届高考数学一轮复习第十章概率课堂作业docx.docx

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课时跟踪训练（五十四）随机事件的概率

［基础巩固］

一、选择题

1.在一次随机试验中，彼此互斥的事件昇，B,a〃的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是（）

A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件

B.与〃是互斥事件，也是对立事件

C.A+C与〃+〃是互斥事件，但不是对立事件

D./与B+C+D是互斥事件，也是对立事件

［解析］由于/I,B,C,〃彼此互斥，且A+B+C+D是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的Verm图表示，由图可知，任何一个事件与英余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与英余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.

［答案］D

2.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（）

1234

A-B.70~D.7

5o5o

［解析］记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件久B、aD、E,则月、B、

C、D、芒是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件〃、D、0的概率的并集.上）=/«〃）

111Q

+P①+P®=£+右+右=±

［答案］

3.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（）

A.0.20B.0.60C.0.80D.0.12

［解析］该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为0.20+0.60=0.80.

［答案］C

4.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

［11.5,15.5）2；

［15.5,19.5）4；［19.5,23.5）9:

［23.5,27.5）18；［27.5,31.5）11；［31.5,35.5）12；

［35.5,39.5）7；［39.5；43.5）3.根据样本的频率分布估计,数据在［31.5,43.5）的概率约是（）

1112

A-6B*3C-2°-3

［解析］根据所给的数据的分组及各组的频数得到：

数据在［31.5,43.5）范围的有［31.5,35.5）12；［35.5,39.5）7；［39.5,43.5）3,二满足题意的数据有12+7+3=22（个），

9911

总的数据有66个，.••数据在［31.5,43.5）的频率^―=-,由频率估计概率得2壬

［答案］B

5.（2017•广东深圳一模）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列

的概率是（）

1112

A-4B-2C3D-3

［解析］从四个球中随机选取三个球，基本事件总数刀=4,所选取三个球上的数字能

21

构成等差数列包含的基本事件有（2,3,4）,（2,4,6）共2个.所以所求概率P=^=^故选

［答案］B

6.（2017•江西九江一模）掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）

51511

A帀B*2C*8D-16

［解析］掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数/7=24=16,出现正面向上的次数不少于反而向上的次数包含的基本事件为有2次正而向上，3次正面向上和4次正面向上，其个数为6+4+1=11,・・・出现正面向上的次数不少于反面向上的概率宀莹.

［答案］D

二、填空题

7.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在［160,1751（单位：

cm）内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为

［解析］因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2—0.5=0.3.

［答案］0.3

8.己知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒

］19

都是黑子的概率是刁从中取出2粒都是口子的概率是丁，现从中任意取出2粒恰好是同一

735

色的概率是•

［解析］从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑

11917

子的概率的和，即为尹爲=后

17

［答案］焉

9.一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次

71

只取一个，取得两个红球的概率为订，取得两个绿球的概率为订，则取得两个同颜色的球的

概率为;至少取得一个红球的概率为.

［解析］由于“収得两个红球”与“収得两个绿球”是互斥事件，因而収得两个同色球71o

的概率为p=-+-=-

由于事件A“至少取得一个红球”与事件〃“収得两个绿球”是对立事件.故至少収得

14

一个红球的概率=—

10

三、解答题

10.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期

训练，某队员対击一次命中7〜10环的概率如表所示：

命中环数

10环

9环

8环

7环

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

该射击队员射击一次，求：

（1）射屮9环或10环的概率；

（2）至少命中8环的概率；

（3）命屮不足8环的概率.

［解］记事件“射击一次，命中&环”为&W10）,则事件川彼此互斥.

（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件儿那么当仏，加之一发生时，事件/发生，由互斥事件的加法公式得：

P（A）=%9）+/W=0.28+0.32=0.60.

（2）设“射击一次，至少命屮8环”的事件为〃，那么当应，A,加之一发生时，事件〃

发生.由互斥事件概率的加法公式得p（肉=/«如+m）+/心。

）

=0.18+0.28+0.32=0.78.

（3）由于事件“射击一次，命中不足8坏”是事件&“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即予表示事件“射击一次，命屮不足8环”.

:

・P（3）=1—P（Q=1—0.78=0.22.

