版高考数学一轮复习选修45 不等式选讲.docx

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版高考数学一轮复习选修45不等式选讲

选修4-5　不等式选讲

题组1　不等式的性质和绝对值不等式

1.[2015山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（　　）

A.（-∞,4）B.（-∞,1）C.（1,4）D.（1,5）

2.[2015重庆,16,5分]若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=　　　. 

3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是　　　. 

4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f（x）=-x2+ax+4,g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）当a=1时,求不等式f（x）≥g（x）的解集;

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f（x）=|x+1|-|2x-3|.

（Ⅰ）在图1中画出y=f（x）的图象;

（Ⅱ）求不等式|f（x）|>1的解集.

图1

6.[2015新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|,a>0.

（Ⅰ）当a=1时,求不等式f（x）>1的解集;

（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a>0）.

（Ⅰ）证明:

f（x）≥2;

（Ⅱ）若f（3）<5,求a的取值范围.

题组2　不等式的证明

8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f（x）=|x-|+|x+|,M为不等式f（x）<2的解集.

（Ⅰ）求M;

（Ⅱ）证明:

当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

9.[2015新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:

（Ⅰ）若ab>cd,则+>+;

（Ⅱ）+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.

10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:

（Ⅰ）ab+bc+ac≤;

（Ⅱ）++≥1.

A组基础题

1.[2018广东七校联考,23]已知函数f（x）=|x-a|-|2x-1|.

（1）当a=2时,求f（x）+3≥0的解集;

（2）当x∈[1,3]时,f（x）≤3恒成立,求a的取值范围.

2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|

（1）求m,n的值;

（2）若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:

x+y≥16xy.

3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f（x）=|ax-1|,不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.

（1）求a的值;

（2）若

4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f（x）=|x-5|-|x-2|.

（1）若∃x∈R,使得f（x）≤m成立,求m的取值范围;

（2）求不等式x2-8x+15+f（x）≤0的解集.

B组提升题

5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f（x）=m-|x-1|-|x+1|.

（1）当m=5时,求不等式f（x）>2的解集;

（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.

6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f（x）=|x-m|+|x+2|（m∈R）,g（x）=|2x-1|+3.

（1）当m=1时,求不等式f（x）≤5的解集;

（2）若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f（x1）=g（x2）成立,求实数m的取值范围.

7.[2017长春市高三第四次质量监测,23]

（1）已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a>0）,若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;

（2）已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:

++≥.

8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f（x）=（x+1）2.

（1）证明:

f（x）+|f（x）-2|≥2;

（2）当x≠-1时,求y=+[f（x）]2的最小值.

答案

1.A　当x<1时,不等式可化为-（x-1）+（x-5）<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为（-∞,1）;当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+（x-5）<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4）;当x>5时,不等式可化为（x-1）-（x-5）<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为（-∞,4）.故选A.

2.-6或4　当a=-1时,f（x）=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f（x）=f（x）min=f（a）=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f（x）=f（x）min=f（a）=-a+1+2a=5,解得a=4.

3.[-1,]　|2x-1|+|x+2|=|x-|+（|x-|+|x+2|）≥0+|（x-）-（x+2）|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,].

4.

（1）当a=1时,不等式f（x）≥g（x）等价于

x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0　①.

当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;

当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;

当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1

所以f（x）≥g（x）的解集为{x|-1≤x≤}.

（2）当x∈[-1,1]时,g（x）=2.

所以f（x）≥g（x）的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f（x）≥2.

又f（x）在[-1,1]的最小值必为f（-1）与f

（1）之一,所以f（-1）≥2且f

（1）≥2,得-1≤a≤1.

所以a的取值范围为[-1,1].

5.（Ⅰ）由题意可得f（x）=

y=f（x）的图象如图D2所示.

图D2

（Ⅱ）由f（x）的表达式及图象知,当f（x）=1时,可得x=1或x=3;

当f（x）=-1时,可得x=或x=5.

故f（x）>1的解集为{x|15}.

所以|f（x）|>1的解集为{x|x<或15}.

6.（Ⅰ）当a=1时,f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;

当-10,解得

当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.

所以f（x）>1的解集为{x|

（Ⅱ）由题设可得f（x）=所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（,0）,B（2a+1,0）,C（a,a+1）,△ABC的面积为（a+1）2.

