A.∁UA∪B=RB.A∪∁UB=R
C.∁UA∪∁UB=RD.A∪B=R
答案 D
解析 A=
,∵11∈B,∴a>|11-5|=6.又由|x-5|11.画数轴知选D.
8.下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“∃x0∈R,x
+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
答案 D
解析 A中原命题的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;在B中,“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故B错;C中命题的否定应为“∀x∈R,x2+x+1≥0”,故C错;在D中,逆否命题与原命题同真假,易知原命题为真,则其逆否命题也为真命题,因此D正确.
9.已知直线l1:
x+ay+1=0,直线l2:
ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为( )
A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行
B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行
C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行
D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行
答案 A
解析 命题“若A,则B”的否命题为“若綈A,则綈B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.
10.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4B.a≤4
C.a≥5D.a≤5
答案 C
解析 命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
11.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的________条件.
答案 充分不必要
12.设全集为R,集合A={x|
≤1},则∁RA=________.
答案 {x|0≤x<1}
解析 A={x|
≤1}={x|
-1≤0}={x|
≤0}=
{x|x≥1或x<0},因此∁RA={x|0≤x<1}.选A.
13.满足条件:
M∪{a,b}={a,b,c}的集合M的个数是________.
答案 4个
14.设全集U=A∪B={x∈N*|lgx<1},若A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=________.
答案 {2,4,6,8}
解析 A∪B={x∈N*|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}.
15.“α≠
”是“cosα≠
”的________条件.
答案 必要不充分
16.下列命题中是假命题的是________.
①存在α,β∈R,有tan(α+β)=tanα+tanβ
②对任意x>0,有lg2x+lgx+1>0
③△ABC中,A>B的充要条件是sinA>sinB
④对任意φ∈R,函数y=sin(2x+φ)都不是偶函数
答案 ④
解析 对于①,当α=β=0时,tan(α+β)=0=tanα+tanβ,因此选项①是真命题;对于②,注意到lg2x+lgx+1=(lgx+
)2+
≥
>0,因此选项B是真命题;对于③,在△ABC中,由A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圆半径),因此选项③是真命题;对于④,注意到当φ=
时,y=sin(2x+φ)=cos2x是偶函数,∴④是假命题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求实数m的值组成的集合.
答案 {0,-
,-
}
解析 A={x|x2-5x+6=0}={2,3},A∪B=A,∴B⊆A.
①当m=0时,B=∅,B⊆A;
②当m≠0时,由mx+1=0,得x=-
.
∵B⊆A,∴-
∈A.
∴-
=2或-
=3,得m=-
或-
.
∴满足题意的m的集合为{0,-
,-
}.
18.(本小题满分12分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
(3)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一的解;
(4)存在实数x0,使得
=2.
解析
(1)是特称命题;用符号表示为:
∃α∈R,sin2α+cos2α≠1,是一个假命题.
(2)是全称命题;用符号表示为:
∀直线l,l存在斜率,是一个假命题.
(3)是全称命题;用符号表示为:
∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有唯一解,是一个假命题.
(4)是特称命题;用符号表示为:
∃x0∈R,
=2是一个假命题.
19.(本小题满分12分)已知命题“∃x∈R,|x-a|+|x+1|≤2”是假命题,求实数a的取值范围.
答案 (-∞,-3)∪(1,+∞)
解析 依题意知,对任意x∈R,都有|x-a|+|x+1|>2;由于|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,
因此有|a+1|>2,a+1<-2或a+1>2,
即a<-3或a>1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).
20.(本小题满分12分)已知集合E={x||x-1|≥m},F={x|
>1}.
(1)若m=3,求E∩F;
(2)若E∪F=R,求实数m的取值范围.
解析
(1)当m=3时,E={x||x-1|≥3}={x|x≤-2或x≥4},
F={x|
>1}={x|
<0}={x|-6∴E∩F={x|x≤-2或x≥4}∩{x|-6(2)∵E={x||x-1|≥m},
①当m≤0时,E=R,E∪F=R,满足条件.
②当m>0时,E={x|x≤1-m或x≥1+m},
由E∪F=R,F={x|-6∴
解得0综上,实数m的取值范围为m≤3.
21.(本小题满分12分)已知命题p:
A={x|a-1B={x|x2-4x+3≥0}.
(1)若A∩B=∅,A∪B=R,求实数a;
(2)若綈q是p的必要条件,求实数a.
答案
(1)a=2
(2)a=2
解析 由题意得B={x|x≥3或x≤1},
(1)由A∩B=∅,A∪B=R,可知A=∁RB=(1,3),
∴
∴a=2.
(2)∵B={x|x≥3或x≤1},∴綈q:
{x|1∴綈q是p的必要条件,即p⇒綈q.
∴A⊆∁RB=(1,3).
∴
∴2≤a≤2,∴a=2.
22.(本小题满分12分)已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.若存在,求m的范围;
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件.若存在,求出m的范围.
答案
(1)m不存在
(2)m≤3
解析
(1)P={x|-2≤x≤10},
S={x|1-m≤x≤m+1}.
