证明一15节教案.docx

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证明一15节教案

证明

（一）

第一节你能肯定吗

一．考点归纳

考点一

实例验证法，举实例，举出反例.

例1．判断题

（1）如果a＞b，那么a2+2＞b2+2．（）

（2）如果两个角互补，那么这两个角都是钝角．（）

课堂练习：

一个角的补角一定比这个角大．（）

考点二

观察验证法，先观察在验证

例2．判断题

（1）把一个角的两边都延长后所得到的角比原来的角大．（）

（2）有一条线段AB长3cm，另一条线段BC长2cm，那么AC长5cm．（）

课堂练习：

已知∠A=80°，∠B=100°，那么这两个角的关系是（）

A．互为余角B．互为补角

C．平角D．既不互余也不互补

考点三

公式推理法

如上图，四边形ABCD四边的中点分别为E．F．G．H．度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？

由此可得．任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形．

例3．把一个平角分成三等份，这时位于两旁的两个角的平分线所组成角的大小等于（）

A．

平角B．

平角C．

平角D．

平角

课堂练习：

一．判断题

（1）我从书架上抽出了5本书，5本书都是数学书．因此书架上的书都是数学书．（）

（2）矩形、正方形是轴对称图形，平行四边形也是轴对称图形．（）

（3）如果两个三角形的底边不同，高也不同，那么这两个三角形面积不等．（）

（3）有一条线段AB长3cm，另一条线段BC长2cm，那么AC长5cm．（）

（4）如果a＞b，那么a2＞b2．（）

第二节定义与命题

一．考点归纳

考点一

定义与命题的概念

定义：

对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义。

命题的概念：

判断一件事情的句子就叫做命题。

或者．命题是判断一件事情的句子．

命题的定义包含两层含义：

1.命题必须是一个句子。

2．这个句子必须对某件事情作出肯定或者否定的判断。

3．祈使句，疑问句，感叹句，均不是命题。

例1．下列属于定义的是（）

A．两点确定一条直线。

B．直线平行同位角相等。

C．等角的补角相等。

D．线段是直线上的两点和两点之间的部分。

例2．下列语句中不是命题的是（　　　）

A．相等角不是对顶角。

　　　　　　B．两直线平行，内错角相等。

C．两点之间线段最短。

　　　　　　D．过点Ｏ作线段ＭＮ的垂线。

课堂练习：

1．下列语句中，是命题的是（）

A．两点确定一条直线吗？

B．在线段AB上任取一点

C．作∠A的平分线AMD．两个锐角的和大于直角

2．下列命题中，属于定义的是（）

A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等

C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度

考点二

命题的结构：

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式．其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

例3．下列各命题的条件是什么？

结论是什么？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果a>b,b>c,那么a=c;

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（4）菱形的四条边都相等；

（5）全等三角形的面积相等．

课堂练习：

1．命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________．

2．命题“直角都相等”的条件是____________________，结论是____________________．

5．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．指出下列命题的题设和结论．

（1）平行于同一直线的两条直线平行．

（2）同角的余角相等．

（3）绝对值相等的两个数一定相等．

考点三

真命题，假命题，反例的概念。

正确的命题称为真命题，不正确的命题为假命题。

例4．下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一反例加以说明。

1．两个角的和是180度，则这两个角是邻补角。

2．同位角相等。

3．若|a|=|b|，则a=b；

课堂练习：

1．下列命题中，是真命题的是（）

A．内错角相等B．同位角相等，两直线平行

C．互补的两角必有一条公共边D．一个角的补角大于这个角

2．下列命题中，假命题是（）

A．垂直于同一条直线的两直线平行

B．已知直线a、b、c，若a⊥b，a∥c，则b⊥c

C．互补的角是邻补角

D．邻补角是互补的角

3．命题“对顶角相等”是（）

A．角的定义B．假命题C．公理D．定理

4．判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例．

（1）若|a|=|b|，则a=b；

（2）若x=a，则x2－（a+b）x+ab=0；（3）如果a2=ab，则a=b；　　

（3）若在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′．

考点四

公认的真命题称为公理.

有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题就做定理.

推理的过程称为证明.

