专题六第二讲排列.docx
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专题六第二讲排列
专题六 第二讲 排列、组合、二项式定理与概率
1．（2012·浙江）若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）．
A．60种B．63种C．65种D．66种
答案：
D [对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C＋CC＋C＝66种．]
2．（2012·山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）．
A．232B．252C．472D．484
答案：
C [若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，剩余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.]
3．（2012·辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（ ）．
A.B.C.D.
答案：
C [设出AC的长度，先利用矩形面积小于32cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC＝xcm，CB＝（12－x）cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32cm2即为x（12－x）＜32⇒0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率为＝.]
4．（2012·广东）6的展开式中x3的系数为________（用数字作答）．
解析 由6的展开式的通项为Tr＋1＝C（x2）6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
答案 20
排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．
由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，因此备考时：
①要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；②要牢记排列数、组合数、二项展开式公式；③排列组合是进行概计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具.
必备知识
排列、组合
（1）排列数公式A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），A＝，A＝n！
，0！
＝1（n∈N*，m∈N*，m≤n）．
（2）组合数公式及性质
C＝＝，
C＝，C＝1，C＝C，C＝C＋C.
二项式定理
（1）定理：
（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn（n∈N*）．
通项（展开式的第r＋1项）：
Tr＋1＝Can－rbr，其中C（r＝0,1，…，n）叫做二项式系数．
（2）二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.
②二项式系数的和等于2n，即
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
（3）赋值法解二项式定理有关问题，如
3n＝（1＋2）n＝C＋C·21＋C·22＋…＋C·2n等．
古典概型
（1）P（A）＝＝
（2）求古典概型概率的方法和步骤
①反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意．
②判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件．
③利用列举法或排列组合知识计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.
④计算事件中A的概率P（A）＝.
必备方法
1．解排列、组合问题应遵循的原则：
先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．
2．解排列、组合问题的常用策略：
a．相邻问题捆绑法；b.不相邻问题插空法；c.多排问题单排法；d.定序问题倍缩法；e.多元问题分类法；f.有序分配问题分步法；g.交叉问题集合法；h.至少或至多问题间接法；i.选排问题先取后排法；j.局部与整体问题排除法；k.复杂问题转化法．
3．二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如（1＋x）n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x＝1即得，而（1－x）n的展开式中各项系数的绝对值的和，直接令x＝－1，这样就不难类比得到（1＋ax）n展开式中各项系数绝对值的和为（1＋|a|）n.
以实际生产、生活为背景的排列、组合问题是近几年的常考内容，解题时要先将问题转化为排列组合问题后再求解．题目多为中低档题，为后面学习概率做基础．
【例1】►某城市举行奥运火炬接力传递活动，传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．（用数字作答）
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]按照第一棒是否为甲、乙分两类求解．
解析 按照第一棒是否为甲，乙，可分为两类：
①第一棒是丙，则第六棒的安排有C种，中间4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有C·C·A＝48种；
②第一棒是甲，乙中一人，则第一棒的安排有C种，最后一棒则只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中间4棒剩余4人全排列，矿不同的安排方法有C·C·A＝48种．
根据分类计数原理，可得不同的方案共有48＋48＝96种．
答案 96
对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．
【突破训练1】由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）．
A．72B．96C．108D．144
答案：
C [从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的偶数个数有C·A（A＋A·A）＝108.]
求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式．
【例2】►（2011·安徽）设（x－1）21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]由Tr＋1＝Cx21－r（－1）r求解．
解析 Tr＋1＝Cx21－r（－1）r，∴a10＝C（－1）11，a11＝C（－1）10，
∴a10＋a11＝－C＋C＝－C＋C＝0.
答案 0
1.利用二项展开式的通项分析求解时，注意二项式系数与项的系数的区别．
2．二项式定理的应用不仅要注重它的“正用”，而且重视它的“逆用”；还要注意特殊值法的使用．
【突破训练2】若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）．
A．360B．180C．90D．45
答案：
B [依题意知：
n＝10，
∴Tr＋1＝C（）10－rr＝C2r·x5－r，
令5－r＝0得：
r＝2，∴常数项为：
C22＝180.]
第一课时 古典概型
对于古典概型的考查常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点．
【例3】►（2012·天津六校三模）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]
（1）间接法求概率；
（2）用组合知识求概率．
解
（1）P＝1－＝.
（2）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝＋＝.
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏．
【突破训练3】有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：
cm），得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（2）从一等品零件中随机抽取2个．
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．
解
（1）由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）（ⅰ）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．
（ⅱ）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：
{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
所以P（B）＝＝.
防范二项式展开式中的两个易错点
易错点1：
二项式（a＋b）n展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错
【示例1】►（2012·江苏苏北四市调研）n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项系数为________．
解析 据题意有：
C22－＝162，即2n（n－1）＋2n＝162.∴n＝9.
则Tr＋1＝C（）9－rr＝C（－2）rx－.
由－＝1，∴r＝3.
∴T4＝（－1）3·23·Cx＝－672x.
答案 －672
老师叮咛：
若与的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错．一般地，二项式（a＋b）n与（b＋a）n的通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．
【试一试1】已知（1＋3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于120，则展开式中二项式系数最大的项为________．
解析 由已知得C＋C＋C＝121，则n（n－1）＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8＝C（3x）7和T9＝C（3x）8.
答案 T8＝C（3x）7和T9＝C（3x）8
易错点2：
二项式展开中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错
【示例2】►（2012·山东青岛一模）如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）．
A．7B．－7C．21D．－21
解析 当x＝1时，n＝2n＝128，∴n＝7，
即7，根据二项式通项公式得
Tr＋1＝C（3x）7－r（－1）rr＝C37－r（－1）rx7－r.