［能力提升］

11.（2017•河南平顶山一模）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和

6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）

9c25八35,37八•荷丘荷C-D-

［解析］白球没有减少的情况有：

①抓出黑球，放入任意球，概率为耳.②抓出白球放入白球，概率为駆说=益，所求事件概率为：

专+益=讨.故选C.

［答案］C

12.（2017・山东烟台调研）一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回的每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）

1°1厂3“3

ARC［）

32643264

［解析］从8个球中有放回地取2次（每次取一个球），所取两球的编号共有8X8=64种，其中两编号和不小于15的有3种：

（7,8）,（&7）,（&8）.贝0所求概率4后，故选D.

［答案］D

13.一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为.

［解析］因为一枚硬币连掷5次，没有正面向上的概率为*,所以至少一次正面向上的

31

概率为1—歹=厉・

31

［答案］西

14.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人屮至少有一人抽到选择题的概率是.

［解析］基本事件的总数为10X9=90（个），甲、乙二人均抽到判断题的基本事件的个1913

数是4X3=12,故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1——

9015

13

［答案］tk

15.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的

155

概率是丁黑球或黄球的概率是正，绿球或黄球的概率也是启.求从屮任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？

［解］从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为儿B,C,D,则事件儿B,Q〃彼此互斥，所以有P（B+C）=P^+P{C）=—.P（D

5I2

+。

=/\/））+/丿（。

I\B+C+D）+/丿（0+/丿（Q=1—/«力）=1一

解得P（3）=+，P（0=g,P（功=£.

故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是*£

16.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：

（1）“3只球颜色全相同”的概率.

（2）“3只球颜色不全相同”的概率.

［解］

（1）“3只球颜色全相同”包括“3只全是红球”（事件A），“3只全是黄球”（事件肉,“3只全是白球”（事件0，且它们彼此互斥，故“3只球颜色全相同”这个事件可记为AUBUC,又P（A）=P{B）=P{C）=—,

故P（AUBU0=P（A）+P（Q+P（0=|.

（2）记“3只球颜色不全相同”为事件〃，则事件万为“3只球颜色全相同”,又P（万）=KAUBU0=^.所以切=1—卩（万）=1—*諾，故“3只球颜色不全相同”的概率为#

［延伸拓展］

若随机事件力，3互斥，力，〃发生的概率均不等于0,且分别为PC4）=2—白，P脚

-4,则实数自的取值范围为・

［解析］因为随机事件A,〃互斥，A,〃发生的概率均不等于0,且分别为/心）=2—曰，

戶（0=3少

一4,

0

0〈2—日〈1,

所以<

0

B,即<

0<3日一4〈1,

PA+PB,

.2k2Wl.

课时跟踪训练（五十五）古典概型

［棊础巩固］

一、选择题

1.（2017•河北唐山二模）从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之

积小于5的概率为（）

1125

A.§B.-C.-D.&

［解析］从1,2,3,4四个数字屮任取两个不同数字，共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,

（2,4）,（3,4）共6个基本事件，其中这两个数字之积小于5的有（1,2）,（1,3）,（1,3）共3

31

个基本事件，则这两个数字之积小于5的概率为故选B.

［答案］B

2.

袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

球的概率店

10X510

105=21*

［解析］从15个球屮任取出2个球有"「=105种方法，其中恰有一个白球，1个红

［答案］B

3.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

1123

A-3B-2C3

［解析］试验发生包含的事件数是3X3=9,满足条件的事件数是这两位同学参加同一

QI个兴趣小组.由于共有3个小组，所以有3种结果.根据古典概型概率计算公式得户=§=亍故选A.

［答案］A

4.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字

1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面上的数字之和能被5整除的概率为（）

1131

A•花D-2

［解析］把“两个玩具斜向上的面的数字之和能被5整除”记为事件A,每个玩具斜向上的面的数字之和均有4种情况，两个玩具各抛掷一次，斜向上的面的数字之和共有16种情况，其中能被5整除的有4种情况：

（1,2,3）,（2,3,4）；（1,2,4）,（1,3,4）；（1,3,4）,

41

（1,2,4）；（2,3,4）,（1,2,3）.故户（/）=花=〒

164

［答案］B

5.某袋屮有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋屮摸

11!

