。
数据输入:
第一行:
人们需补充的V(1<=V<=25)种维生素。
第二行:
V个数,第i个数为Vi,表示人体对第i种维生素的需求量。
(1<=Vi<=1000)
第三行:
已知的G(1<=G<=15)种维他命。
以下G*V的整数矩阵:
第i行第j个数为Aij,表示第i种维他命中所含的第j种维生素的含量(1<=Aij<=1000)。
数据输出:
第一行:
输出能否配制,若能输出Yes,否则输出No
第二行:
若能配制,则输出G个整数,其中第i个整数Gi,表示第i种维他命所取的数量,若有多种配置方案,输出一种即可。
若不能配制,则第二行为空。
样例:
input.txt
4
100200300400
4
50505050
30100100100
2050150250
50100150200
output.txt
Yes
1110
分析:
因为不知道每种维他命的数量,如果采用枚举,很难估计每种维他命的上界,而且时间复杂度很高,下面我们尝试用解方程的方法。
设需要配制的维他命每种数量分别为x1,…xn,其中n<=15,根据题意,可列出如下方程。
用高斯消元法求解:
这里,虽然x4可取任意值,显然,表示x4的数量与答案无关,因此x4=0,代入,可得x3=1,x2=1,x1=1,因此,原问题的解为(1,1,1,0)。
问题2:
虫食算(NOIP2005)
给出一个N(N<=26)进制的加法算式,如下:
ABCED
+BDACE
EBBAA
其中有些是数字,有些是字母,字母可代表(1..N)中的任何一个数字,每个字母数字都不一样。
你的任务是,对于给定的N进制加法算式,求出N个不同的字母分别导标的数字,使得该加法算式成立。
输入数据保证有且仅有一组解。
【数据规模】
对于30%的数据,保证有N<=10;
对于50%的数据,保证有N<=15;
对于全部的数据,保证有N<=26。
分析:
显然,我们很容易想到如下算法,枚举N个未知数,由于每个未知数的取数值范围为0~n-1,共n种,因此时间复杂度为nn,又因为每个未知数的数值都不相同,因此时间复杂度为n!
,由于n可达到26,这样做显然比较高,因此需要寻找其他解法。
仔细分析,上述思路的局限性在于没有充分利用加法等式这个条件。
我们只要分析有没有进位,由于有N个变量因此可以列出N个方程,N个方程N个未知数,由于原问题有唯一解,因此方程应该有唯一解。
如上例,可得如下方程组:
D+E-A=x1
E+C-A=x1+x2
C+A-B=x2+x3
B+D-B=x3+x4
A+B-E=x4
其中xi属于0、1,枚举每个xi,则时间复杂度为,2n-1,用LU分解方程的时间为n2,当然这个时间复杂度还是较高,可以利用一些已知条件,确定一些xi的值,如A+0=A,显然不可能有进位等等,加入这样一些剪枝条件即可。
问题3:
求最大异或值(SGU275)
给你n个非负整数A1,A2,……,An集合,要你求出一个子集Ai1,Ai2,…,Aik(1<=i1【数据规模】
(1<=n<=100,Ai<=1018)
分析:
设用“⊕”表示XOR操作。
将问题进行转换成,求序列x1,x2,…,xn,使得:
(x1*A1)⊕(x2*A2)…⊕(xn*An)最大,
其中xi=0或1
由于XOR操作时没有进位,所以我们把A1,…,An的每个二进制位分离出来考虑。
设Ai=a(i,0)*20+a(i,1)*21+…+a(i,k)*2k
可知,若答案的第k位是1,则
a(1,k)*x1⊕a(2,k)*x2⊕…⊕a(n,k)*xn=1
否则
a(1,k)*x1⊕a(2,k)*x2⊕…⊕a(n,k)*xn=0
由此,我们可以对答案进行枚举。
首先设答案的最高为为1,得到一个方程,如果方程有解,则该位被确定为1,否则为0,继续枚举下面的每一位,直到每一位都确定为止。
因此时间复杂度为log2(1018)*n2
例如n=3,{Ai}={11,9,5}。
首先我们把这三个数转成二进制,即:
(11)10=(1011)2;
(9)10=(1001)2;
(5)10=(0101)2
我们知道答案的最高位至多是第4位(也就是23位),我们设第4位为1,得到方程:
x1⊕x2=1
(1)
然后枚举第3位,设为1,得到方程:
x3=1
(2)
然后枚举第2位,设为1,得到方程:
x1=1(3)
此时仍然可以将
(1)
(2)(3)联立而不发生矛盾,继续枚举最后一位,先设为1,得到方程:
x1⊕x2⊕x3=1(4)
用
(1)
(2)(3)的主元对(4)进行消元,得到:
0=1(4)
(1)矛盾!