我们这套教材有如下命题作为公理．

1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

5．三边对应相等的两个三角形全等．

6．全等三角形的对应边相等，对应角相等．

第三节为什么它们平行

考点一

平行线的判定公理

1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

注意：

证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.

例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？

当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？

为什么？

你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整

1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）

若∠3=∠4，则_________∥_________（）

若∠5=∠B，则_________∥_________（）

若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）

2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）

∠3+∠2=180°（）

∴∠1=_________

∴AB∥CD（）

课堂练习：

1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,

求证：

AB∥CD．

2．已知，如下图

（1），

（2），直线AB∥ED．

求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD．

（1）

（2）

3．如图，如果AB∥CD，求角

、β、γ与180º之间的关系式．

4．如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB=500，∠B=700，DE∥BC，

求：

∠EDC和∠BDC的度数。

课后作业

一．选择题

1．下列命题中，不正确的是（）

A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行

D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

2．如右图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：

（）

（1）∠1=∠2，

（2）∠3=∠6，（3）∠4+∠7=180°，（4）∠5+∠8=180°，

其中能判定a∥b的条件是（）

A．

（1）（3）B．

（2）（4）C．

（1）（3）（4）D．

（1）

（2）（3）（4）

3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是（）

A．AD∥BCB．AB∥CD

C．∠3=∠4D．∠A=∠C

4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）

A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

二．填空题

5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l1、l2、l3的关系是________．

6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比

为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．

7．同垂直于一条直线的两条直线________．

8．根据图形及上下文的含义推理并填空．

（1）∵∠A=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A+_______=180°（已知）

∴AB∥FD（）

三．解答题

9．已知：

如图7，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证．AB∥CD．

10．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识．

根据下面的条件完成证明．

已知：

如图，BC//AD，BE//AF．

（1）求证：

；

（2）若

，求

的度数．

4．如果两条直线平行

一．考点归纳

考点一

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等，可以复习前面的如果，，，那么，，，。

条件和结论。

总结．我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，

1．平行线的性质．

公理：

两直线平行，同位角相等.

定理：

两直线平行，内错角相等.

定理：

两直线平行，同旁内角互补.

证明明的一般步骤吗？

第一步：

根据题意，画出图形

第二步：

根据条件．结论，结合图形，写出已知．求证．

第三步：

经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

例1．如图，BE∥DF，∠B=∠D，求证．AD∥BC．

课堂作业：

1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是（）

A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°

C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D

2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）

A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补

3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．

4．已知：

如图，∠1=∠B，∠A=32°，求：

∠2的度数．

5．已知：

如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：

∠1=∠2．

5．三角形内角和定理的证明

一．考点归纳

考点一

三角形内角和证明

1．如图1，延长BC，过C作CE∥AB

2．如图2，过A作EF∥AB

3．如图3，过A作AD∥BC。

利用同旁内角之和为180度

4．如图4，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，DF∥AC。

根据上图辅助线的做法用四种方法证明三角形内角和180°

例1.△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，

如图，求∠DBC的度数。

例2.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠AFB=120°．求证：

BE⊥AC．

课堂作业：

1．如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．

2．在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______．

3．已知，如右图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______．

4．两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）

A．相互重合B．互相平行

C．相互垂直D．无法确定相互关系

5．如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）

A．35°B．45°C．55°D．75°

6．如图，△ABC中，∠B=∠ACB，CD是高，

求证．∠BCD=

∠A．

7．已知，如图，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．

求证．∠DAE=

（∠C－∠B）．

课后作业

1．如右图，下列推理正确的是（）

A．∵MA∥NB，∴∠1=∠3B．∵∠2=∠4，∴MC∥ND

C．∵∠1=∠3，∴MA∥NBD．∵MC∥ND，∴∠1=∠3

2．在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）

A．65°B．115°C．80°D．50°

3．如图，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，FG⊥AB，求证CD⊥AB

证明．∠ADE=∠B（）

∴DE∥_______（）

∠1=_______（）

∵∠1=∠2（）

∴∠2=∠3（）

4．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______．

5．已知：

如图，AD∥BC，∠ABC=∠C，求证：

AD平分∠EAC．

6．已知△ABC中，DE∥BC，∠A=60°，∠C=70°，求证．∠ADE=50°