一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号放回，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）

11535

A-5B*6C*6°•西

［解析］记方）为甲、乙摸球的编号，如下表:

a

1

2

3

4

5

6

1

（1,1）

（1,2）

（1,3）

（1,4）

（1,5）

（1,6）

2

⑵1）

⑵2）

（2,3）

（2,4）

（2,5）

（2,6）

3

（3,1）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

（3,6）

4

（4,1）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

（4,6）

5

（5,1）

（5,2）

（5,3）

（5,4）

（5,5）

（5,6）

6

（6,1）

（6,2）

（6,3）

（6,4）

（6,5）

（6,6）

可知基本事件共有36个，满足a=b的基本事件共有6个，故所求事件的概率"1—吕

［答案］C

6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的

概率等于（）

1111

A—B—f—F）—

10865

［解析］

如图所示，从正六边形力风刀方尸的6个顶点中随机选择4个顶点，可以看作随机选择2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有（力，（/,0,（力，〃），（力，上），U，?

）,（B,0,（〃，〃），（B,D,（〃，?

）,（C,D）,（G上），（C,?

）,（〃，上），（〃，（£,R,共15种.若要构成矩形，只要选相对的顶点即可，有S〃），（B,Q,（C,方，共3种，故31

其概率號書

［答案］D

二、填空题

7.盒子里有大小相同的白球3个、黑球1个.若从屮随机摸出2个球，则它们颜色不

同的概率是.

［解析］设3个白球为J,B,C,1个黑球为1）,则从小随机摸出2个球的情形有AB,AG

AD,BC,Bl）,CD,共6种.其中2个球颜色不同的有3种，故所求概率为

［答案］|

8.（2017・湖南湘中名校联考）从集合力=｛一2,-1,2｝中随机选取一个数记为日，从集合〃=｛—1,1,3｝中随机选取一个数记为b,则直线ax~y+b=^不经过第四象限的概率为

［解析］集合儿〃中各有三个元素，随机选取（日，方），共有9种可能的结果，若直线不经过第四象限，则臼＞0,且方＞0,满足条件的（臼，〃），有（2,1）,（2,3）,A直线不经过第

9

四象限的概率为

2

［答案］g

9.从两名男生和两名女生中任意选择两人在星期六、星期口参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为.

［解析］两名男生记为4,力2,两名女生记为任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有加2,Afi,AB,仙，A2B2,B\B“ZU,B2A1,BA,B2A2,砒.12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有仙,AdA如力2&4种情况,

41

则所求的概率宀乜=§•

［答案］I

三、解答题

10.某校夏令营有3名男同学S,B,C和3名女同学尤，r,Z,其年级情况如下表:

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这6名同学屮随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

（1）用表中字母列举出所有可能的结果；

（2）设弭为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件肘发生的概率.

［解］⑴从6名同学中随机选岀2人参加知识竞赛的所有可能结果为U，易，｛/,0,U,比，n,U,②，｛〃，。

，lb,比，｛〃，n,｛〃，②，｛aa｝,｛a｛c,②，（X丹，｛足0,｛卩，0,共15种.

（2）选出的2人来自在不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为M，n,刀，｛〃，昭，｛〃，｛G卫，｛G力，共6种.

6?

因此，事件财发生的概率"（胁=花=亍

［能力提升］

11.（2017•山西考前适应性测试）甲在微信群小发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（）

3132

A-IK3C-T0D-5

［解析］用（x，y,刃表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、2元.乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为（1,1,4）,（1,4,1）,（4,1,1）,（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,（2,2,2）.乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为（4,1,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,（2,2,2）・根据古典概型的概率

49

计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率是P=^=^故选D.

［答案］D

12.（2017•河南省小原名校期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人屮女生人数不超过1的概率是（）

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2

［解析］设事件0为“所选3人中女生人数不超过1”,事件财为“所选3人中女生人数为1”，事件艸为“所选3人中女生人数为0”，则事件屈艸是互斥事件.4名男生分别记为1,2,3,4；2名女生分别记为日，方.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为｛1,2,3｝,｛1,2,4｝,｛1,2,日｝,｛1,2,力｝,｛1,3,4｝,｛1,3,a｝,｛1,3,份，｛1,4,曰｝,｛1,4,/?

