通信原理与信号系统学习指南.docx
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通信原理与信号系统学习指南
开场：
很多原理一旦上升为理论，常常伴随着繁杂的数学推导，很简单的本质反而被一大堆公式淹没，通信原理因此让很多人望而却步。
非常复杂的公式背后很可能隐藏了简单的道理。
真正学好通信原理，关键是要透过公式看本质。
以复傅立叶系数为例，很多人都只是会套公式计算，真正理解其含义的人不多。
对于经常出现的“负频率”，真正理解的人就更少了。
连载1：
从多项式乘法说起
多项式乘法相信我们每个人都会做：
再合并同类项的方法得到的，要得到结果多项式中的某个系数，需要两步操作才行，有没有办法一步操作就可以得到一个系数呢？
下面的计算方法就可以做到：
这种计算方法总结起来就是：
反褶：
一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。
平移：
将按x的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。
相乘：
垂直对齐的项分别相乘。
求和：
相乘的各结果相加。
反褶、平移、相乘、求和－这就是通信原理中最常用的一个概念“卷积”的计算过程。
连载2：
卷积的表达式
利用上面的计算方法，我们很容易得到：
c（0）=a（0）b（0）
c
（1）=a（0）b
（1）+a
（1）b（0）
c
（2）=a（0）b
（2）+a
（1）b
（1）+a
（2）b（0）
c（3）=a（0）b（3）+a
（1）b
（2）+a
（2）b
（1）+a（3）b（0）
其中：
a（3）=a
（2）=b（3）=0
在上面的基础上推广一下：
假定两个多项式的系数分别为a（n），n=0~n1和b（n），n=0~n2，这两个多项式相乘所得的多项式系数为c（n），则：
c（0）=a（0）b（0）
c
（1）=a（0）b
（1）+a
（1）b（0）
c
（2）=a（0）b
（2）+a
（1）b
（1）+a
（2）b（0）
c（3）=a（0）b（3）+a
（1）b
（2）+a
（2）b
（1）+a（3）b（0）
c（4）=a（0）b（4）+a
（1）b（3）+a
（2）b
（2）+a（3）b
（1）+a（4）b（0）
以此类推可以得到：
上面这个式子就是a（n）和b（n）的卷积表达式。
通常我们把a（n）和b（n）的卷积记为：
a（n）*b（n），其中的*表示卷积运算符。
连载3：
利用matlab计算卷积
表面上看，卷积的计算公式很复杂，计算过程也很麻烦（反褶，平移，相乘，求和），实际上使用Matlab很容易计算。
以上面的a（n）=[11]，b（n）=[125]的卷积计算为例：
>>a=[11];
>>b=[125];
>>c=conv（a,b）;
>>c
c=
1375
后面很多地方的讲解都会用到matlab，没用过matlab的同学，请到网上下载个matlab7.0，安装后，将上面前4行内容拷贝到命令窗口中执行，即可得到上面的执行结果。
为了更好地理解卷积（多项式相乘，相当于系数卷积），我们用matlab画一下高中学过的杨辉三角。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
其中每一横行都表示（a+b）^n（此处n=1，2，3，4，5，6，∙∙∙∙∙∙）展开式中的系数。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
>>x=[11];y=[11];
>>y
y=
11
>>y=conv（x,y）
y=
121
>>y=conv（x,y）
y=
1331
>>y=conv（x,y）
y=
14641
>>y=conv（x,y）
y=
15101051
>>y=conv（x,y）
y=
1615201561
连载4：
将信号表示成多项式的形式
多项式乘法给了我们启发：
如果信号可以分解为类似多项式的这种形式：
存不存在满足这个条件的x呢？
前人早就给出了答案，那就是：
附：
前面推导过程中用到的几个三角公式：
连载5：
著名的欧拉公式
这就是著名的欧拉公式。
对于欧拉公式，大家知道结论就可以了，想知道怎么得来的同学请参考下面的证明。
欧拉公式的证明（利用泰勒级数展开）：
连载6：
利用卷积计算两个信号的乘积
下面我们举个具体的例子来体会一下“如果信号可以分解为类似多项式的这种形式：
会涉及一系列的三角函数公式，计算过程非常麻烦。
具体的计算过程这里就不列了，大家可以试一下，看看有多麻烦。
连载7：
信号的傅立叶级数展开
上面这种把信号表示成形式类似于多项式的方法，本质上就是傅里叶级数展开，多项式中各项的系数实际就是傅里叶系数：
以频率为横轴，傅里叶系数为纵轴，画出的图就是频谱图。
前面我们已经知道：
[3，17，28，12]＝[1,5,6]*[3,2]
因此很容易得出：
时域相乘，相当于频域卷积。
连载8：
时域信号相乘相当于频域卷积
连载9：
用余弦信号合成方波信号
前面为了利用卷积，我们将信号表示成了多项式的形式，用多个复指数信号合成我们所需的信号。
为了更好地理解多个复指数信号合成所需信号，我们先来看一下用多个余弦信号合成方波信号的过程。
直流分量叠加一个cos（x）余弦分量：
y=0.5+0.637.*cos（x）;
再叠加一个cos（3x）余弦分量：
y=0.5+0.637.*cos（x）-0.212.*cos（3*x）;
再叠加一个cos（5x）余弦分量：
y=0.5+0.637.*cos（x）-0.212.*cos（3*x）+0.127.*cos（5*x）;
随着合成的余弦信号越来越多，波形越来越逼近一个方波，这从一个侧面验证了傅立叶级数展开的正确性：
可以将方波分解成一个直流分量和无数个余弦波分量之和。
连载10：
傅立叶级数展开的定义
连载11：
如何把信号展开成复指数信号之和？
前面我们已经把信号展开成了直流分量、余弦分量和正弦分量之和，可是如何把信号展开成复指数信号之和呢？
将上述公式代入前面的傅立叶级数展开式中，我们就可以得到一个很简洁的复指数形式的傅立叶展开式。
建议大家动手推导推导，这样可以加深印象。
其中：
连载12：
复傅立叶系数
连载13：
实信号频谱的共轭对称性
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