可知(4)无法和前三个方程联立。
所以最低位不能为1,只能为0。
这样我们就得到了答案(1110)2=(14)10
问题4:
Puzzle(SGU260)
有N个格子,每个格子可能是黑色或者白色。
目前有N种操作方式,第i种操作可以将,Ai,1,Ai,2,......,Ai,ki这Ki个格子的颜色同时改变。
(从黑到白,或者从白到黑)现在给出N个格子的初始状态,与这N种操作。
请你判断是不是可以通过N种操作,将所有格子变成同一种颜色。
如果可以请输出一种方案。
【数据规模】
(1<=n<=200)
分析:
通过一定的分析,就可以知道本题可以表示成一个N元逻辑方程。
首先可以明确的是同一个操作使用超过两次是没有意义的。
因为一个操作被使用了两次相当于什么都没有改变,于是可以:
设Xi表示第i种操作是否使用。
如果使用则值为真,不使用则为假。
我们先判断是不是可以将所有的格子的颜色都变成黑,变成白则可以类似处理。
对于每个格子i,设可以将i的格子颜色改变的操作有C个,它们为B1,B2,…,BC。
若i的初始颜色为黑,即我们不能让i颜色改变,所以有:
若i的初始颜色为白,则有:
总共有N个格子,即N个方程。
有N种操作,即N个未知数。
原问题就变成了判断N元Xor方程组有没有解的问题了,可以在O(N3)的时间复杂度内用高斯消元的方法解决。
问题5:
Nikifor(Ural1041)
现在有M个N维向量P1..Pm,你需要从中“购买”N个向量,它们是线性无关的。
同时每个向量有一个价格,在选出N个向量的同时,要求价格和最小。
所谓N个向量Q1..Qn线性无关,即对于其中任意N-1个向量(假设为Q1..Qn),方程:
Q1X1+Q2X2+…+Qn-1Xn-1=Qn
没有实数解(X1,X2,…,Xn-1)。
【数据规模】
M<=2000N<=50
分析:
本题我们采用贪心的方法。
首先将所有向量按照价格从小到大排序。
之后从价格小的向量开始依次检查,倘若已经购买了的向量无法表示出当前检查的向量,则此向量也需要购买,否则就不需要购买。
若发现已经购买了n个向量,就得到一组解,若检查完所有向量之后依然没有n个向量,就表示无解。
贪心正确性的证明:
首先我们需要证明购买的若干个向量是线性无关的。
考虑用数学归纳法,假设购买的前t个向量P1..Pt是线性无关的,现在发现向量Q也需要购买,我们证明P1..Pt,Q也是线性无关的:
由于Q需要购买,则方程P1X1+P2X2+…+PtXt=Q无解。
假设结论不成立,即存在(Y1,Y2,..,Yt)使得P1Y1+P2Y2+..+Pt-1Yt-1+QYt=Pt,
那么若Yt=0,即P1Y1+P2Y2+..+Pt-1Yt-1=Pt,则与P1..Pt是线性无关矛盾;
若Yt不为0,于是有P1(Y1/Yt)+P2(Y2/Yt)+..+Pt-1(Yt-1/Yt)-Pt(1/Yt)=Q,则与“方程P1X1+P2X2+…+PtXt=Q无解”矛盾。
因此P1..Pt,Q也是线性无关的。
因此前t+1个向量也是线性无关,于是命题得证。
此外还有一个问题,在贪心过程中每次遇到需要购买的向量,我们就马上购买,但会不会造成之后无解呢?
显然不会,下面我们再来证明一个结论:
设前t次购买的向量为P1..Pt,第t+1次购买的向量为Pt+1,那么若存在一组可行解(P1,P2,…,Pt,Q1,…,Qs),则一定会存在一组解(P1,P2,…,Pt+1,W1,…,Wk)。
证明:
(P1,P2,…,Pt,Q1,…,Qs)是可行解,则它们一定可以表示所有的向量。
设P1X1+P2X2+…+PtXt+Q1Y1+…+QsYs=Pt+1,那么Y1..Ys不可能全为0。
若全为0,则方程简化为P1X1+P2X2+…+PtXt=Pt+1,但P1..Pt+1是线性无关的,因此这是不可能的。
不妨设Ys不为0,那么我们只须将Qs替换为Pt+1,则(P1,P2,…,Pt+1,Q1,…Qs-1)同样也为可行解。
因此结论得到证明。
每次判断一个向量需不需要购买,实际上就是判断一个方程组有没有实数解,整个算法的时间复杂度为O(MN2)。