｝,｛1,a,力｝,｛2,3,4｝,｛2,3,a｝,｛2,3,方｝,｛2,4,刃，｛2,4,方｝,｛2,a,b｝,｛3,4,a｝,｛3,4,刃，｛3,臼，b｝,｛4,a,b｝•事件〃所含的基本事件分别为｛1,2,a｝,｛1,2,方｝,｛1,3,刃，｛1,3,方｝,｛1,4,a｝,｛1,4,b｝｛2,3,动,（2,3,b｝,｛2,4,a｝9（2,4,

193

b｝,｛3,4,刃，｛3,4,方｝，共12个，所以代协=—事件N所含的基本事件分别为｛1,2,3｝,

41

｛1,2,4｝,｛1,3,4｝,｛2,3,4｝,共4个，所以“⑷=乔=二；所以事件。

的概率为卩（0=代妙

31

+Pg=^+~=0.8,故选A.

oS

［答案］A

13.属相，也叫生肖，包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪十二种

动物.已知在甲、乙、丙、丁、戊五人中，甲、乙、丙的属相均是牛，丁、戊的属相均是猪,现从这五人中随机选出两人，则所选出的两人的属相互不相同的概率为.

［解析］从这五人中随机选出两人的选法为｛甲，乙｝,｛甲，丙｝,｛甲，丁｝,｛甲，戊｝,｛乙，丙｝,｛乙，丁｝,｛乙，戊｝,｛丙，丁｝,｛丙，戊｝,｛丁，戊｝,共10种；所选出的两人的属相互不相同的选法为仲，丁｝,｛甲，戊｝,｛乙，丁｝,｛乙，戊｝,｛丙，丁｝,｛丙，戊｝,共6种.故所选出的两人的属相互不相同的概率4話=0.6.

［答案］0.6

14.小李加工外形完全一样的甲、乙两种零件，已知他加工的4个甲种零件中有2个次

品，2个乙种零件中有1个次品，现从这6个零件中随机抽取2个，则能抽到甲种零件的次品的概率为.

［解析］记“抽到甲种零件的次品”为事件力，“抽到甲种零件的次品数为1”为事件

“抽到甲种零件的次品数为2”为事件M则事件甌N为互斥事件.从这6个零件中随机抽取2个，利用枚举法可知共有15种不同的抽収方法，事件〃所含的基本事件数为8,

O1O1

事件用所含的基本事件数为1,所以PUD=亦，Pg=石，所以P⑺=PQf）+P⑷=為+砧=0.6.

［答案］0.6

15.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为臼，方，c.

（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=cff的概率；

（2）求“抽取的卡片上的数字日，b,Q不完全相同”的概率.

［解］

（1）由题意知，b,c）所有的可能为（1,1,1）,（1,1,2）,（1,1,3）,（1,2,1）,

（1,2,2）,（1,2,3）,（1,3,1）,（1,3,2）,（1,3,3）,（2,1,1）,（2,1,2）,（2,1,3）,（2,2,1）,

（2,2,2）,（2,2,3）,（2,3,1）,（2,3,2）,（2,3,3）,（3,1,1）,（3,1,2）,（3,1,3）,（3,2,1）,

（3,2,2）,（3,2,3）,（3,3,1）,（3,3,2）,（3,3,3）,共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足a+b=cff为事件力，

则事件"包括（1,1,2）,（1,2,3）,（2,1,3）,共3种.

31

所以1\A）

因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c9f的概率为*.

（2）设“抽取的卡片上的数字日，b,c不完全相同”为事件〃，则事件予包括（1,1,1）,（2,2,2）,（3,3,3）,共3种.

—2R

所以

Q

因此，“抽取的卡片上的数字曰，b,C不完全相同”的概率为亍

16.某初级中学根据运动场地的影响，为尽可能让学生都参与到运动会屮来，在2017冬季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高.学校要求每位学生必须参加，且只能参加其中一项，该校780名学生参加各运动项目人数统计如下表：

运动项目

200米

400米

跳绳

跳远

跳高

合计

参加人数

m

240

180

120

n

780

其中参加跑步类的人数所占频率为总,为了了解学生身体健康与参加运动项冃之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析.

（1）求表格中/〃和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；

（2）抽収的13名学生屮恰好包含启卩两名同学，英屮才同学参加的项目是200米，Y同学参加的项目是跳绳，现从已抽出的参加200米和跳绳两个项目的学生中随机抽取3人，求这3人中正好有兀卩两名同学的概率.

7

［解］⑴由题意，得参加跑步类的学生人数为780X—=420,所以刃=420—240=