由题设得（a+1）2>6,故a>2.

所以a的取值范围为（2,+∞）.

7.（Ⅰ）由a>0,有f（x）=|x+|+|x-a|≥|x+-（x-a）|=+a≥2.所以f（x）≥2.

（Ⅱ）f（3）=|3+|+|3-a|.

当a>3时,f（3）=a+,由f（3）<5得3

当0

综上,a的取值范围是（,）.

8.（Ⅰ）由题意可得f（x）=

当x≤-时,由f（x）<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1

当-

当x≥时,由f（x）<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.

所以f（x）<2的解集M={x|-1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当a,b∈M时,-1

因此|a+b|<|1+ab|.

9.（Ⅰ）因为（+）2=a+b+2,（+）2=c+d+2,

由题设a+b=c+d,ab>cd得（+）2>（+）2.

因此+>+.

（Ⅱ）①若|a-b|<|c-d|,则（a-b）2<（c-d）2,即（a+b）2-4ab<（c+d）2-4cd.

因为a+b=c+d,所以ab>cd.

由（Ⅰ）得+>+.

②若+>+,则（+）2>（+）2,即

a+b+2>c+d+2.

因为a+b=c+d,所以ab>cd.

于是（a-b）2=（a+b）2-4ab<（c+d）2-4cd=（c-d）2.

因此|a-b|<|c-d|.

综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.

10.（Ⅰ）由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得（a+b+c）2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.

所以3（ab+bc+ca）≤1,即ab+bc+ca≤.

（Ⅱ）因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,

故+++（a+b+c）≥2（a+b+c）,即++≥a+b+c.

所以++≥1.

A组基础题

1.

（1）当a=2时,由f（x）≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,

∴或或

解得-4≤x<或≤x<2或x=2.

综上,当a=2时,不等式f（x）+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.

（2）当x∈[1,3]时,f（x）≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2,

∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].

2.

（1）由|x|+|x-3|

得或或

解得-1

（2）由

（1）知9x+y=1.

因为x>0,y>0,

所以（+）（9x+y）=10++≥10+2=16,

当且仅当=,即x=,y=时取等号,

所以+≥16,即x+y≥16xy.

.

3.

（1）由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,

当a>0时,-≤x≤,所以解得a=2;

当a<0时,≤x≤-,所以无解.所以a=2.

（2）因为=≥=,所以要使,所以实数k的取值范围是（,+∞）.

4.

（1）f（x）=|x-5|-|x-2|=

当2

所以m的取值范围是[-3,+∞）.

（2）原不等式等价于-f（x）≥x2-8x+15,

由

（1）可知,当x≤2时,-f（x）≥x2-8x+15的解集为空集;

当2

当x≥5时,-f（x）≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.

综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.

B组提升题

5.

（1）当m=5时,f（x）=

由f（x）>2得不等式的解集为{x|-

（2）因为二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=-1处取得最小值2,

f（x）=在x=-1处取得最大值m-2,

所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞）.

6.

（1）当m=1时,f（x）=|x-1|+|x+2|,

①当x≤-2时,f（x）=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x≥-3,所以-3≤x≤-2;

②当-2

③当x≥1时,f（x）=2x+1,由2x+1≤5,解得x≤2,所以1≤x≤2.

综上所述,不等式f（x）≤5的解集为[-3,2].

（2）若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f（x1）=g（x2）成立,设A={y|y=f（x）},B={y|y=g（x）},则A⊆B,因为f（x）=|x-m|+|x+2|≥|（x-m）-（x+2）|=|m+2|,g（x）=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m≥1或m≤-5,因此,实数m的取值范围为（-∞,-5]∪[1,+∞）.

7.

（1）因为a>0,所以f（x）=|x+1|+|x-a|=

又不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},解得a=2.

（2）++

=

=

=

≥（当且仅当a=b=c=时,取等号）.

8.

（1）∵f（x）=（x+1）2≥0,

∴f（x）+|f（x）-2|=|f（x）|+|2-f（x）|≥|f（x）+[2-f（x）]|=|2|=2.

（2）当x≠-1时,f（x）=（x+1）2>0,

∴y=+[f（x）]2=++[f（x）]2≥3·=,当且仅当==[f（x）]2时取等号,即x=-1±时取等号.

∴y=+[f（x）]2的最小值为.