若x∈P是x∈S的充要条件,
∴
∴m不存在.
(2)若存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,
∴S⊆P.
若m<0,即S=∅时,满足条件.
若S≠∅,应有
解之得 0≤m≤3.
综之得,m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.
1.已知全集U=Z,集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于( )
A.{-1,2}B.{-1,0}
C.{0,1}D.{1,2}
答案 A
解析 依题意知A={0,1},(∁UA)∩B表示全集U中不在集合A中,但在集合B中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2},选A.
2.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.p:
a+c>b+d,q:
a>b且c>d
B.p:
a>1,b>1,q:
f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图像不过第二象限
C.p:
x=1,q:
x2=x
D.p:
a>1,q:
f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数
答案 A
解析 B选项中,当b=1,a>1时,q推不出p,因而p为q的充分不必要条件.C选项中,q为x=0或1,q不能够推出p,因而p为q的充分不必要条件.D选项中,p、q可以互推,因而p为q的充要条件.故选A.
3.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=
x2-1,x∈P},则P∩Q=( )
A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1C.{m|m≥2}D.{-1}
答案 C
解析 本题考查集合的概念及运算,根据题意知P={x|x≥2或x≤-1},又因为当x∈P时,y=
x2-1∈
,故Q=
,故P∩Q={m|m≥2}.
4.已知命题p:
所有有理数都是实数;命题q:
正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)或qB.p且q
C.(綈p)且(綈q)D.(綈p)或(綈q)
答案 D
解析 由于命题p是真命题,命题q是假命题,因此,命题綈q是真命题,于是(綈p)或(綈q)是真命题.
5.如下四个电路图,视“开关甲闭合”为条件甲,“灯泡乙亮”为结论乙,以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是( )
答案 B
6.(2012·江西)若全集U={x∈R|x2≤4},则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集∁UA为( )
A.{x∈R|0C.{x∈R|0答案 C
解析 由已知得,全集U={x∈R|-2≤x≤2},集合A={x∈R|-2≤x≤0},结合数轴得∁UA={x∈R|07.(2012·陕西)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )
A.(1,2)B.[1,2)
C.(1,2]D.[1,2]
答案 C
解析 因为M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2},所以M∩N={x|18.(2012·福建)下列命题中,真命题是( )
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是
=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
答案 D
解析 ∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质,得ab>1.
即a>1,b>1⇒ab>1.
9.(2012·浙江)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:
ax+2y-1=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 l1与l2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1∥l2的充分不必要条件.
10.(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由面面垂直的性质定理,可得α⊥β,α∩β=m,b⊂β,b⊥m⇒b⊥α.又∵a⊂α,∴a⊥b,但反之则不成立.
11.已知命题p:
“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:
“
>
”是“a>b”的充要条件,则( )
A.“p或q”为真B.“p且q”为真
C.p真q假D.p,q均为假
答案 A
解析 由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由
>
能够推出a>b,反之,因为
>0,所以由a>b能推出
>
成立,故命题q是真命题.因此选A.
12.已知命题p:
∃x∈(-∞,0),2x<3x,命题q:
∀x∈(0,1),log2x<0,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.p∨(綈q)
答案 C
解析 由指数函数的图像与性质可知,命题p是假命题,由对数函数的图像与性质可知,命题q是真命题,则命题“p∧q”为假命题,命题“p∨(綈q)”为假命题,命题“(綈p)∧q”为真命题,命题“p∧(綈q)”为假命题,故选C.
13.有下列四个命题,其中真命题是( )
A.∀n∈R,n2≥n
B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m
C.∀n∈R,∃m∈R,m2D.∀n∈R,n2答案 B
解析 对于选项A,令n=
即可验证其不正确;对于选项C、选项D,可令n=-1加以验证,均不正确,故选B.
14.设x,y∈R,则“|x|≤4且|y|≤3”是“
+
≤1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 画图易知,{(x,y)||x|≤4且|y|≤3}⊇{(x,y)|
+
≤1}.
15.命题“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,是“-16≤a≤0”的________条件.
答案 充要
解析 ∵“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,
∴“∀x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,∴Δ=a2+16a≤0,即-16≤a≤0.故为充要条件.
16.已知命题p:
α=β是tanα=tanβ的充要条件.
命题q:
∅⊆A.下列命题中为真命题的有________.
①p或q ②p且q ③綈p ④綈q
答案 ①③
17.已知集合A={1,a,5},B={2,a2+1}.若A∩B有且只有一个元素,则实数a的值为________.
答案 0或-2
解析 若a=2,则a2+1=5,A∩B={2,5},不合题意舍去.
若a2+1=1,则a=0,A∩B={1}.
若a2+1=5,则a=±2.
而a=-2时,A∩B={5}.
若a2+1=a,则a2-a+1=0无解.
∴a=0或a=-2.
18.命题“若x2<1,则-1答案 若x≥1或x≤-1,则x2≥1
解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后,再交换位置,注意“-1