∴7－r＝－3，r＝6时对应，即
T6＋1＝C37－6（－1）6＝7×3×＝.故项系数为21.
答案 C
老师叮咛：
展开式中\f（1,x3）项的二项式系数是C＝7，项的系数为21，因此在解此类问题时，须注意二项式系数与项的系数的区别和联系.
【试一试2】5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）．
A．－40B．－20C．20D．40
答案：
D [因为展开式各项系数和为2，所以取x＝1得：
（1＋a）（2－1）5＝2，∴a＝1.
二项式即为：
5，它的展开式的常数项为：
xC（2x）23＋C（2x）32＝4C＝40.]
概率、随机变量及其分布列
（2012·湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客
数（人）
x
30
25
y
10
结算时间
（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：
将频率视为概率）
答案：
解
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得
P（X＝1）＝＝，P（X＝1.5）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝2.5）＝＝，P（X＝3）＝＝.
X的分布列为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的数学期望为
E（X）＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.
（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi（i＝1,2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P（A）＝P（X1＝1且X2＝1）＋P（X1＝1且X2＝1.5）＋P（X1＝1.5且X2＝1）．
由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以
P（A）＝P（X1＝1）×P（X2＝1）＋P（X1＝1）×P（X2＝1.5）＋P（X1＝1.5）×P（X2＝1）＝×＋×＋×＝.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用．
本部分复习要从整体上，知识的相关关系上进行．离散型随机变量问题的核心是概率计算，而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心，在解题中要充分分析事件之间的关系.
必备知识
互斥事件有一个发生的概率
若A、B是互斥事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B），P（A）＋P（A）＝1.
相互独立事件与n次独立重复试验
（1）若A1，A2，…，An是相互独立事件，则P（A1·A2·…·An）＝P（A1）·P（A2）·…·P（An）．
（2）如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1－p，那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为：
Pn（k）＝Cpk（1－p）n－k.
离散型随机变量的分布列、期望与方差
（1）主干知识：
随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布．
（2）基本公式：
①E（ξ）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；
②D（ξ）＝（x1－E（ξ））2p1＋（x2－E（ξ））2p2＋…＋（xn－E（ξ））2pn＋…；
③E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b，D（aξ＋b）＝a2D（ξ）；
④二项分布：
ξ～B（n，p），则P（ξ＝k）＝Cpk（1－p）n－k，E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）．
正态分布
（1）若X服从参数为μ和σ2的正态分布，则可表示为X～N（μ，σ2）．
（2）N（μ，σ2）的分布密度曲线关于直线x＝μ对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.
（3）当X～N（μ，σ2）时，0.683＝P（μ－σ＜X≤μ＋σ），0.954＝P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ），0.997＝P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）．
以上三个概率值具有重要的应用，要熟记，不可混用．
必备方法
1．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答．
2．相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．
3．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：
先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．
互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，试题多来源于生活，考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力．
【例1】►（2012·陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间/分
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]
（1）第三个顾客恰好等待4分钟的情况有三种可能：
第一个顾客需1分钟，第二个顾客需3分钟；第一个顾客需3分钟，第二个顾客需1分钟；两个顾客都需要2分钟．
（2）①找出第2分钟末已办理完业务的顾客人数X的所有可能取值，其取值分别为0,1,2；②求出分布列，得出期望，本问最难的是分布列的求解．
解 设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：
Y
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．
所以P（A）＝P（Y＝1）P（Y＝3）＋P（Y＝3）P（Y＝1）＋P（Y＝2）P（Y＝2）＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
（2）法一 X所有可能的取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P（X＝0）＝P（Y＞2）＝0.5；
X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X＝1）＝P（Y＝1）P（Y＞1）＋P（Y＝2）＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；
X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以P（X＝2）＝P（Y＝1）P（Y＝1）＝0.1×0.1＝0.01；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
E（X）＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
法二 X的所有可能取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P（X＝0）＝P（Y＞2）＝0.5；
X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以P（X＝2）＝P（Y＝1）P（Y＝1）＝0.1×0.1＝0.01；
P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝0.49；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
E（X）＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
在概率的计算中，一般是根据随机事件的含义，把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小的事件再分为几个相互独立事件的乘积，然后根据相应的概率公式进行计算．
【突破训练1】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．
解 记Ai表示事件：
第i局甲获胜，i＝3,4,5，
Bj表示事件：
第j局乙获胜，j＝3,4.
（1）记A表示事件：
再赛2局结束比赛．
A＝A3·A4＋B3·B4.
由于各局比赛结果相互独立，故
P（A）＝P（A3·A4＋B3·B4）＝P（A3·A4）＋P（B3·B4）
＝P（A3）P（A4）＋P（B3）P（B4）＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
（2）记B表示事件：
甲获得这次比赛的胜利．
因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P（B）＝P（A3·A4）＋P（B3·A4·A5）＋P（A3·B4·A5）
＝P（A3）P（A4）＋P（B3）P（A4）P（A5）＋P（A3）P（B4）P（A5）
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
以实际生活或生产为背景来考查二项分布是高考的“永久”热点，难点是透过问题的实际背景发现n次独立重复试验模型及二项分布，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键．
【例2】►（2012·天津）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]
（1）利用二项分布的概率公式求解；
（2）利用二项分布和互斥事件的概率公式求解；（3）建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望．
解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i＝0,1,2,3,4），则P（Ai）＝Ci4－i.
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
P（A2）＝C2·2＝.
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
P（B）＝P（A3）
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